精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025届高三上学期入学考试数学试题

丰城九中2024-2025学年上学期高三入学考试试卷 数 学 考试范围：选择性必修一、选择性必修二、一轮复习第一章至第二章第四节 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦函数的单调性，以及正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由正弦函数的性质，可得在上单调递增， 所以，即当时，可得，即充分性成立； 反之：若，可得，所以必要性不成立， 所以是充分不必要条件. 故选：A. 2. 函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象观察斜率的大小结合导数的几何意义可得答案. 【详解】从函数 的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0， 根据导数的几何意义可得：，即， 故选：C 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据奇函数可得与. 【详解】由， 又函数为奇函数， 则，， 解得，， 所以， 故选：D. 4. 设正项等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出和观察它们之间的关系即可. 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，，成等差数列，所以， 所以，解得， 所以，， 则. 故选：A. 5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，且为正整数，则可得，所以令，从而可得，进而可求得答案 【详解】解：由题意可得，且为正整数， 所以，所以令， 所以，， 所以，又，故． 故选：B． 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知在内单调递增，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】若，可知在内单调递增， 可知在内单调递增，可得对任意恒成立， 又因为在定义域内单调递增，可知在内单调递增， 由题意可得：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 7. 已知函数 ，若实数 成等差数列，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由，得出关于对称；再由题意得出结果即可. 【详解】因为函数， 所以， 所以关于对称； 若实数 成等差数列，则， 又因为， 所以，所以. 故选：C. 8. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用三角恒等变换化简得，得，代入化简得，结合基本不等式求最小值. 【详解】，得， 即， 中，，由，则，，所以， ， 由正弦定理， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题：每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先将化简，再逐项分析答案即可. 【详解】因为的定义域为，所以， 又因为 ， 所以为偶函数，故A正确； 的最小正周期为，故B正确； 因为，所以没有最大值； 当时，，故D正确. 故选：ABD 10. 已知，分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过对数的换底公式变形，再用基本不等式，即可判断；对于B，通过对数的运算化简，再由对数函数的单调性缩小，再用基本不等式，即可判断；对于C，设出，利用其单调性，即可判断；对于D，利用基本不等式，即可判断. 【详解】对于A，，， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以， 故B正确； 对于C，设，则，所以单调递增， 因为，所以，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的值域为 C. 若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D. 若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据是否成立判断A，利用分段函数判断BC，根据正弦函数的单调性画出分段函数的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D. 【详解】因为， 所以， 所以的图象不关于点对称，A说法错误； 当时，，由可得， 当时，，由可得， 综上，B说法正确； 当时，由解得， 当时，由解得， 所以方程在上的前7个实根分别为， 所以，C说法正确； 由解得或， 又因为， 所以根据正弦函数的单调性可得图象如图所示， 所以有4个不同的实根，有2个不同的实根， 所以，解得， 设，则， 所以，所以的取值范围是，D说法错误， 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 已知实数、满足，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 13. 已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为__________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，，由等比数列的性质求出的通项公式，再证得是与首相和公差均为的等差数列，即可求出的通项公式，进而求出答案. 【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌， 则，. 又，，所以，， 则，所以， 所以是首项和公差均为的等差数列， 所以， 所以，所以， 即1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成个细菌. 故答案为：. 14. 已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据是函数的最小值求出与间的等量关系，进行消元，再结合在给定区间上恰有两个最值的条件建立不等关系，建立不等关系时，要注意结合三角函数的图像，特别注意端点值的取舍． 【详解】因为，所以， 所以，，即，， 所以． 当时，． 因为在区间上恰有两个最值，且， 所以，解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件建立不等关系，特别注意端点值的取舍． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15. 已知函数，. （1）求的最小值； （2）设，求的取值范围， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，解方程得到，然后利用换元法求最小值即可； （2）利用诱导公式和和差公式化简得到，然后利用同角三角函数基本公式和换元法求范围即可. 【小问1详解】 ，解得， 所以， 令，则，， 则函数在上单调递增，上单调递减， 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 【小问2详解】 ， 令，则，， ， 所以当时，即取得最小值，为； 当时，即取得最大值，为， 所以的范围为. 16. 已知函数的图象在点处的切线经过点. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 由（1）可得，. 方法一： 所以， 则， 两式相减得， 故 ， 所以由可得， 故； 方法二： ， 所以. . 所以由可得， 故. 【解析】 【分析】（1）求出、，由直线的点斜式方程可得切线方程，令可得； （2）由（1）可得.方法一，利用错位相减求和可得答案；方法二，利用裂项相消求和可得答案. 【小问1详解】 因为，则， 所以，则切线方程为， 即， 令，解得，所以； 【小问2详解】 略 17. 已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， （1）若，，求的面积； （2）若的内切圆半径为，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，可得，又的周长为20，可得，则可得，由三角形的面积公式即可求出的面积； （2）由的内切圆的性质，可得，，再由的周长为20，可求出，进而求出，即可求出的值． 【小问1详解】 在中，由余弦定理，可得， 由，，则， 得, 由的周长为20，即，则， 所以，则，即， 所以， 故的面积为，. 【小问2详解】 根据题意，如图所示， 圆为的内切圆，半径为，切点分别为， 则，且， 由内切圆性质，圆心为内角平分线的交点， 则，且， 由中，即， 所以，又，即， 所以，则，则， 在中， 故， 即. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）将函数求导并分解因式，根据参数进行分类讨论函数的单调性即得； （2）将不等式进行等价变形得到在上恒成立，接着通过构造函数，求其在上的最大值，其间，先分析推出其在时取得最大值，为，由，变形求对数，并利用同构思想和函数单调性推出，从而求得，即得的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得函数，. ①当时， 当时，，时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ②当时，当时，， 或时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增； ④当时，当时，，或时，； 则在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题意，恒成立，因，即恒成立. 即需求在上的最大值. 令，，则， 令，，则， 即在上单调递减， 又，所以在上存在唯一的使（*）， 当时，，即则在上单调递增； 当时，，即则在上单调递减. 故在时取得最大值，为， 又由（*）可得，，故， 两边取对数得：， 令，由知在定义域内单调递增， 故由可得，，即， 所以， 故，即. 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线 和曲线所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：，用同样的方式也可以推导不等式. 已知函数，其中. （1）请参考上述材料证明：函数 图象上的任意两点切线均不重合； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由函数，可得， 不妨设，曲线在处的切线方程为 ，即， 同理曲线在处的切线方程为， 假设与重合，则， 代入化简可得， 两式消去，可得，整理得， 由知，与上式矛盾 即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合， 所以函数 图像上的任意两点切线均不重合； （2） 【解析】 【分析】（1）求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合题干结论，即可得证； （2）根据题意，转化为时，在恒成立， 设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，不等式恒成立， 所以在恒成立，所以， 下证：当时，恒成立． 因为，所以 设 （i）当时，由知恒成立， 即在为增函数，所以成立； （ii）当时，设，可得， 由知恒成立，即在为增函数． 所以，即在为减函数，所以成立， 综上所述，实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024-2025学年上学期高三入学考试试卷 数 学 考试范围：选择性必修一、选择性必修二、一轮复习第一章至第二章第四节 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 设正项等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 ，若实数 成等差数列，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知，分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的值域为 C. 若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D. 若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 已知实数、满足，则的最小值为_______． 13. 已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为__________（用数字作答）. 14. 已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15. 已知函数，. （1）求的最小值； （2）设，求的取值范围， 16. 已知函数的图象在点处的切线经过点. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，求证：. 17. 已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， （1）若，，求的面积； （2）若的内切圆半径为，，求的值． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线 和曲线所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：，用同样的方式也可以推导不等式. 已知函数，其中. （1）请参考上述材料证明：函数 图象上的任意两点切线均不重合； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $