精品解析：2024年湖北省武汉市部分学校中考模拟数学试卷（三）

2024年武汉市中考模拟试题 数学试卷（三） 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共8页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 预祝你取得优异成绩！ 4．认真阅读答题卡上的注意事项 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 平面内，过圆内一点的直线与圆相交 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯 D. 抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数为7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、平面内，过圆内一点的直线与圆相交是必然事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和为是不可能事件，不符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯是随机事件，符合题意； D、骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一枚骰子，向上一面的点数为7是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 3. 下列图形是杭州亚运会部分比赛项目的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选C． 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方．根据积的乘方的运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 5. 如图放置的正三棱柱，关于它的三视图的描述正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三视图都不相同 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得物体的三视图如下： 主视图为矩形，左视图为矩形，但两个矩形的大小不一样，俯视图为等边三角形， ∴三视图都不相同． 6. 如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改变，行驶到C处仍按正东方向（射线）继续行驶．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，是基础题．根据两直线平行，同旁内角互补，以C为顶点作的角即可． 【详解】解：如图，继续行驶的路线是按箭号方向行驶． 根据题意得：，， ， 故选：D． 7. 我校举办的“强基计划五大学科展示汇”吸引了众多学生前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，A，B是入口，C，D，E是出口．小颖从A入口进，从C口或E口出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率； 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果共有6种，其中从A入口进，从C口或E口出的结果共有2种， 小颖从A入口进，从C口或E口出的概率为， 故选：D； 8. 已知方程的两根分别为、，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为、， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线DE剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解直角三角形．设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∵是的内切圆，、为切点， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 设内切圆的半径为， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 10. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） 我 A. 当时，函数的最大值是4 B. 函数值随的增大而增大，则 C. 关于的方程的所有实数根的和为4 D. 当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知的对称轴为直线，根据函数的性质可知当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线与的交点问题，对于D选项可通过图象进行求解． 【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误； 由图象可知当时，其对称轴为直线，则有当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 如图， 由图可知：与，与分别关于对称轴对称，根据对称性可知：，，所以关于的方程的所有实数根的和为4，故C选项正确； 如图，明显当直线与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误； 故选C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 2023年，粮食生产再获丰收，全国粮食总产量约13900亿斤．将数据13900亿用科学记数法表示是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解：13900亿， 故答案为：． 12. 反比例函数图象经过三点，和，若，则，写出一个满足条件的的值是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，象限内点的坐标特点．先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据中横坐标大于0，得出在第四象限，即可求出，写出答案即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过,两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在第二、四象限， ∵反比例函数图象经过点，， ∴在第四象限， ∴， ∴的值可以是． 故答案为： (答案不唯一)． 13. 某广场中心建有雕塑，某课外实践小组为测量雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪DA的高度为1.5m．则雕塑BC的高度是__________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形实际应用．根据题意可知，利用正弦函数值即可求出，继而求得本题答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的高度为， ∴， 故答案为：． 14. 甲、乙两人在笔直的健身步道上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则甲、乙两人距离的最大值是 ____米． 【答案】360 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据分别求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时，甲离终点距离从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲步行速度＝240÷4＝60（米/分）， 设乙的速度为：x米/分， 由题意可得：16×60＝（16−4）x， 解得x＝80 ∴乙的速度为80米/分， ∴乙走完全程的时间＝2400÷80＝30（分）， 乙到达终点时，甲离终点距离是：2400−（4＋30）×60＝360（米）， ∴甲、乙两人距离的最大值是360米． 故答案是360． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，理解函数图像上点的坐标的实际意义，利用数形结合的思想解答． 15. 为等腰直角三角形，，，动点在边上运动．以A为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形（如图）．为中点，为三等分点，，连接，则线段的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】连接，过点M作于点H，证明，推出，，再证明，推出，，设，则，在中，由勾股定理得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点M作于点H，则， ∵为等腰直角三角形，，， ∴，， ∵以A为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴，即， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∵， ∴， ∴当时，的最小值是1， ∴的最小值是1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 16. 如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，有下列结论： ①； ②； ③当时，； ④若，是方程的两根，则方程的两根，满足且． 其中，正确的是__________．（填写序号）． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与字母系数的关系，二次函数的性质，数形结合法，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征．利用二次函数图象的性质，数形结合法，和二次函数与一元二次方程的关系对每一个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口方向向上， ． 抛物线的对称轴为直线， ． ． ． 抛物线与轴交于轴的正半轴， ． ，①的结论错误； 由抛物线可知：当时，． 抛物线的对称轴为直线， ． ． ． ． ，②的结论错误； 时，，抛物线的对称轴为直线， 当时，． 由抛物线的对称性可知：当时，． ③的结论正确； 若，是方程的两根， ，，， 设直线与抛物线交于点，，如图， 分别过点，作轴的垂线，垂足对应的数字为，， 即方程的两根，， 由图象可得：，； ④的结论正确． 综上，正确结论是③④． 故答案为：③④． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求满足不等式组的整数解． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后求整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为2． 18. 如图，四边形中，，，的平分线交于点． （1）求的度数； （2）在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 【答案】（1） （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，平行线的性质： （1）利用平行线的性质，和角平分线的定义进行求解即可； （2）根据平行四边形的判定方法，添加条件即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； 【小问2详解】 添加条件为：（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 某校组织了一次数学实验比赛，设置了A测高、B测距、C折纸、D拼图、E搭建共五个比赛项目，学校对全校1800名学生参与比赛项目的分布情况进行了一次抽样调查，并将调查所得的数据整理如下．根据统计的信息，解答问题． （1）本次抽样调查的样本容量是__________； （2）扇形统计图中D项目对应的百分比是__________； （3）该校参加人数最多的项目是哪个项目？约有多少学生参加？ 【答案】（1）300 （2） （3）该校参加人数最多的项目是E搭建项目，有558人． 【解析】 【分析】本题考查了调查统计的知识；解题的关键是熟练掌握条形统计图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解． （1）根据A组学生人数及其占比计算，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，首先计算A组学生人数，再补全条形统计图即可； （3）根据用样本评估总体的性质分析，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，A组学生人数为：63人，A组学生人数占比为：， ∴本次抽样调查的样本容量（人）； 故答案为：300； 【小问2详解】 解：∴扇形统计图中D项目对应的百分比， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由扇形统计图可知，E组占比为，最大，则E组学生的人数最多， ∴该校参加人数最多的项目是E搭建项目， ∴该校参加E搭建项目的人数为：（人）． 答：该校参加人数最多的项目是E搭建项目，有558人． 20. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）15 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出，再证出，即，即可得出是的切线；； （2）连接，证明，得，可得，在中，根据，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∵的半径为10，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题． 21. 如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）如图1，P为格点，过点P分别画，的垂线． （2）如图2，E是上的一点，先画的平分线，再画点E关于直线的对称点F． 【答案】（1） 如图，和即为所作； ；’ （2） 如图，平分，点E和点F关于直线对称； ． 【解析】 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、等腰三角形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点，结合三角形的判定和性质即可求解； （2）利用等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． 水平距离（） 0 2 6 10 14 18 铅垂高度（） （1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式 （2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？ （3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（）与时间（）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？ 【答案】（1）； （2）不达标 （3）能 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再把点代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）设直线的解析式为：，利用待定系数法求得解析式为：．联立方程组：，得抛物线与交点坐标为，当时和当时，代入二次函数求得时间，再与运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留时间相比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 即， 即该运动员铅垂高度的最大值为； 把点代入得： ，解得：， ∴满足的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴该运动员的成绩不达标； 【小问3详解】 设直线的解析式为：，将点和代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 联立方程组得：， 解得：（舍去）或， 抛物线与交点坐标为， 当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：或（舍去）， 该运动员从起跳到落地所用时间为：（秒）， 运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟， 该运动员从起跳到落地能完成动作． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 23. 问题情境：如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点分别作，的垂线，分别交直线，于点，． 数学思考：（1）线段和的数量关系； 问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，，求线段和的数量关系； 问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点为的中点时，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由可证，由全等三角形的性质得出； （2）证明，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案； （3）过点作于，于点，证出，，由（2）知，由相似三角形的性质证出，由锐角三角函数的定义得出，求出的长，根据三角形面积公式可得出答案． 【详解】解：（1）； 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），理由见解析； 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）过点作于，于点， 为的中点， ， ，， ∴， ， ， 同理可得， 由（2）知， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 24. 已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 图1 图2 （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图1，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值； （3）如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 【答案】（1），点，点； （2）的最大值为； （3）直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）令和，解方程可求解； （2）过点P作轴于E，交于点F，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，则，再证得，可得，得出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）设点，直线，直线，直线，将点C、B的坐标代入可得：，联立直线与抛物线的解析式可得出，，同理：，，进而可得：，，根据直线与直线的交点始终在直线上，可得，，即直线，故直线恒过定点． 【小问1详解】 对于，令，则， ∴， ∴点，点， 令，则， ∴点； 【小问2详解】 过点P作轴于E，交于点F，如图1： 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大为； 【小问3详解】 证明：如图2，设点， 直线，直线，直线， 整理得：， 则，， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ， 联立直线与直线的解析式得：， 解得：， ∵直线与直线的交点始终在直线上， ∴， 化简得：， ∴， ∴直线， ∴不论为何值，均有时，， 即：直线恒过定点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，相似三角形的判定与性质等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年武汉市中考模拟试题 数学试卷（三） 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共8页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 预祝你取得优异成绩！ 4．认真阅读答题卡上的注意事项 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 平面内，过圆内一点的直线与圆相交 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯 D. 抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数为7 3. 下列图形是杭州亚运会部分比赛项目的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图放置的正三棱柱，关于它的三视图的描述正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三视图都不相同 6. 如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改变，行驶到C处仍按正东方向（射线）继续行驶．则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 我校举办的“强基计划五大学科展示汇”吸引了众多学生前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，A，B是入口，C，D，E是出口．小颖从A入口进，从C口或E口出的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程的两根分别为、，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2024 9. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线DE剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 10. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） 我 A. 当时，函数的最大值是4 B. 函数值随的增大而增大，则 C. 关于的方程的所有实数根的和为4 D. 当直线与该图象恰有三个公共点时，则 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 2023年，粮食生产再获丰收，全国粮食总产量约13900亿斤．将数据13900亿用科学记数法表示是__________． 12. 反比例函数图象经过三点，和，若，则，写出一个满足条件的的值是__________． 13. 某广场中心建有雕塑，某课外实践小组为测量雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪DA的高度为1.5m．则雕塑BC的高度是__________m． 14. 甲、乙两人在笔直的健身步道上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则甲、乙两人距离的最大值是 ____米． 15. 为等腰直角三角形，，，动点在边上运动．以A为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形（如图）．为中点，为三等分点，，连接，则线段的最小值为______． 16. 如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，有下列结论： ①； ②； ③当时，； ④若，是方程的两根，则方程的两根，满足且． 其中，正确的是__________．（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求满足不等式组的整数解． 18. 如图，四边形中，，，的平分线交于点． （1）求的度数； （2）在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 19. 某校组织了一次数学实验比赛，设置了A测高、B测距、C折纸、D拼图、E搭建共五个比赛项目，学校对全校1800名学生参与比赛项目的分布情况进行了一次抽样调查，并将调查所得的数据整理如下．根据统计的信息，解答问题． （1）本次抽样调查的样本容量是__________； （2）扇形统计图中D项目对应的百分比是__________； （3）该校参加人数最多的项目是哪个项目？约有多少学生参加？ 20. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）如图1，P为格点，过点P分别画，的垂线． （2）如图2，E是上的一点，先画的平分线，再画点E关于直线的对称点F． 22. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． 水平距离（） 0 2 6 10 14 18 铅垂高度（） （1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式 （2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？ （3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（）与时间（）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？ 23. 问题情境：如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点分别作，的垂线，分别交直线，于点，． 数学思考：（1）线段和的数量关系； 问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，，求线段和的数量关系； 问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点为的中点时，请直接写出的面积． 24. 已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 图1 图2 （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图1，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值； （3）如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $