7.2.1 三角函数的定义课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 第七章　三角函数 7.2.1　三角函数的定义 课标定位素养阐释 1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 2.会求角的正弦、余弦、正切值. 3.掌握三角函数在各象限内的符号. 4.培养数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、任意角的正弦、余弦与正切的定义 1.若α∈ ,点P(3,4)在角α的终边上,由此能否求出sin α,cos α,tan α的值?若能求出,简述过程;若不能,请说明理由. 提示:能.过点P作x轴的垂线,垂足为点M,则有 2.上题中,若在角α的终边上另取一个不同于坐标原点的点P',则sin α,cos α,tan α的值有变化吗? 提示:没有变化. 3.当α为任意角时,能否用上述方法求sin α,cos α,tan α的值? 提示:能. (2)对于每一个角α,都有唯一确定的正弦、余弦与之对应;当α≠kπ+ ,k∈Z时,有唯一的正切与之对应.角α的正弦、余弦与正切,都称为角α的三角函数. 5.若点(-1,-2)在角α的终边上,则sin α=　　　　　;cos α=　　　　　; tan α=　　　　　.  二、正弦、余弦与正切在各象限的符号 【问题思考】 2.(1)正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 (2)三角函数符号的记忆口诀 三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”,即按象限依次为:第一象限全为正;第二象限正弦为正;第三象限正切为正;第四象限余弦为正. (3) 角α sin α cos α tan α α=2kπ(k∈Z) 0 1 0 α=2kπ+ (k∈Z) 1 0 不存在 α=2kπ+π(k∈Z) 0 -1 0 α=2kπ+ (k∈Z) -1 0 不存在 3.若cos α>0,tan α<0,则角α是第四象限角. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)三角函数也是函数,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. (　　) (2)若sin α=sin β,则α=β.(　　) (3)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0.(　　) (4)存在角α,使sin α<0,cos α<0,tan α<0.(　　) (5)角α的三角函数值随点P在α终边的位置不同而不同.(　　) √ × √ × × 合作探究 释疑解惑 探究一 三角函数的定义 【例1】 若点P(2m,-3m)(m>0)是角α的终边上一点,求sin α,cos α,tan α的值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 例1中,若将m>0变为m<0,其他不变,求sin α,cos α,tan α的值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 利用三角函数的定义求角的三角函数值的步骤: (1)确定任意角α的终边上一个不同于坐标原点的点的坐标P(x,y). (2)求出 (3)代入任意角三角函数的定义求值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 三角函数符号的判断 【例2】 判断下列各式的符号. (1)sin 1 020°cos 1 021°tan 1 022°; (2)tan 191°-cos 191°; (3)sin 2cos 3tan 4. 分析:先判断角所在的象限,再判断相应三角函数值的符号. 探究一 探究二 探究三 思想方法 解:(1)∵1 020°=2×360°+300°,1 021°=2×360°+301°, 1 022°=2×360°+302°,∴它们都是第四象限角, ∴sin 1 020°<0,cos 1 021°>0,tan 1 022°<0, ∴sin 1 020°cos 1 021°tan 1 022°>0. (2)∵191°角是第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0, ∴tan 191°-cos 191°>0. ∴2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角, ∴sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, ∴sin 2cos 3tan 4<0. 探究一 探究二 探究三 思想方法 1.三角函数值的符号是根据三角函数的定义,由各象限内的点的坐标的符号得出的. 2.符号规律:第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 答案:2 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 应用三角函数的符号求参数值(或取值范围) 【例3】 已知角α的终边上一个不同于坐标原点的点P(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,求实数a的取值范围. 分析:P(x,y)是α的终边上不同于坐标原点的一点,cos α≤0,则x≤0;sin α>0,则y>0. 解:由题意可知,3a-9≤0,a+2>0, ∴a≤3,且a>-2. ∴-2<a≤3. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 已知角α的终边上一点P(8,x),且sin α= ,tan α<0,求x的值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 思想方法 用分类讨论的思想求三角函数值 【典例】 已知角θ的终边经过点P(3t,-4t),t≠0,求sin θ,cos θ,tan θ的值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练】 若角α的终边落在直线y=2x上,则sin α的值为　　　　　.  探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 答案:D 答案:AB 3.若sin α<0,cos α>0,则角α是第　　　　　象限角.  答案:四 4.若|sin x|=-sin x,则角x的取值集合是　　　　　.  解析:由|sin x|=-sin x知sin x≤0,得x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z). 答案:[2kπ-π,2kπ](k∈Z) OM=3,MP=4,OP==5,故sin α=,cos α=,tan α=. 4.(1)对于任意角α,设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,r=.一般地,称为角α的正弦,记作sin α;称为角α的余弦,记作cos α.因此 sin α=,cos α=.当角α的终边不在y轴上时,称为角α的正切,记作tan α,即tan α=. 解析:∵x=-1,y=-2,r=, ∴sin α==-,cos α==-,tan α==2. 答案:-　-　2 1.不求值,你能判断sin,cos,tan的符号吗? 提示: 能.-是第三象限角,设P(x,y)是-终边上不同于坐标原点的任一点, 则x<0,y<0,r=>0, 故sin<0,cos<0,tan>0. 解:设x=2m,y=-3m,∵m>0, ∴r=m. ∴sin α==-,cos α=,tan α==-. 解:设x=2m,y=-3m,∵m<0,∴r==-m.∴sin α=, cos α==-,tan α==-. r=. 【变式训练1】 已知角α的终边上一点P,求sin α,cos α,tan α的值. 解:∵r=, ∴sin α==-,cos α=,tan α==-. (3)∵<2<π,<3<π,π<4<, 【变式训练2】 下列各三角函数值:①sin 1 125°;②tan·sin;③,其中为负值的个数是　　　　　.  解析:由1 125°=1 080°+45°,知1 125°角是第一象限角,所以sin 1 125°>0; 因为=2π+,所以是第三象限角,所以tan>0,sin<0,故tan·sin<0; 因为3弧度的角在第二象限,所以sin 3>0,tan 3<0,故<0. 解:由tan α=<0,得x<0. ∵sin α=, ∴82+x2=172. ∴x2=225,∴x=-15. 解: 设x=3t,y=-4t,则r==5|t|.由题意知,t≠0.当t>0时,r=5t, ∴sin θ==-,cos θ=,tan θ==-. 当t<0时,r=-5t, ∴sin θ=,cos θ==-,tan θ==-. 由x=3t,y=-4t,得r==5|t|,由于t≠0,故需分t>0,t<0两种情况求解. 解析: 当角的终边在第一象限时,在角的终边上取点P(1,2),由r=,得sin α=. 当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q(-1,-2),由r=,得sin α==-. 答案:± 1.若角θ的终边经过点,则tan θ=(　　) A. B.- C. D.- 解析: 设x=-,y=, 则tan θ==-. 2.(多选题)角α的终边上有一点P(a,a),a∈R,且a≠0,则sin α的值可以是(　　) A. B.- C. D.- 解析:设x=a,y=a,则r=|a|.当a>0时,r=a,由三角函数的定义得sin α=;当a<0时,r=-a,由三角函数的定义得sin α==-. 解:由点P的坐标为和三角函数定义得sin θ=,cos θ=, 所以f(θ)=sin θ+cos θ==2. 5.设函数f(θ)=sin θ+cos θ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(),且0≤θ≤π.求f(θ)的值. $$