精品解析：广东省肇庆市第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题

肇庆市第一中学2024-2025学年第一学期 高三数学开学考（文字版|含答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则不等式的解集是 A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. 1 C. -5 D. 5 7. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. “，”是“”成立的充分条件 C. 命题：，，则：， D. “”是“”的必要条件 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4不同的根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：的值是________． 13. 已知函数，函数为一次函数，若，则__________. 14. 若函数，则使得成立的的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 16. 已知函数，其中． （1）若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值； （2）解关于x的不等式． 17. 已知函数. （1）解关于的不等式； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数是定义域为上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集； （3）若在上的最小值为，求的值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证； （3）若有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市第一中学2024-2025学年第一学期 高三数学开学考（文字版|含答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由Venn图确定集合的表示，然后计算可得. 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 由，，得或， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数的虚部概念即可. 【详解】，故该复数的虚部为2. 故选：D. 3. 已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】命题为真命题等价于不等式有解． 当时，不等式变形为，则，符合题意； 当时，，解得； 当时，总存在，使得； 综上可得实数的取值范围为． 故选：B 4. 对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离参数后将问题转化为，再结合对勾函数的单调性求出的最值即可； 【详解】分离参数得，要使对任意，不等式恒成立，只需. 又因为，令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以，所以，所以. 故选：D. 5. 已知函数，则不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意得，选A． 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. 1 C. -5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，证明其为奇函数，据此可得解. 【详解】设， 则， 所以，即， 所以. 因为，所以. 故选：A 7. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为幂函数，可求出，即得到，再利用零点存在定理从而可求解. 【详解】由为幂函数，所以，得，所以， 对A：当时，，，故A错误； 对B：，，故B错误； 对C：，，故C正确； 对D：，，故D错误； 故选：C. 8. 已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题化为与有两个交点，利用导数研究过原点的切线斜率，数形结合判断参数的范围. 【详解】作出函数的图象，如图示： 当时，，则， 若切点为，则，则切线为， 由切线过原点，则，所以为的一条切线方程， 当时，，则， 若切点为，则，则切线为， 由切线过原点，则，即，所以为的一条切线， 当时，，则， 若切点为，则，则切线为， 由切线过原点，则，即，所以为的一条切线， 综上，考虑直线，，与曲线相切， 由图知，当时与有两个交点， 所以时函数恰有两个零点． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. “，”是“”成立的充分条件 C. 命题：，，则：， D. “”是“”的必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：利用分式不等式得解法解出即可得；对B：利用充分条件定义判断即可得；对C：借助全称命题的否定即可得；对D：利用必要条件定义判断即可得. 【详解】对A：， 解得，即其解集为，故A错误； 对B：若，，则， 故“，”是“”成立的充分条件，故B正确； 对C：，的否定为，，故C错误； 对D：由“”可得“”，故“”是“”的必要条件，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D. 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 故选：BC． 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：因为是偶函数， 所以，即 所以关于对称，故A正确. 对于B：因为， 所以， 所以，即周期，故B正确 对于C： 所以，故C错误； 对于D：因为，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，根据对称性，可作出上的图象， 又的周期， 作出图象与图象，如下图所示： 所以与有4个交点，故D正确. 故选： ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据分数指数幂的运算法则和对数运算法则计算即可得解. 【详解】原式 . 故答案为：5. 13. 已知函数，函数为一次函数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出一次函数解析式，根据函数意义代入，结合对应系数相等即可求得一次函数的解析式． 【详解】由题意，函数为一次函数，由待定系数法， 设（）， ， 由对应系数相等，得，. 即为. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式的应用，属于基础题． 14. 若函数，则使得成立的的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知函数为偶函数且在单调递增，由此抽象出不等式，解出即可 【详解】由函数的定义域为, 所以函数为偶函数 当时，与为单调递增函数 所以在单调递增 所以 所以 解得： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程. （2）分析函数的单调性，可得函数的最小值. 【小问1详解】 因为：，所以切点坐标为：， 又，，即为所求切线的斜率. 所以切线方程为：，化简得： 【小问2详解】 ，（） 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在区间上的极小值为，也是最小值. 16. 已知函数，其中． （1）若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用二次方程的韦达定理即可得解； （2）分类讨论的取值范围，结合二次不等式的解法即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以由，得， 整理得， 因为方程有两实数根，即有两实数根， 所以，则， 又两实数根之积等于1，所以，解得或（舍去）， 经检验，满足要求， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，由，解得； 当时，易知无解； 当时，由，解得； 综上，当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 17. 已知函数. （1）解关于的不等式； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求解时先考虑因式分解，后针对根的大小进行分类讨论，分别写出不等式的解集即可； （2）不等式即在上恒成立可转化为（），而函数的最小值可通过基本不等式进行求解，从而可求得的取值范围. 【小问1详解】 由得，即. 当，即时，原不等式的解为或； 当，即时，原不等式的解为且； 当，即时，原不等式的解为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或. 【小问2详解】 由得在上恒成立， 即在上恒成立，所以（）， 令，则， 当且仅当等号成立， ，，即， 故实数的取值范围是. 18. 已知函数是定义域为上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集； （3）若在上的最小值为，求的值. 【答案】（1）； （2）由（1）可得： 可知的定义为 在上任取，且，即 在上单调递增， ；（3）． 【解析】 【分析】（1）因为是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质，结合已知，即可求得答案； （2）先根据定义法判断的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集； （3）因为，令，可得，分别讨论和，即可求得的值. 【详解】（1）是定义域为上的奇函数， 根据奇函数性质可得 当时，可得 即： 解得： （2） 可化简为： ，即，解得或． 不等式的解集为． （3） ． 令， 则． ，． 当时，则当时，，解得； 当时，则当时，，解得，(舍去)． 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：， 若证成立，只需证成立即可， 所以定义域为，， 在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上有唯一实根， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ，同时取对数得， ， ，. （3） 【解析】 【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可. （2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可. （3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得定义域为， 而， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，解得：，当时，解得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若时，由已知得最多有一个零点， 当时，由已知得当时，取得最小值， ， 当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，， 由， 故在有一个零点， ， ，， 设，， 在上单调递增， ，， ， 在上有一个零点， 在上有两个零点， 综上得到的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是对参数范围分类讨论，然后找到符合零点要求的参数范围，得到所要求的参数范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $