7.3.3 余弦函数的性质与图象课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 第七章　三角函数 7.3.3　余弦函数的性质与图象 课标定位素养阐释 1.了解余弦函数的定义. 2.会作余弦函数的图象. 3.了解余弦函数的有关性质. 4.培养直观想象、逻辑推理、数学运算素养. 自主预习 新知导学 余弦函数的性质与图象 1.对于任意一个角x,cos x有几个值与之对应? 提示:一个. 2.由y=sin x,x∈R的图象如何得到y=cos x,x∈R的图象? 提示:把y=sin x的图象向左平移 个单位,得到y=sin 的图象,即 y=cos x的图象. 3.(1)函数y=cos x,x∈R称为余弦函数,y=cos x的图象称为余弦曲线. (2)余弦函数的性质: 函数 y=cos x 定义域 R 值域 [-1,1] 奇偶性 偶函数 周期性 以2kπ为周期(k∈Z,k≠0),2π为最小正周期 单调性 当x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)时,单调递增; 当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)时,单调递减 4.(1)y=3cos x+5的最大值是8; (2)函数 的周期为π; (3)函数f(x)=cos xsin x是奇函数(填“奇”或“偶”). 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)余弦函数y=cos x是偶函数,其图象关于y轴对称,对称轴有无数多条. (　　) (2)余弦函数y=cos x的图象是轴对称图形,也是中心对称图形.(　　) (3)在区间[0,3π]上,函数y=cos x仅在x=0时取得最大值1.(　　) (4)函数y=cos x在区间上是减函数.(　　) (5)函数y=cos x,x∈[0,10π]是周期函数,最小正周期为2π.(　　) √ √ × √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 用“五点法”作余弦型函数的图象 【例1】 用“五点法”作函数y=2+cos x,x∈[0,2π]的简图. 分析:在区间[0,2π]上描出五个关键点,用平滑的曲线连接即可. 解:列表: 描点连线,如图所示. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)列表: 描点作图: 探究一 探究二 探究三 易错辨析 “五点法”画函数y=Acos(ωx+φ)+B的图象的步骤: (1)列表,令ωx+φ=X,取 解出对应的x. (2)描出点(x,y). (3)用光滑的曲线连成图,这是一种基本作图法,应熟练掌握. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 作出函数y=3-2cos x,x∈[0,2π]的简图. 解:按五个关键点列表,描点画出图象(如图). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 函数的最值问题 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 对于求形如y=acos(ωx+φ)+b的函数值域问题,若x有范围限制,则需考虑cos(ωx+φ)的范围. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 余弦型函数图象的对称性 (1)在该函数图象的对称轴中,求离y轴距离最近的那条对称轴的方程; (2)把该函数的图象向右平移φ个单位后,图象关于原点对称,求φ的最小正值. 分析:函数y=Acos(ωx+φ)图象的对称轴是经过图象的最高(低)点且垂直于x轴的直线. 函数图象与x轴的交点是函数图象的对称中心. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))的图象关于x=x0对称⇔f(x0)=A或-A. 2.f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))的图象关于点(x0,0)中心对称⇔f(x0)=0. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 把函数 的图象向右平移φ个单位,正好关于y轴对称,求φ的最小正值. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 因忽略函数的周期或ω对单调性的影响致错 (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若x∈[-π,π],求f(x)的最大值和最小值. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范? 提示:(1)忽略了函数f(x)的周期性.(2)忽略了x∈[-π,π]对函数f(x)的最值的影响. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 求函数y=Acos(ωx+φ)的单调区间时应先将ω化为正值,再据复合函数的单调性求解.求函数的值域或最值时,应时刻关注定义域. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 答案:D A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案:B 答案:AB 4.若函数y=acos x+b(a,b为常数)的最大值为1,最小值为-7,则y=3+absin x的最大值为　　　　　.  答案:15 6.用五点法作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图. 解:列表: 描点连线,如图所示. 函数 y=cos x 最大值与 最小值 当x=2kπ(k∈Z)时,最大值为1; 当x=2kπ+π(k∈Z)时,最小值为-1 零点 x=kπ+,k∈Z 对称轴 x=kπ,k∈Z 对称中心 ,k∈Z y=1-2cos x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 2+cos x 3 2 1 2 3 (1)用“五点法”作出函数y=cos2x-在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)由y=cos x的图象如何变换可得到y=cos2x-的图象? x 2x- 0 π 2π y 1 0 -1 0 1 (2)将y=cos x的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=cos的图象. X=0,,π,,2π, x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 y=3-2cos x 1 3 5 3 1 【例2】 已知函数y1=a-bcos的最大值是,最小值是-,求函数 y=-4asin 3bx的最大值. 解:∵函数y1=a-bcos(3x-)的最大值是,最小值是-, ∴当b>0时,由题意得解得 当b<0时,由题意得解得 因此y=-2sin 3x或y=2sin 3x. 函数的最大值均为2. 【变式训练2】 函数y=sin2x+cos x-≤x≤的值域为　　　　　.  解析:y=sin2x+cos x=1-cos2x+cos x. 令cos x=t,则t∈,则y=-t2+t+1=-. 当t=时,ymax=1-; 当t=1时,ymin=1-12+1=1,故函数的值域为. 答案: 【例3】 已知函数y=2cos. 解:(1)令2x+=kπ,k∈Z, 解得x=,k∈Z. 令k=0,得x=-;令k=1,得x=. 故函数y=2cos图象的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x=. (2)设该函数向右平移φ个单位后的解析式为y=f(x), 则f(x)=2cos=2cos2x+-2φ. ∵y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称, ∴f(0)=2cos=0. ∴-2φ=kπ+,k∈Z. 解得φ=(k∈Z). 令k=0,得φ=.∴φ的最小正值是. y=cos 解:由题意, 平移后的图象对应函数为y=cos,它是偶函数,因此,当x=0时,cos取得最大值1或最小值-1,故-φ=2nπ或(2n+1)π(n∈Z), 即-φ=kπ(k∈Z). φ=-kπ(k∈Z),当k=1时,φ取最小正值. 【典例】 已知函数f(x)=2cos. 错解:(1)由-π≤≤0,得≤x≤,即f(x)的单调递增区间为. (2)∵-1≤cos≤1, ∴f(x)max=2,f(x)min=-2. 正解:(1)f(x)=2cos=2cos. 由2kπ-π≤≤2kπ,得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z). 故f(x)的单调递增区间为4kπ-,4kπ+(k∈Z). (2)由-π≤x≤π⇒-. 当=0,即x=时,f(x)max=2, 当=-,即x=-π时,f(x)min=-. 【变式训练】 求函数y=cos的单调递减区间. 解:y=cos=cos(2x-). 令2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 故函数y=cos的单调递减区间为(k∈Z). 1.下列函数中,周期为的是(　　) A.y=sin B.y=sin 2x C.y=cos D.y=cos 4x 2.函数y=sin是(　　) 解析:y=f(x)=sin=sin(x++2 009π)=-cos x,f(-x)=-cos(-x)=-cos x,故f(x)为偶函数. 3.(多选题)下列函数同时具有“最小正周期是π,图象关于点对称”两个性质的是(　　) A.y=sin B.y=cos C.y=cos D.y=sin 解析:当a>0时,有 解得 当a<0时,有解得 则y=3+absin x=3±12sin x,其最大值为15. 5.函数y=cos的单调递增区间是　　　　　　　　　　　　　　　.  解析:令2kπ-π≤3x-≤2kπ,k∈Z,得≤x≤,k∈Z. 答案:,k∈Z x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 1-cos x 0 1 2 1 0 $$