精品解析：江苏省常州市西夏墅高级中学2024-2025学年高三上学期期初调研数学试题

常州市西夏墅高级中学2024—2025学年度第一学期期初调研 高三年级数学试卷 2024.9 考试时间120分钟 本试卷共22题 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等边三角形的边长为1，那么（ ） A. B. C. D. 3. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 已知角是锐角，角是第四象限角,且，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 10. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 函数的最大值为 D. 方程在上有5个实数根 11. 已知，，分别是的三个内角，，的对边，其中正确的命题有（ ） A. 已知，，，则有两解 B. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 C. 若，，，内有一点使得与夹角为，与夹角为，则 D. 已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 若，则______. 13. 如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为________. 14. 在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）求函数的单调区间 16. 已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； （3）若，求的值. 17. 在中，内角所对的边分别是，已知向量，满足. （1）求； （2）若角的平分线交边于点，求面积的最小值. 18. 已知是奇函数． （1）求实数的值； （2）求函数在上的值域； （3）令，求不等式的解集． 19. 当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”. （1）若，，. ①求； ②设的周长为，求的值； （2）若，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市西夏墅高级中学2024—2025学年度第一学期期初调研 高三年级数学试卷 2024.9 考试时间120分钟 本试卷共22题 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】， ， 故. 故选：C 2. 已知等边三角形的边长为1，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积定义即可求解. 【详解】因为等边三角形的边长为1， 所以. 故选：D. 3. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解. 【详解】因为在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 4. 使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性列不等式组求解的范围，再求解使其成立的一个充分不必要条件. 【详解】解：令，， 因为在定义域上单调递增， 由函数在上单调递减， 则在上单调递减且恒成立， 所以，解得， 因为， 所以使成立的一个充分不必要条件为. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系，求的值，再用倍角公式求，再利用二倍角的余弦公式化简即可求值. 【详解】由及， 得. 所以，所以. 故选：A 6. 已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以在上单调递增，无最小值， 根据题意，存在最小值， 所以，即. 故选：A. 7. 在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状； 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 8. 已知角是锐角，角是第四象限角,且，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出所有三角函数值，利用两角和的余弦公式判断A；利用两角和的正弦公式判断B；利用二倍角公式结合两角和的正切公式判断C；利用同角三角函数的基本关系结合给定条件判断D即可. 【详解】因为，所以，因为角是锐角，角是第四象限角， ，因为， 解得，. 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 由两角和的余弦公式得，故A正确， 由两角和的正弦公式得，故B正确， 因为，，所以，故D正确， 由二倍角公式得， 由两角和的正切公式得，故C错误. 故选：C 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，利用向量线性运算表示出，即可得到，判断选项AB，然后利用基本不等式求最值，即可判断选项CD. 【详解】由题知，设， 则 ， 因为， 所以，则，且，A正确，B不正确； ， 当且仅当时，等号成立，C正确； 又 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 10. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 函数的最大值为 D. 方程在上有5个实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数平移规则得出解析式，根据单调区间代入特殊点即可求出，即可得出和解析式，根据三角函数性质即可选出答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到， 所以的最小正周期为，则是的半个最小正周期， 又是的一个单调递增区间，所以， 即，，解得，， 因为，所以，故， 的最小正周期，故A正确； 令，，解得，， 即的递增区间为，， 所以在上单调递增，故B错误； ， 所以 ， 所以函数的最大值为，故C正确； 当时，令， 则、、、、， 即方程在上有5个实数根，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，，分别是的三个内角，，的对边，其中正确的命题有（ ） A. 已知，，，则有两解 B. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 C. 若，，，内有一点使得与夹角为，与夹角为，则 D. 已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由余弦定理可计算出有唯一解；对B，先利用正弦定理求出，再根据锐角三角形的面积求出的范围，再根据面积公式以及辅助角公式即可求解；对C，设，由余弦定理可得，代入数据计算即可得解；对D，分为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得. 【详解】解：对A，由余弦定理得：， 即， 解得：， 又， 故， 故有唯一解，故A错误； 对B，由正弦定理得：， 解得：， 又为锐角三角形， ， 解得：， 则的面积为： ， ， ， 即, 即， 即，故B对； 对C：设，则在直角三角形中，，， 在中，有，即， 即有，整理可得， 即，故C正确； 对D：若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述：的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于分为钝角及为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由诱导公式化简即可得出答案. 【详解】原式. 故答案为：2 13. 如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意知， 又因，，所以，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面积公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代换求出最值，得到答案. 【详解】， ， ， ， ， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）求函数的单调区间 【答案】（1） （2） 时，函数单调递增；时，函数在上单调递增，在上单调递减． 【解析】 【分析】（1）求导根据直线垂直得到，解得答案. （2）求导得到，考虑和两种情况，讨论导数的正负得到函数单调区间. 【小问1详解】 函数的定义域为． 曲线在点处的切线与直线垂直， 所以．即． 【小问2详解】 由于． 当时，对于，有在定义域上恒成立， 即在上是增函数． 当时，由，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上所述：时，函数单调递增；时，函数在上单调递增，在上单调递减． 16. 已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式； （2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域； （3）根据可求出，由此求出，进而得到的值. 【小问1详解】 由图知，，则. 由图可得，在处最大值， 又因为图象经过，且该点位于单调递增区间，故， 所以，故， 又因为，所以， 函数又经过，故，得. 所以函数的表达式为． 【小问2详解】 由题意得，， 因为，所以， 则，所以， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 因为， 所以，即， 又因为，所以， 由，所以. 所以， 所以. 17. 在中，内角所对的边分别是，已知向量，满足. （1）求； （2）若角的平分线交边于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行可以列出等式，然后用正弦定理将角化边，再用余弦定理即可; （2）由题可知，分别利用面积公式即可得到关于的等式，再用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， ， ， ， ， . 【小问2详解】 ， ， ， , ，即， ，则，当且仅当时取等号， 即面积的最小值为. 18. 已知是奇函数． （1）求实数的值； （2）求函数在上的值域； （3）令，求不等式的解集． 【答案】（1）以． （2）①当时，值域为； ②当时，值域为； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数得，可解出；（2）先换元（），则，，再结合二次函数的图像讨论其值域；（3）先证到也为奇函数，用导数证得 在上单调增，将等价转化为，所以，解出答案即可. 【详解】（1）函数的定义域为，因为为奇函数，由可知，， 所以，即； 当时，，此时为奇函数 所以． （2）令（），所以 所以，对称轴， ①当时，，所求值域为； ②当时，，所求值域为； （3）因为为奇函数，所以 所以为奇函数， 所以等价于， 又当且仅当时，等号成立， 所以在上单调增， 所以， 即，又， 所以或．所以不等式的解集是． 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性得综合应用，指数复合型函数的值域，综合性较强，属于中档题. 19. 当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”. （1）若，，. ①求； ②设的周长为，求的值； （2）若，，求实数的最小值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角的值，再利用副助角公式求解出；②在中，由余弦定理得到的关系，再结合等面积法建立的另外一个等式关系，进而求解出所要求的等量关系. （2）先利用角的三角函数的关系，判断出三角形是直角三角形，接着设，，，仿照第一小问的思路找到的等量关系，然后利用基本不等式求解出最值，又根据，即有，从而得解. 【小问1详解】 ① ， 则 ②设 而， 在中，由余弦定理得: 同理有 则 在中由余弦定理知: 即 又则 又等面积法知： 则，， 故 【小问2详解】 因为 所以 所以 所以所以为直角三角形， 点为的费马点，则， 设，，，， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，，，从而推导出、，再利用基本不等式及一元二次不等式求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $