7.2.4 诱导公式（第1课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 第七章　三角函数 7.2.4　诱导公式 第1课时　α+k·2π(k∈Z),-α,π±α诱导公式 课标定位素养阐释 1.掌握诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值. 2.会用诱导公式进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明. 3.培养直观想象、逻辑推理、数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系 1.角α+k·2π(k∈Z)与角α有什么关系? 提示:终边相同. 2.角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间有什么关系? 提示:它们的同名三角函数值相等. 3.(1)sin(α+k·2π)=sin α;cos(α+k·2π)=cos α;tan(α+k·2π)=tan α(k∈Z).  (2)上述公式可归纳为:终边相同的角,同名三角函数值相等. 4.求值:(1)sin 6π=0; 二、角的旋转对称 1.若角α与β的终边关于x轴对称,则α,β之间满足的关系式是什么? 提示:β=2kπ-α,k∈Z. 2.一般地,角α的终边和角β的终边关于角 的终边所在的直线对称. 3.(1)30°角和-120°角的终边关于-45°角的终边所在的直线对称; (2) 的终边关于 π 的终边所在的直线对称. 三、角α与-α的三角函数值之间的关系 1.α与-α的终边有什么关系? 提示:关于x轴对称. 2.能否借助于三角函数线研究α与-α的三角函数值之间的关系? 提示:能. 3.(1)sin(-α)=-sin α;cos(-α)=cos α;tan(-α)=-tan α.  (2)用语言可表述为:-α的三角函数,等于α的同名三角函数,前面加上将α看作锐角时原函数值的符号,即函数名不变,符号看象限. 四、角α与π±α的三角函数值之间的关系 1.如何用单位圆中的三角函数线推导sin(π+α),cos(π+α),tan(π+α)与α的三角函数值之间的关系? 提示:π+α与α的终边互为反向延长线,sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tan α. 2.能否用三角函数线找出π-α与α的三角函数值之间的关系? 提示:能. 3.(1)sin(π-α)=sin α;cos(π-α)=-cos α;tan(π-α)=-tan α.  (2)sin(π+α)=-sin α;cos(π+α)=-cos α;tan(π+α)=tan α.  (3)α+k·2π(k∈Z),-α,π±α诱导公式可简记为:函数名不变,符号看象限. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)诱导公式中角α是任意角.(　　) (2)公式sin(-α)=-sin α,α是锐角才成立.(　　) (3)对于公式tan(π+α)=tan α,当α= 时不成立.(　　) (4)tan(-π)=tan π.(　　) × × √ √ 合作探究 释疑解惑 探究一 求值问题 【例1】 求下列各式的值. (1)tan 405°-sin 450°+cos 750°; (2)sin 315°sin(-1 500°)+cos(-1 110°)tan 675°; 分析:先利用诱导公式化为0°~90°内的角的三角函数再求值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 “-α”公式可起到化负角为正角的作用;“α+k·2π,k∈Z”公式有把大角化为小角的作用;“π±α”公式可把0~2π内角的三角函数化为0~π内角的三角函数. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 求值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 (3)tan(-945°)=-tan 945°=-tan(2×360°+225°) =-tan 225° =-tan(180°+45°) =-tan 45°=-1. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 化简三角函数式 【例2】 化简. 分析:应用公式化简时,应尽量将角统一,大角化小角,能求值尽量求值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 三角函数式的化简方法: (1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法,即表达式中的切函数通常化为弦函数. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练2】 化简. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 证明三角恒等式 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 1.三角恒等式的证明一般有三种方法: (1)一端化简等于另一端; (2)两端同时化简使之等于同一个式子; (3)作恒等式两端的差式使之为0. 2.证明条件恒等式一般有两种方法: 一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入,推出被证等式的另一边,这种方法称作代入法; 二是直接将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 已知tan(2π-α)=-2,求证:4sin2(4π-α)-3sin α·cos(-α)-5cos2α=1. 探究一 探究二 探究三 思想方法 思想方法 诱导公式中的分类讨论思想 分析:分k为奇数、k为偶数两种情况分别求解或利用角的交换求解. 探究一 探究二 探究三 思想方法 为了便于应用诱导公式化简求值,对于kπ(k∈Z)的情况,一般需把k分成偶数和奇数两种情况讨论. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.下列各式不正确的是(　　) A.sin(α+180°)=-sin α B.cos(-α+β)=-cos(α-β) C.sin(-α-360°)=-sin α D.cos(-α-β)=cos(α+β) 解析:cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β). 答案:B 2.点P(cos 2 082°,sin 2 082°)在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵2 082°=5×360°+282°, ∴cos 2 082°=cos 282°=cos 78°>0,sin 2 082°=sin 282°=-sin 78°<0, ∴P在第四象限. 答案:D 答案:1 4.sin 4 200°=　　　　　.  更多精彩内容请登录志鸿优化网 http://www.zhyh.org/ 本 课 结 束 (2)cos(-315°)=; (3)tan=-1. +α与-α 4.求值:(1)sin(-45°)=-; (2)cos; (3)tan(-750°)=-. 4.求值:(1)sin 150°=; (2)tan 210°=; (3)cos 225°=-; (4)sin 480°=. (3)cos. 解:(1)原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2×360°+30°) =tan 45°-sin 90°+cos 30°=1-1+. (2)原式=sin(360°-45°)(-sin 1 500°)+cos 1 110°·tan(2×360°-45°) =sin(-45°)·[-sin(360°×4+60°)]+cos(360°×3+30°)·tan(-45°) =sin 45°sin 60°-cos 30°·tan 45°=×1=. (3)cos-=cos=cos4π+=cosπ+=-cos=-. (1)sincos+tancos; (2)cossin-tan; (3)tan(-945°). 解:(1)原式=sin·cos-4π++tancos =sincos+tancos+1×. (2)原式=cossin+tan=cossin+tan =-cossin+tan=-+1=-+1=. (1); (2)sin·cos(n∈Z). 解:(1)原式 = = = = =-1. (2)原式=sincos=sincos(π+)=sin=-. 将例2(2)变为sinnπ+cosnπ+(n∈Z). 解:当n=2k,k∈Z时,原式=sin·cos=-; 当n=2k+1,k∈Z时, 原式=sin2kπ+π+cos2kπ+π+=sinπ+cosπ+ =-sincos=-sincos=-. 故原式=-. (1); (2). 解:(1)=1. (2)原式==-1. 证法一:左边 = = = ==右边. 【例3】 设tan=m,求证:. 证法二:由tan=m,得tan=m. 左边= = = = ==右边. 证明:左边=4sin2(-α)-3sin αcos α-5cos2α=. 因为tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-2, 所以tan α=2,所以左边==1, 所以4sin2(4π-α)-3sin α·cos(-α)-5cos2α=1. 【典例】 设k为整数,化简:. 解:当k=2n,n∈Z时,原式==-1;当k=2n+1,n∈Z时,原式==-1. 综上,原式=-1. 【变式训练】 化简:(n∈Z). 解:当n=2k,k∈Z时,原式==-sin α; 当n=2k+1,k∈Z时,原式==sin α. 3.的化简结果为　　　　　.  解析:原式==1. 解析:sin 4 200°=sin(11×360°+240°)=sin 240°=-sin 60°=-. 答案:- 5.求证:=-tan α. 证明:左边 = = =- =-tan α =右边. $$