7.3.4 正切函数的性质与图象课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 第七章　三角函数 7.3.4　正切函数的性质与图象 课标定位素养阐释 1.了解正切函数的定义. 2.能画出正切函数的图象. 3.掌握正切函数的性质,会求正切函数的定义域、值域、周期等. 4.培养直观想象、逻辑推理、数学运算素养. 自主预习 新知导学 正切函数的性质与图象 1.当x≠ +kπ,k∈Z时,对任意一个x∈R,tan x可以有多少个不同的值? 提示:一个. 2.根据正切线,能否判断y=tan x是周期函数?若为周期函数,周期是多少? 提示:能,π. 提示:先利用描点法作出y=tan x,x∈ 的图象,再通过平移kπ(k∈Z)个单位作出其余图象. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　) (2)正切函数的图象是中心对称图形,有无数个对称中心.(　　) (3)正切函数的图象有无数条对称轴,其对称轴是x=kπ± ,k∈Z.(　　) (4)正切函数在其定义域上是单调递增的.(　　) × √ × × 合作探究 释疑解惑 探究一 正切函数的图象 【例1】 作出函数y=|tan x|的图象. 分析:先将y=|tan x|化为分段函数,再作出分段函数的图象. 探究一 探究二 探究三 思想方法 试求函数y=|tan x|的周期和单调区间. 解:由图象(图略)可知,函数y=|tan x|的最小正周期T=π, 探究一 探究二 探究三 思想方法 将含绝对值的函数转化为分段函数是解决此类问题的基本方法.本题也可以作如下处理: 要作出函数y=|tan x|的图象,可先作出y=tan x的图象,再将其在x轴及上方的图象保留,而将其在x轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x轴对称的图象),就可得到y=|tan x|的图象. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 答案:A 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 【例2】 (1)求函数 的最小正周期; (2)判断函数f(x)=sin x+tan x的奇偶性. 分析:(1)可由公式 求解; (2)根据定义判断即可. 探究一 探究二 探究三 思想方法 1.正切函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法: (1)定义法. (2)公式法:函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期 . 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法: 先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,则再看f(-x)与f(x)的关系. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 正切函数的单调性及应用 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法. (1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kπ- <ωx+φ<kπ+ (k∈Z),解得x的范围即可. (2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可. 2.运用正切函数单调性比较大小的方法. (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用函数的单调性比较大小关系. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 思想方法 利用正切函数的图象解不等式 【典例】 解不等式tan x>1. 分析:先确定在一个周期 内的x的范围,再写出不等式的解集. 探究一 探究二 探究三 思想方法 解形如tan x>a的不等式的步骤: 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 答案:B 答案:D 答案:ACD 5.函数f(x)=tan(cos x)的值域是　　　　　.  答案:[-tan 1,tan 1] 3.如何作y=tan x的图象? 4.(1)函数y=tan x称为正切函数,其图象称为正切曲线. (2)正切函数的图象、性质. 解析式 y=tan x 图象 定义域 值域 R 解析式 y=tan x 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在区间(k∈Z)内都是增函数 零点 kπ(k∈Z) 对称中心 (k∈Z) 5.(1)函数y=tan 2x的定义域为{x,k∈Z},周期为,单调区间为()(k∈Z); (2)函数y=tan的图象的对称中心坐标是(k∈Z). 解:y=|tan x|= 其图象如图所示. 单调递增区间为(k∈Z);单调递减区间为(k∈Z). 【变式训练1】 函数y=tan在一个周期内的图象是(　　) 解析:函数y=tan的最小正周期为2π,由此可排除B,D,选项C中,当x=时,y≠0,因此排除C,故选A. f(x)=tan T= 解:(1)由周期公式得,T=. (2)定义域为,关于原点对称, ∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x), ∴f(x)是奇函数. T= 【变式训练2】 (1)求函数y=tanax+(a≠0)的最小正周期. (2)判断下列函数的奇偶性: ①f(x)=; ②f(x)=tan+tan. 解:(1)函数y=tan(a≠0)的最小正周期T=. (2)①当x=-时,f(x)有意义, 当x=时,f(x)无意义,∴x≠. ∴函数f(x)的定义域不关于原点对称,故函数f(x)为非奇非偶函数. ②要使函数f(x)有意义,应满足 ∴x≠kπ+,k∈Z,且x≠kπ+,k∈Z. ∴函数f(x)的定义域关于原点对称. ∵f(-x)=tan+tan=-tan(x+)-tan =-[tan+tan]=-f(x),∴函数f(x)为奇函数. 【例3】 (1)求函数y=tan的单调区间; (2)比较大小:tan,tan. 解:(1)y=tan=-tan(x-), 由kπ-x-<kπ+(k∈Z), 得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z, ∴函数y=tan的单调递减区间是2kπ-,2kπ+,k∈Z. (2)∵tan=tan=tan, tan=tan=tan, 又函数y=tan x在区间内是增函数, 而-<-, ∴tan<tan,即tan<tan. 【变式训练3】 (1)若α∈,试比较tan(sin α),tan(tan α),tan(cos α)的 大小; (2)求函数y=tan的单调区间. 解:(1)∵0<α<, ∴0<sin α<tan α<cos α<1<. 又y=tan x在区间内是增函数, ∴tan(sin α)<tan(tan α)<tan(cos α). (2)令-+kπ<2x-+kπ,k∈Z, 即-<x<,k∈Z. ∴函数y=tan的单调递增区间是(-)(k∈Z). 解:函数y=tan x在区间内的图象如图所示. 作直线y=1,则在区间内,当tan x>1时, 有<x<.又函数y=tan x的周期为π,则 tan x>1的解集是. 【变式训练】 求函数y=+lg(1-tan x)的定义域. 解:要使函数有意义,应满足 ∴ ∴ ∴kπ-≤x<kπ+,k∈Z, 故函数y=+lg(1-tan x)的定义域为,k∈Z. 1.下列函数中,最小正周期为的是(　　) A.y=sin B.y=tan C.y=cos D.y=tan 2.函数f(x)=tan的单调递增区间为(　　) A.,k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:因为正切函数在每一个区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)内都是增函数, 所以kπ-<x-<kπ+, 所以kπ-<x<kπ+,k∈Z, 故选D. 3.(多选题)下列关于函数y=tanx+的说法不正确的是(　　) A.在区间内单调递增 B.最小正周期是π C.其图象关于点成中心对称 D.其图象关于直线x=成轴对称 4.函数y=tan的图象的对称中心坐标为　　　　　.  解析:y=tan=-tan(2x-),由2x-,k∈Z,得x=,k∈Z. 答案:,k∈Z 解析:∵x∈R,cos x∈[-1,1],函数y=tan x在区间内是增函数,-<-1<1<, ∴tan(cos x)∈[-tan 1,tan 1]. 6.求函数y=的定义域. 解:由3tan x-≥0,得tan x≥. 画出函数y=tan x,x∈(-)的图象及直线y=,如图所示. 由图象及函数y=tan x的周期性可知, 满足不等式的x的取值范围,即函数的 定义域为[+kπ,+kπ),k∈Z. $$