专题2.2.3 直线的一般式方程9种常见考法归类（73题）-2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册) 专题2.2.3 直线的一般式方程9种常见考法归类（73题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的一般式方程 （一）直线的一般式方程及辨析 （二）直线的一般式方程的应用 题型二 直线的一般式方程与其他形式的相互转化 题型三 两直线平行与垂直的应用 （一）由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 （1）根据直线平行求参数 （2）根据直线垂直求参数 （二）由两条直线的平行、垂直求直线方程 （1）由两条直线平行求直线方程 （2）由两条直线垂直求直线方程 题型四 直线的方向向量的求解 题型五 根据直线的方向向量求直线方程 题型六 直线过定点问题 题型七 直线与坐标轴围成三角形的面积、周长问题 题型八 直线的综合问题 题型九 直线方程的实际应用 知识点1 直线的一般式方程 1.直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： (1)、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． (2)在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. (3)解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 注：直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直线方程的 特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可 由它推导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义， 但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们 各自适用的条件，以避免出错. 3.直线的一般式方程与其它形式方程的互化 注：（1）一般式化为斜截式的步骤 (1)移项，得By＝－Ax－C； (2)当B≠0时，得斜截式：y＝－x－. （2）一般式化为截距式的步骤 方法一： ①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C； ②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1； ③化为截距式：＋＝1. 方法二： ①令x＝0求直线在y轴上的截距b； ②令y＝0求直线在x轴上的截距a； ③代入截距式方程＋＝1. 由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式． 4.二元一次方程Ax＋By＋C＝0的系数和常数项对直线位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点． 题型一 直线的一般式方程 （一）直线的一般式方程及辨析 解题策略：求直线的一般式方程的策略 (1)当A≠0时,方程Ax+By+C=0可化为x+y+=0,只需求,的值;当B≠0时,方程可化为x+y+=0,只需确定,的值.因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程. (2)在求直线方程时,设一般式方程求解有时并不简单,常用的方法还是先根据已知条件选用四种特殊形式之一求方程,再将方程转化为一般式. 1.（2024·广东江门·高二统考期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 2．（2024·高二课时练习）当直线方程的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？ (1)过坐标原点； (2)与两条坐标轴都相交； (3)只与x轴相交； (4)是x轴所在直线； (5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成． 3.（23-24高三上·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（    ） A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限 4．【多选】（2024·高二课时练习）已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则直线l的斜率小于0 B．若，则直线l的倾斜角为 C．直线l可能经过坐标原点 D．若，则直线l的倾斜角为 5．（2024·全国·高三对口高考）以下关于直线的说法中，不正确的是（    ） A．直线一定不经过原点 B．直线一定不经过第三象限 C．直线一定经过第二象限 D．直线可表示经过点的所有直线 6.（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）若，且，则经过的直线的一般方程为_________ （二）直线的一般式方程的应用 解题策略：1.含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 2.解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和纵截距作出判断. 7．（2024·江苏盐城·高二校考期末）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2024·全国·高二假期作业）如果，，那么直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2024·高二课时练习）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（    ） A． B． C． D． 10．（2024·黑龙江佳木斯·高二校考开学考试）若直线不过第二象限，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2024·高二课时练习）直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 直线的一般式方程与其他形式的相互转化 解题策略：1．求直线一般式方程的策略 当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． 注：在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．　 2．不同条件下各种直线方程的选用 在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点的坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． 12.（2024·新疆塔城·高二统考开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（　　） A． B． C． D． 13.（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 14.（2024·上海闵行·高二校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是______． 15.（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则 ________. 17.（2024高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 知识点2 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 3．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 题型三 两直线平行与垂直的应用 （1） 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 解题策略：1.利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， (1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. (2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．　 2.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. （1）根据直线平行求参数 18．（2024·山东东营·高二统考期末）若直线l：与直线m：互相平行，则______． 19．（2024·全国·高三专题练习）若直线与直线平行，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 20.（2024·江西新余·高三统考期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 21.（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22.（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23.（2024·高二单元测试）“”是“直线和直线平行且不重合”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 24.（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 25.（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 26．（2024·河北沧州·高二任丘市第一中学校考阶段练习）已知，，直线与直线平行，则的最小值是______. （2）根据直线垂直求参数 27．（2024·河北沧州·高二任丘市第一中学校考阶段练习）直线：，：，则“”是“”的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 28.（2023·北京·高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 29.（2024·贵州·高二校联考期中）直线与直线垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 30．（2024·北京海淀·高二校考阶段练习）已知直线，.若，则实数a=___________，若，则实数a=___________． 31.（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ） A． B． C． D． 32．【多选】（2024·高二校考课时练习）已知直线，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 33．【多选】（2024·浙江温州·高二统考期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， （2） 由两条直线的平行、垂直求直线方程 解题策略：与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． （2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1； ②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. （1）由两条直线平行求直线方程 34．（2024·四川凉山·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 35.（2024·浙江杭州·高二校联考期中）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 36.（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·全国·高三对口高考）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_________． （2）由两条直线垂直求直线方程 38．（2024·广西南宁·高二校联考开学考试）直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 39.（2024·高二课时练习）经过点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 40.（2024高三·全国·专题练习）已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（    ） A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0 C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0 41．（2024·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求： (1)过点且与直线l平行的直线的方程； (2)过点且与直线l垂直的直线的方程． 知识点3 方向向量与直线的参数方程 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 题型四 直线的方向向量的求解 42.（23-24高二上·四川成都·期末）直线 的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 43.（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 44.（23-24高二上·辽宁大连·期末）直线的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 45.（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 ， 下列说法正确的是（    ） A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是 题型五 根据直线的方向向量求直线方程 46.（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 47.（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 48.（23-24高二上·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量，且在轴上的截距为2，则的方程为（    ） A． B． C． D． 49.（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型六 直线过定点问题 50.（2023·全国·高二专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 51．（2024·高二课时练习）若直线不经过第四象限，则k的取值范围为_______． 52．（2024·江苏·高二假期作业）不论取何值时，直线恒过第____象限． 53.（2023·高二课时练习）不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 54.（2024高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 55.（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线恒过点，点也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 56.（2024·江苏南通·高一期末）已知点，.若直线与线段恒相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．【多选】（2024·贵州·高二校联考阶段练习）对于直线：，下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在 C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为 D．时直线的倾斜角为 58．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法正确的有（    ） A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B．直线必过定点 C．过点，且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为 59．（2024·安徽滁州·高二校考期末）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 题型七 直线与坐标轴围成三角形的面积、周长问题 解题策略：1.与最值有关的问题 解决有关面积的最值问题,首先要选好自变量,然后建立关于这个自变量的函数表达式,最后利用求函数最值的方法求解 2.直线方程的最值问题解题步骤： （1） 构建以变量的代数式，常见变量的选择有： ①含有参数的直线方程中的参数；②直线的斜率；③截距. （2）根据基本不等式或者函数单调性求最值. 60.（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 61.（23-24高二上·四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 62．（2024·浙江台州·高二校考阶段练习）已知直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为______________ 63．（2024·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 64．（2024·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程． 65．（2024·高二课时练习）已知的三个顶点的坐标为，，． (1)求边AB上过点C的高所在直线的方程； (2)若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长． 66．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)求面积的最小值以及面积最小时直线的方程; (2)是否存在直线，使的周长为12，若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由. 67．（2024·全国·高三对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．    (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程； (3)当取最小值时，求直线的方程． 题型八 直线的综合问题 68.（2024·福建福州·高二校联考期中）已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 69.（2023·全国·高二专题练习）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点. (1)求的最小值，及此时直线的截距式方程； (2)求的最小值，及此时直线的截距式方程. 知识点4 直线方程的实际应用 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 题型九 直线方程的实际应用 70.（23-24高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 71.（23-24高三·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、CD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线方程； (2)若折痕所在的直线的斜率为k（k为常数），试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线方程. 72.（23-24高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 73.（2024高二·江苏·专题练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图． （1）记，并设，试确定k的取值范围； （2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数； （3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． $$2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册) 专题2.2.3 直线的一般式方程9种常见考法归类（73题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的一般式方程 （一）直线的一般式方程及辨析 （二）直线的一般式方程的应用 题型二 直线的一般式方程与其他形式的相互转化 题型三 两直线平行与垂直的应用 （一）由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 （1）根据直线平行求参数 （2）根据直线垂直求参数 （二）由两条直线的平行、垂直求直线方程 （1）由两条直线平行求直线方程 （2）由两条直线垂直求直线方程 题型四 直线的方向向量的求解 题型五 根据直线的方向向量求直线方程 题型六 直线过定点问题 题型七 直线与坐标轴围成三角形的面积、周长问题 题型八 直线的综合问题 题型九 直线方程的实际应用 知识点1 直线的一般式方程 1.直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： (1)、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． (2)在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. (3)解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 注：直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直线方程的 特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可 由它推导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义， 但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们 各自适用的条件，以避免出错. 3.直线的一般式方程与其它形式方程的互化 注：（1）一般式化为斜截式的步骤 (1)移项，得By＝－Ax－C； (2)当B≠0时，得斜截式：y＝－x－. （2）一般式化为截距式的步骤 方法一： ①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C； ②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1； ③化为截距式：＋＝1. 方法二： ①令x＝0求直线在y轴上的截距b； ②令y＝0求直线在x轴上的截距a； ③代入截距式方程＋＝1. 由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式． 4.二元一次方程Ax＋By＋C＝0的系数和常数项对直线位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点． 题型一 直线的一般式方程 （一）直线的一般式方程及辨析 解题策略：求直线的一般式方程的策略 (1)当A≠0时,方程Ax+By+C=0可化为x+y+=0,只需求,的值;当B≠0时,方程可化为x+y+=0,只需确定,的值.因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程. (2)在求直线方程时,设一般式方程求解有时并不简单,常用的方法还是先根据已知条件选用四种特殊形式之一求方程,再将方程转化为一般式. 1.（2024·广东江门·高二统考期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 【答案】D 【详解】解：对于A选项，当，且时，直线斜率不存在，故错误； 对于B选项，当，且，时，直线只与轴相交；当，且，时，直线与轴重合，故错误； 对于C选项，当，且时，直线与两条坐标轴都相交，故错误； 对于D选项，当，且，且时，直线方程为，即轴所在直线，故正确. 故选：D 2．（2024·高二课时练习）当直线方程的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？ (1)过坐标原点； (2)与两条坐标轴都相交； (3)只与x轴相交； (4)是x轴所在直线； (5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成． 【答案】(1)且不同为 (2)都不为0 (3)且 (4) (5)证明见解析 【分析】（1）将代入可得答案； （2）分、讨论，可得答案； （3）直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可，根据直线方程可化成形式可得答案； （4）将直线方程化为可得答案； （5）将代入直线方程得，再代入直线方程化简可得答案. 【详解】（1）将代入得， 当且不同为方程表示过坐标原点的直线； （2）直线与两条坐标轴都相交说明横纵截距都存在， 当且时直线过原点满足条件， 当时，令时，令时， 所以都不为0， 综上所述，时直线与两条坐标轴都相交； （3）直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可， 因此直线方程可化成形式， 故且； （4）x轴的方程为，因此方程中时 方程表示的直线是x轴所在直线； （5）因为为直线上一点，所以， 所以， 所以方程可化为， 即， 所以这条直线的方程可以写成． 3.（23-24高三上·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（    ） A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限 【解题思路】 由直线斜率与倾斜角的关系可判断A，令可判断B，得出直线上两点，可作一个确定的向量，判断该向量与是否共线即可，画出图形即可判断D. 【解答过程】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误； 在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误； 在中，令，解得，即直线过两点， ，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 画出直线的图象如图所示， 所以直线不经过第二象限，故D错误. 故选：C. 4．【多选】（2024·高二课时练习）已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则直线l的斜率小于0 B．若，则直线l的倾斜角为 C．直线l可能经过坐标原点 D．若，则直线l的倾斜角为 【答案】ABD 【分析】根据题意，由直线的斜率即可判断A，将代入即可判断B，将原点坐标代入即可判断C，将即可判断D. 【详解】对于A选项，若，则直线l的斜率，故A正确； 对于B选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故B正确； 对于C选项，将代入中，显然不成立，故C错误； 对于D选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故D正确. 故选：ABD. 5．（2024·全国·高三对口高考）以下关于直线的说法中，不正确的是（    ） A．直线一定不经过原点 B．直线一定不经过第三象限 C．直线一定经过第二象限 D．直线可表示经过点的所有直线 【答案】B 【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分、、三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C； 【详解】对于直线，令，解得，故直线恒过点， 一定不经过原点，故A正确； 当时直线即为，直线过二、三象限， 当时直线即为， 若，则，，直线过一、二、三象限， 若，则，，直线过二、三、四象限， 所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确； 因为直线恒过点，所以直线可表示经过点的所有直线， 故选：B 6.（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）若，且，则经过的直线的一般方程为_________ 【答案】 【详解】若, 则点在直线上, 点在直线上 即、都在同一直线上 因为两点确定一条直线,所以由、确定的直线即为 故答案为: （二）直线的一般式方程的应用 解题策略：1.含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 2.解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和纵截距作出判断. 7．（2024·江苏盐城·高二校考期末）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 8．（2024·全国·高二假期作业）如果，，那么直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】将直线化为，结合已知条件即可判断不经过的象限. 【详解】由题设，直线可写成，又，， ∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限. 故选：A. 9．（2024·高二课时练习）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案. 【详解】由已知， 令得直线在y轴的截距为， 令得直线在x轴的截距为， 由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得， 即. 故选：D. 10．（2024·黑龙江佳木斯·高二校考开学考试）若直线不过第二象限，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线不过第二象限可确定斜率、在轴截距的范围，从而构造不等式组求得结果. 【详解】直线不过第二象限，，解得：，即实数的取值范围为. 故选：C. 11．【多选】（2024·高二课时练习）直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由斜率为正及大小关系可确定；由直线在轴截距的正负可确定正负. 【详解】直线斜率存在，则直线方程可化为，； ，，又，，C正确，D错误； 又，，，A错误，B正确. 故选：BC. 题型二 直线的一般式方程与其他形式的相互转化 解题策略：1．求直线一般式方程的策略 当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． 注：在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．　 2．不同条件下各种直线方程的选用 在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点的坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． 12.（2024·新疆塔城·高二统考开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点且斜率为的直线的方程是， 即. 故选：C 13.（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由斜截式方程求解即可. 【解答过程】由直线的倾斜角可得直线的斜率， 所以直线的方程为，即直线的一般方程为：. 故选：D. 14.（2024·上海闵行·高二校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是______． 【答案】或 【详解】解：由题意，当直线过原点时，此时所求直线方程的斜率， 所以直线方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点， 可得，所以直线方程为， 故答案为：或. 15.（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可求得，即可确定l的斜率，即可求得直线l的点斜式方程，化为一般式，即得答案. 【解答过程】由题意知，，则， 则，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 故选：A. 16．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则 ________. 【答案】/-0.5 【分析】先分别求出x轴上的截距及y轴上截距，再根据数量关系计算求解即可. 【详解】令，得，令，得． 由于直线在轴上的截距是它在y轴上截距的4倍， 故，解得． 故答案为： 17.（2024高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式； （2）先求斜截式方程，再化为一般式； （3）先求直线的两点式方程，再化为一般式； （4）先求直线的截距式方程，再化为一般式. 【详解】（1）因为，且经过点， 由直线的点斜式方程可得， 整理可得直线的一般式方程为． （2）由直线的斜率，且在轴上的截距为 得直线的斜截式方程为． 整理可得直线的一般式方程为． （3）由直线的两点式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 （4）由直线的截距式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 知识点2 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 3．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 题型三 两直线平行与垂直的应用 （1） 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 解题策略：1.利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， (1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. (2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．　 2.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. （1）根据直线平行求参数 18．（2024·山东东营·高二统考期末）若直线l：与直线m：互相平行，则______． 【答案】/ 【分析】根据两直线方程，判断斜率存在，由题意可得，解出a后，验证是否符合题意，可得答案. 【详解】由题意可知直线l：的斜率为， 因为直线l：与直线m：互相平行， 故直线m：的斜率存在，且为， 则，解得或， 当时，直线l：与直线m：重合，不合题意， 当时，直线l：与直线m：互相平行， 故答案为： 19．（2024·全国·高三专题练习）若直线与直线平行，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】B 【分析】根据直线的平行可列出方程，求得m的值，验证直线是否重合，即得答案. 【详解】由题意知直线与直线平行， 而直线的斜率为， 则直线必有斜率，即，则， 故，解得或， 当时，直线与直线重合，不合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意， 故， 故选：B 20.（2024·江西新余·高三统考期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】A 【详解】因为直线：的斜率，斜率存在，且， 所以直线；的斜率存在，且， 化简得：，解得或. 当时，直线：，直线；，此时. 当时，直线：，直线；，此时重合，舍去. 所以. 故选：A 21.（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或. 故选：A 22.（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】首先根据公式求两直线平行时的值，再判断充分，必要条件. 【解答过程】当时，，解得：， 验证：当时，，，两直线平行， 当，，，两直线平行， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 23.（2024·高二单元测试）“”是“直线和直线平行且不重合”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】当时，两直线分别为：，， ∴两直线斜率相等且， ∴两条直线平行且不重合； 若两直线平行且不重合，则，∴，综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件， 故选：C. 24.（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案． 【详解】解：直线，， 若，则，解得：或 当时，与重合，故“” “”， 故“”的必要不充分条件是“或”， 故选：C． 25.（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 【答案】B 【详解】由的顶点，，知， 重心为，即， 又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即， 所以可得的欧拉线方程，即， 因为与平行， 所以， 解得， 故选：B 26．（2024·河北沧州·高二任丘市第一中学校考阶段练习）已知，，直线与直线平行，则的最小值是______. 【答案】9 【分析】由两直线平行，求得，再利用基本不等式求的最小值 【详解】直线与直线平行，有，即， ， 当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9 （2）根据直线垂直求参数 27．（2024·河北沧州·高二任丘市第一中学校考阶段练习）直线：，：，则“”是“”的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】先求出两直线垂直时a的值，进而可判断充分必要条件． 【详解】直线：，：， 当时,有，解得或. 所以“”时“”成立，“”时“”不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 28.（2023·北京·高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为直线与直线相互垂直， 所以， 所以. 所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件； 当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件. 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 29.（2024·贵州·高二校联考期中）直线与直线垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B 30．（2024·北京海淀·高二校考阶段练习）已知直线，.若，则实数a=___________，若，则实数a=___________． 【答案】 0 -1 【分析】根据直线垂直以及平行的充要条件，即可列出方程，解出即得. 【详解】因为，所以有，解得； 因为，所以有，解得， 当时，与重合，舍去； 当时，，，与不重合，满足条件， 所以. 故答案为：0；-1. 31.（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由两直线垂直得，解得， 所以原直线直线可写为， 又因为垂足为同时满足两直线方程， 所以代入得， 解得， 所以， 故选:D 32．【多选】（2024·高二校考课时练习）已知直线，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 【答案】BCD 【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可. 【详解】由题知，直线 对于A，当时，，解得或，故A错误； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，在直线中， 当时，，当时，， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； 对于D，由题知当时，的图象为 故D正确； 故选：BCD 33．【多选】（2024·浙江温州·高二统考期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断，讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D. 【详解】对于A，时，若,,且时， 两直线：，：重合，A错误； 对于B，联立 ，可得, 当时，，此时方程组有唯一一组解， 故直线与相交，B正确； 对于C，时，若，则无解， 此时； 若，则有无数多组解， 此时重合，故C错误； 对于D，若，则由可得， 即两直线斜率之积等于，故； 若,则可得，此时满足， 直线：，：， 此时， 故当时，，D正确， 故选： （2） 由两条直线的平行、垂直求直线方程 解题策略：与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． （2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1； ②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. （1）由两条直线平行求直线方程 34．（2024·四川凉山·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的斜率相同排除A、B；再由所过的点排除C，即可得答案. 【详解】由斜率为，而A、B中的直线斜率为，与该直线不平行，排除； C、D中直线斜率为，对于，显然不过，而过已知点， 所以C中直线不符合，D中直线符合要求. 故选：D 35.（2024·浙江杭州·高二校联考期中）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设过点且与直线平行的直线方程是， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：A. 36.（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出线段AB中点的坐标，根据直线间的平行关系设所求直线方程，代入所过点坐标求得参数，即得答案. 【解答过程】由点，，得线段AB中点的坐标为， 故过点且与直线平行的直线的方程可设为， 代入点，可得，故所求直线方程为， 故选：B. 37．（2024·全国·高三对口高考）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_________． 【答案】 【分析】根据平行关系可设直线为，计算与两坐标交点，根据面积公式求即可. 【详解】   由题意可设方程为：， 令，得， 令，得， 由题意知：， 得， 故直线方程为：， 故答案为： （2）由两条直线垂直求直线方程 38．（2024·广西南宁·高二校联考开学考试）直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：C. 39.（2024·高二课时练习）经过点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与直线垂直的直线方程为，于是，解得， 所以所求的直线方程为. 故选：A 40.（2024高三·全国·专题练习）已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（    ） A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0 C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0 【解题思路】根据垂直关系，即可求出结果. 【解答过程】 由题意，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直， 则直线l的斜率为， 又AB的中点为(2，1)， 所以直线l的方程为y－1＝ (x－2)，即3x－2y－4＝0. 故选：B. 41．（2024·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求： (1)过点且与直线l平行的直线的方程； (2)过点且与直线l垂直的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行得到斜率，再利用点斜式写出方程； （2）根据两直线垂直得到斜率，再利用点斜式写出方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以与直线l平行的直线的斜率为， 又所求直线过， 所以所求直线方程为，即． （2）因为直线的斜率为， 所以与直线l垂直的直线的斜率为， 又所求直线过， 所以所求直线方程为，即． 知识点3 方向向量与直线的参数方程 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 题型四 直线的方向向量的求解 42.（23-24高二上·四川成都·期末）直线 的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【解答过程】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 43.（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】由题意与向量共线，所以由对应分量成比例即可求解. 【解答过程】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得. 故选：C. 44.（23-24高二上·辽宁大连·期末）直线的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的方向向量，因为法向量与方向向量垂直，逐项验证可得答案. 【解答过程】因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线的一个法向量为， 向量与向量为平行，A，B，C选项向量与向量均不平行， 所以向量为直线的一个法向量. 故选：D. 45.（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 ， 下列说法正确的是（    ） A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是 【解题思路】根据直线的一般式可得斜率，进而根据选项即可逐一求解. 【解答过程】因为直线 的方程为， 所以直线的斜率， 又， 所以直线的倾斜角为， 故A正确，B错误; 对于 C， 若直线 l的方向向量为， 则斜率为， 与题意矛盾， 故C错误; 对于D，若直线 l的方向向量为， 则斜率为， 与题意矛盾， 故D错误; 故选：A. 题型五 根据直线的方向向量求直线方程 46.（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程. 【解答过程】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 故选：D. 47.（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解. 【解答过程】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线， 所以，整理得的方程为， 又点在直线上，且点满足方程， 综上所述，的方程为. 故选：B. 48.（23-24高二上·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量，且在轴上的截距为2，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程. 【解答过程】由直线的一份方向向量，得的斜率， 又在轴上的截距为2，所以的方程为，即. 故选：A. 49.（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直线方程变为，可得定点 .根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可. 【解答过程】可变形为， 解得，即点坐标为. 因为，所以直线的斜率为，又过点 ， 代入点斜式方程可得，整理可得. 故选：A. 题型六 直线过定点问题 50.（2023·全国·高二专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把直线方程整理为， 令，故，所以直线恒过定点为. 故选：C. 51．（2024·高二课时练习）若直线不经过第四象限，则k的取值范围为_______． 【答案】 【解析】直线过定点，根据点所在的象限可得斜率的取值范围. 【详解】因为可化为，故直线过定点， 而为第二象限中的点，且直线不经过第四象限，故斜率. 故答案为：. 52．（2024·江苏·高二假期作业）不论取何值时，直线恒过第____象限． 【答案】四 【分析】化简直线方程为，列方程组，进而求解即可. 【详解】直线可化为， 由，得， 所以直线恒过定点， 因为在第四象限， 故直线恒过第四象限． 故答案为：四. 53.（2023·高二课时练习）不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原方程可化为，由直线恒过定点可知， ，解得，所以直线恒过定点 故选：B 54.（2024高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用已知条件消去，令的系数为0即可. 【解答过程】由，得， 代入直线方程中， 得，即， 令，解得， 所以该直线必过定点. 故选：D. 55.（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线恒过点，点也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为，则， 令，解得， 即直线恒过点. 又因为点A也在直线上，则， 可得，且， 则，即，当且仅当时，等号成立 所以的最大值为. 故选：B. 56.（2024·江苏南通·高一期末）已知点，.若直线与线段恒相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线方程，令，解得，故直线过定点，如下图： 则直线的斜率，直线的斜率， 由图可知：. 故选：D. 57．【多选】（2024·贵州·高二校联考阶段练习）对于直线：，下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在 C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为 D．时直线的倾斜角为 【答案】BD 【分析】求出过的定点判断A；根据m的取值情况判断B；当时，求出直线的横纵截距计算判断C；当时，求出直线的斜率判断D作答. 【详解】对于A，直线：恒过定点，A正确； 对于B，当时，直线：垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在，B错误； 对于C，当时，直线：与x轴、y轴分别交于点， 此时直线与两坐标轴围成的三角形面积为，C正确； 对于D，当时，直线：的斜率，因此倾斜角为，D错误. 故选：BD 58．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法正确的有（    ） A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B．直线必过定点 C．过点，且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为 【答案】ABC 【分析】由直线经过象限可确定的正负，由此知A正确；整理可求得B中直线过定点，得B正确；由直线点斜式和斜截式方程定义可确定CD正误. 【详解】对于A，由直线经过第一、二、四象限可得：，，在第二象限，A正确； 对于B，由得：，则直线恒过定点，B正确； 对于C，由点斜式方程定义可知该直线方程为：，C正确； 对于D，由斜截式方程定义可知该直线方程为：，D错误. 故选：ABC. 59．（2024·安徽滁州·高二校考期末）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 【答案】(1)直线过定点，证明见详解； (2) 【分析】（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明. （2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到方程组，即可求出直线方程. 【详解】（1）证明：方程化为： ， 由直线系方程的性质有：，解得， 故直线恒过点 （2）设直线， 则由题意得：，解得， 所以直线，即， 所以所求直线方程为：. 题型七 直线与坐标轴围成三角形的面积、周长问题 解题策略：1.与最值有关的问题 解决有关面积的最值问题,首先要选好自变量,然后建立关于这个自变量的函数表达式,最后利用求函数最值的方法求解 2.直线方程的最值问题解题步骤： （1） 构建以变量的代数式，常见变量的选择有： ①含有参数的直线方程中的参数；②直线的斜率；③截距. （2）根据基本不等式或者函数单调性求最值. 60.（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果. 【解答过程】由题知， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以围成的三角形的面积为． 故选：C. 61.（23-24高二上·四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】由题意设直线为，根据直线与坐标轴所围成三角形的面积，应用三角形面积公式求参数k，即可确定直线方程. 【解答过程】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为，即. 由，得或. 故所求直线方程为或. 故选：D. 62．（2024·浙江台州·高二校考阶段练习）已知直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为______________ 【答案】 【分析】先由题意及直线的几何意义可推得，再分别令与求得在两坐标轴的截距，由此利用三角形面积与基本关系式即可求得面积的最小值. 【详解】因为直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点， 所以由化为，得，即，故， 令，则；令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即面积的最小值为. 故答案为：. . 63．（2024·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程; （2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程. 【详解】（1）作，则. 由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 64．（2024·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程． 【答案】直线l的方程为或或或． 【分析】设直线的截距，根据题意列式求解，再利用直线的截距式方程运算求解. 【详解】设直线l在x，y的截距分别为， 由题意可得，解得或， 又因为直线l的倾斜角为锐角，则直线l的斜率，即， 可得或或或， 所以直线l的方程为或或或 65．（2024·高二课时练习）已知的三个顶点的坐标为，，． (1)求边AB上过点C的高所在直线的方程； (2)若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线的斜率公式，结合互相垂直直线的斜率性质、直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据直线的截距式方程，结合平行直线的斜率性质进行求解即可. 【详解】（1），边AB上的高所在直线的斜率为， 又直线过点， 所求直线的方程为：，即； （2）设直线l的方程为：，即，，，解得：， 直线l的方程为：， 直线l过点，三角形斜边长为， 直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为． 66．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)求面积的最小值以及面积最小时直线的方程; (2)是否存在直线，使的周长为12，若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由. 【答案】(1)最小值为， (2)存在， 或 【分析】（1）设直线，代入点坐标，利用均值不等式求解即可； （2）结合以及周长为12列出方程组，求解即可. 【详解】（1）设 ， 则直线， 直线过点 ， 则 故， 故 ， 当且仅当， 即时取得等号，此时直线， 故，此时直线的方程为. （2）假设存在满足条件的直线 ， 由已知有 解得 或 故存在满足条件的直线 或 67．（2024·全国·高三对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．    (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程； (3)当取最小值时，求直线的方程． 【答案】(1)，此时直线的方程为． (2) (3) 【分析】（1）设，，，则直线的方程为，依题意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解； （2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此时、的值，从而求出直线方程； （3）依题意直线的斜率存在且，设直线，分别求出，的坐标，求出的方程，根据基本不等式的性质求出直线方程即可． 【详解】（1）依题意设，，， 设直线的方程为，代入得， 所以，则，当且仅当，即、时取等号， 从而，当且仅当，即、时取等号， 此时直线的方程为，即， 所以，此时直线的方程为． （2）由（1）可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 此时直线的方程为，即． （3）依题意直线的斜率存在且，设直线， 令，解得，令，解得，所以，， 则， 当且仅当，即，即时，取最小值， 此时直线的方程为． 题型八 直线的综合问题 68.（2024·福建福州·高二校联考期中）已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，点的坐标为 (2)或 (3) 【详解】（1）证明：整理直线的方程，得， 所以直线过直线与的交点， 联立方程组， 解得， 所以直线过定点，点的坐标为. （2）当截距为0时，直线的方程为，即， 当截距不为0时，设直线的方程为， 则， 解得， 直线的方程为，即， 故直线的方程为或. （3）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为，不符合题意； 当，且时，， 所以 解得或， 综上所述，当直线不经过第四象限时， 的取值范围是：. 69.（2023·全国·高二专题练习）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点. (1)求的最小值，及此时直线的截距式方程； (2)求的最小值，及此时直线的截距式方程. 【答案】(1)8， (2)4， 【详解】（1）根据题意可设直线l的方程为，则，， 因为直线l过点，所以， 又（当且仅当，即，时取等号）， 所以，即， 所以的最小值为8，此时直线l的截距式方程为. （2）由（1）可知， 所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为4，此时，，直线l的截距式方程为. 知识点4 直线方程的实际应用 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 题型九 直线方程的实际应用 70.（23-24高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答. 【解答过程】依题意，设l与t的关系式为：，是常数， 于是得，解得， 则l与t的关系式为，当时，， 所以所求直线的方程为，铁棒在100℃时的长度是m. 71.（23-24高三·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、CD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线方程； (2)若折痕所在的直线的斜率为k（k为常数），试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线方程. 【解题思路】（1）求得的坐标，进而求得折痕所在直线方程. （2）根据是否为进行分类讨论，结合中点和斜率求得折痕所在直线方程. 【解答过程】（1）设，由于折痕的斜率为， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 由解得，所以， 所以的中点坐标为， 所以折痕所在的直线方程为，即. （2）当时，，折痕所在直线方程为. 当时，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由解得，所以， 所以的中点坐标为， 所以折痕所在的直线方程为， 时，折痕也符合上式， 综上所述，折痕所在的直线方程为. 72.（23-24高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【解题思路】（1）根据题意可得，根据直线的截距式方程即可求解. （2）设，可得，展开配方即可求解. 【解答过程】（1）由题意得， 所以线段所在直线的方程为，即； （2）设，则草坪的占地面积 故当时，，此时． 73.（2024高二·江苏·专题练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图． （1）记，并设，试确定k的取值范围； （2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数； （3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 【解题思路】（1）由倾斜角的范围得出斜率范围； （2）以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，得到直线AN的方程是， 设点，根据点P到直线的距离公式得到P点坐标，显然直线BC的斜率存在， 设直线BC的方程为，求出B点坐标，由直线联立，得到C点坐标，表示出的面积为S，建立关于k的函数关系式． （3）由（2）得由解得S的范围，得出结果． 【解答过程】（1）由题意得，所以， 即． （2）以点A为原点，AM所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则由已知得AN所在直线的方程为，即． 根据已知设P点坐标为，由点P到公路AN的距离为得． 解得或当时，点P不在指定区域，故舍去，所以． 所以公路BC所在直线的方程为． 令，得，即． 将代入得，， 即 所以． （3）由（2）得． 有解得舍或． 当时，，满足条件． 故面积的最小值为15，此时． 综上所述，当点B距离点A5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为． $$