精品解析：江苏省苏州市震泽中学2025届高三上学期滚动练习卷1（开学考试）数学试题

高三数学滚动练习卷1 一、单选题 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个等式的、关系，利用充分必要条件判断即可. 【详解】，由等价于；若等价于； 所以，则“”是“”的充分必要条件. 故选：C 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用导数几何意义去求切线方程即可. 【详解】由，得， 所以该曲线在点处的切线斜率为， 故所求切线方程为， 即． 故选：C. 3. 设集合，.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，利用函数的性质，确定中恰含的一个整数为2，所以且，解不等式组即可求解. 【详解】或. 因为函数图象的对称轴为，，， 根据对称性可知，要使中恰含有一个整数，则这个整数为2， 所以有且，即，即，即. 故选：B. 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得. 【详解】，， 由，则有， 解得. 故选：D. 5. 已知函数，满足为正实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知构造函数，探讨函数的单调性、奇偶性，进而求得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令，由，得定义域为， ，即函数是奇函数， 而， 当时，函数是减函数，又是增函数，于是函数在上单调递减， 由奇函数的性质知，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，由， 得，即， 所以，则，即，又， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：B. 6. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得且，结合函数的周期性，即可求解. 【详解】因为且，可得， 由，可得， 所以函数的一个周期为，则. 故选：B. 7. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【详解】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧 ； ； . 8. 满足的互不相似的的个数为（ ） A. 0 B. 1个 C. 2个 D. 前三个答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】法一，首先确定角是钝角，再根据三角函数的关系，用角表示角和，并转化为关于的方程，并构造函数，并转化为利用导数求函数的零点个数； 法二，利用，用角表示角，并构造函数，，结合函数的单调性，以及零点存在性定理，即可求解. 【详解】在中，可得．再由，可得， 所以∠B，∠C均是锐角，若∠A是锐角，由，可得， ，，与∠C是锐角矛盾， 由，可得∠A不是直角，所以∠A是钝角．由， 可得，，于是， 因此， ，． 设，可得，题意即问关于x的方程的实根个数． 设， 可得，为减函数． 又因为，， 所以关于x的方程的实根个数是1，因此答案是1个． 方法二：根据题意，有，于是．因此． 考虑函数，，其导函数， 则函数单调递增，又，， 于是函数在上有且仅有1个零点，所以只有一组解符合题意． 故选：B 二、多选题 9. 已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义由待定系数法判断每组向量是否共线，判断. 【详解】因为，则和共线，不满足条件； 设，则，无解，故和不共线，能作为基底； 同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底． 故选：ACD． 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若这两函数图象的对称轴都相同，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 与的零点相同 D. 与的单调递增区间相同 【答案】BC 【解析】 【分析】求出函数，求出对称轴判断AB；探讨与的关系判断C；举例说明判断D. 【详解】对于AB，，函数图象的对称轴满足， 函数图象的对称轴满足，两式相减得， 因此，A错误，B正确； 对于C，，因此与的零点相同，C正确； 对于D，取，函数的递增区间为， 函数的递增区间为，D错误. 故选：BC 11. 已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 不等式的解集为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由可判断；对B，根据函数单调递增可求解；对CD，根据的性质画出函数图象，表示出直线的方程，根据均在直线上方建立不等关系可得. 【详解】对A，，函数的图象关于点对称，故A正确； 对B，在上单调递增，且，则化为，则，解得，故不等式的解集为，故B正确； 对CD，，则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下： 均在直线上方，其中直线的方程为， 则可得，， 所以， ， ，即，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出函数的对称性和单调性画出函数图象，数形结合求解. 三、填空题 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性并求导可得，因此可得，可构造函数并求得其单调性即可得在上大于零，在上小于零，即可得出结论. 【详解】因为为奇函数，定义域为， 所以，两边同时求导可得，即且， 又因为当时，，所以. 构造函数，则， 所以当时，在上单调递增， 又因为，所以在上大于零，在上小于零， 又因为，所以在上大于零，在上小于零， 因为为奇函数，所以在上小于零，在上大于零， 综上所述，的解集为. 故答案为： 13. 已知矩形满足，若分别是线段上的动点，且，则的最小值为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，然后表示出点的坐标，从而可表示出，化简后结合基本不等式可求得结果. 【详解】解：以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，，， 设，则， 由，知，所以， 由，知， 所以， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，将数量积用坐标表示，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 14. 设三角形的外心为，重心为，且满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设外接圆半径为，根据向量数量积的运算律得，再利用导数求出最值即可. 【详解】设外接圆半径为， 则根据重心向量公式有， 则 ， 令，此时， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用向量数量积和三角恒等变换得到，再利用导数求出其最值即可. 四、解答题 15. 已知向量，设函数. （1）当时，求函数的值域； （2）已知在中，内角对边分别为，若 ，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，整体法求解函数的值域； （2）在（1）基础上，结合得到，由勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值. 【小问1详解】 ， ， 当时，， ， 所以函数的值域为 【小问2详解】 由（1）可知， 又，所以， 因为，所以，故， 因为，由可知，， 由基本不等式得， 解得，当且仅当时，等号成立， 故三角形面积， 即面积最大值. 16. 已知函数 （1）求函数的值域； （2）若时，恒有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数的单调性即可求得值域； （2）将化为，利用换元法结合参变分离的思想即可求得a的范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，， 因为，所以，所以； 当时，， 因为，，所以， 综上，可得函数的值域为． 【小问2详解】 因为，， ，即 两边同时乘以的 即恒成立， ， 即，令，， 则，由二次函数图象与性质可知在上单调递减， 所以当时，， 所以， 所以实数a的取值范围是． 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是上的一点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简可得，再根据角度关系分析即可； （2）根据平面向量基本定理可得，再两边平方可得，结合余弦定理可得，再令，结合函数单调性与最值求解即可. 【小问1详解】 ， 又，则或， 若，则； 若，则，又，不符合题意，舍去， 综上所述. 【小问2详解】 ①，又②， ①÷②得： 令，又， ， 令 令， 令， 当时，当时， 由对勾函数性质可得当时，为减函数，故， 同理当时， 所以当三角形为等边三角形时最小，最小值为 18. 已知函数，其中为自然对数底数. （1）设，恒成立，求的最大值； （2）设，讨论函数在上的零点个数. （参考数据：） 【答案】（1）3；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）设函数，用导数求出的最小值，再由得出的范围，从而得其最大正整数值； （2）先求出，， 设，用导数求得极大值，证明，即，然后分类求在上的零点个数和在上的零点个数．最终得出结论． 【详解】解：（1）设函数， 所以，令得，（a>0） 且当时，；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 因为要使得恒成立，只要恒成立 即 ① 设，且 ，在上单调递减 又，， 且图象连续不断，所以满足①的的最大值为3. （2）， 设，则， 因为，所以在内必存在唯一的实数，使得 所以为增函数 ，，为减函数 下面先证明：. 因为，所以， 当时，有， ， 下证，即证，即证. . 接下来，求函数在上的零点个数 ，且函数在上单调递减 在上有唯一零点，即函数在上的零点个数为1 最后，求函数在上的零点个数 ，且函数在上单调递增 当时，，所以函数在上没有零点， 即函数在上的零点个数为0 当时，，所以函数在上有唯一零点， 即函数在上的零点个数为1 综上所述：当时，在上的零点个数为1 ； 当时，在上的零点个数为2． 【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，研究函数的零点个数问题，本题中恒成立问题转化为求函数的最小值，利用导数求得最小值的表达式，再由最小值满足的不等关系得出参数范围．零点个数问题也是通过研究函数的极值，然后结合零点存在定理确定结论．本题旨在考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，转化与化归能力．属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学滚动练习卷1 一、单选题 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5. 已知函数，满足为正实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 满足的互不相似的的个数为（ ） A 0 B. 1个 C. 2个 D. 前三个答案都不对 二、多选题 9. 已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若这两函数图象的对称轴都相同，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 与的零点相同 D. 与的单调递增区间相同 11. 已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（ ） A. 函数图象关于点对称 B. 不等式的解集为 C 若，则 D. 若，则 三、填空题 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为__________. 13. 已知矩形满足，若分别是线段上的动点，且，则的最小值为__________. 14. 设三角形的外心为，重心为，且满足，则的最大值为__________. 四、解答题 15. 已知向量，设函数. （1）当时，求函数的值域； （2）已知在中，内角的对边分别为，若 ，且，求面积的最大值. 16. 已知函数 （1）求函数值域； （2）若时，恒有，求实数a的取值范围． 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是上的一点，且，求的最小值． 18. 已知函数，其中为自然对数底数. （1）设，恒成立，求的最大值； （2）设，讨论函数在上的零点个数. （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $