培优02 集合新定义训练-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） -

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 培优02 集合新定义训练 以集合为背景的新定义问题 （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在； （2）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （3）用好集合的性质。解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质。 题型01 定义新概念 1．给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 2．若集合满足：，若，则，则称集合是一个“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中为“偶集合”的是（    ） A． B． C． D． 3．当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”，若集合的孤星集为，集合的孤星集为，则 (　　) A． B． C． D． 4．（多选）设A为非空实数集，若，都有，则称A为封闭集．其中正确结论的是（    ） A．集合为封闭集 B．集合为封闭集 C．若集合A1，为封闭集，则为封闭集 D．若A为封闭集，则一定有 5．（多选）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合为闭集合，则为闭集合 6．设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 题型02 定义新运算 7．定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．对非空有限数集定义运算“”：表示集合A中的最小元素.现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为.现有如下四个命题： ①若，则；    ②若，则； ③若，则；    ④对任意有限集合A，B，C，均有. 其中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（多选）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 11．设集合，在上定义运算为：，其中，，那么满足条件的有序数对（其中当时，为两个不同的有序数对)共有 个． 12．对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 13．已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的． (1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？ (2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论． 题型03 定义新性质 14．若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 15．非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是 . （1）    （2）    （3）若，，则    （4）若，、则 16．若集合具有以下性质：（i）且；（ⅱ）若，则，且当时，，则称集合为“闭集”. (1)试判断集合是否为“闭集”，并说明理由； (2)设集合是“闭集”，求证：若，则； (3)若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由. 17．已知集合且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素，，，都有，则称集合具有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值不小于； ②求的最大值． 18．对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质，而、称为A的孪生集合． (1)判断下列集合S、T是否具有孪生性质，如果有，求出其孪生集合；如果没有，请说明理由． ①；②． (2)若集合，且集合A具有孪生性质，求t的最小值． (3)已知且，记m到100的连续自然数为集合B，即，若集合B具有孪生性质，求m的最小值． 19．若集合是整数集的子集，且满足对任意的，总存在，使得，或者，则称集合具有性质. (1)若，，判断，中哪个集合具有性质； (2)已知集合具有性质且，求元素个数最少的集合； (3)已知集合，具有性质，判断和是否具有性质，并说明理由. 1．对于集合和集合，若满足，则集合中的运算“”可以是（    ）． A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 2．已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记．下列命题中正确的是（    ） A．已知，，且，则 B．已知，，则存在实数 ，使得 C．已知，若，则对任意，都有 D．已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 4．当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集是一个数域. 其中假命题的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 5．（多选）对任意，记．则下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若为所有的正整数，为所有的负整数，则为所有的整数 D．若，，则，或 6．设集合，集合，若中恰有2个元素，且定义，则的子集个数是 ． 7．已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：． (1)当时，求与； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 8．已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 10．对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ． 11．设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 12．（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值. （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合. 13．设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由． (2)若．证明：A不可能具有性质． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 培优02 集合新定义训练 以集合为背景的新定义问题 （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在； （2）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （3）用好集合的性质。解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质。 题型01 定义新概念 1．给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【详解】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 故选：C 2．若集合满足：，若，则，则称集合是一个“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中为“偶集合”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，，则， 显然，而，A不是； ，显然，而，B不是； ，则，不符合题意，C不是； ，则， 对，有，即是一个“偶集合”，D是. 故选：D 3．当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”，若集合的孤星集为，集合的孤星集为，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，由条件及孤星集的定义知，集合中的元素，，，所以0不是“孤立元素”，，，，所以1不是“孤立元素”，，，，所以3是“孤立元素”， 则 ，，，，所以0是“孤立元素”，，，，所以3不是“孤立元素”，，，，所以4不是“孤立元素”，则， 则． 故选：B 4．（多选）设A为非空实数集，若，都有，则称A为封闭集．其中正确结论的是（    ） A．集合为封闭集 B．集合为封闭集 C．若集合A1，为封闭集，则为封闭集 D．若A为封闭集，则一定有 【答案】BD 【详解】解：对于A，集合，当，时，， 故不是封闭集，A选项错误； 对于B，集合，代表偶数集， 因为任何两个偶数的和、差、积仍然是偶数， 所以集合是封闭集，B选项正确； 对于C，举反例：，， 取，，但， 所以，虽然集合为封闭集，但不一定是封闭集，C选项错误； 对于D，若为封闭集，则取得，D选项正确； 故选：BD. 5．（多选）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合为闭集合，则为闭集合 【答案】AD 【详解】对于A：由于，但是，故集合不为闭集合，故A错误； 对于B：由于整数加上整数或减去整数，所得结果仍是整数，所以整数集是闭集合，故B正确； 对于C：任取，则，则， 所以，， 所以集合为闭集合，故C正确； 对于D：由C可得为闭集合，同理为闭集合， 所以，则有，但，则不为闭集合，故D错误； 故选：AD． 6．设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 【答案】9 【详解】 . 故答案为：9 题型02 定义新运算 7．定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 8．定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B.    9．对非空有限数集定义运算“”：表示集合A中的最小元素.现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为.现有如下四个命题： ①若，则；    ②若，则； ③若，则；    ④对任意有限集合A，B，C，均有. 其中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，若，则A，B中最小的元素相同，则，故①为真命题； 对于②，取集合，，满足，而，故②为假命题； 对于③，若，则A，B中存在相同的元素，所以交集非空集，故③为真命题； 对于④，取集合，，，可知，，， 则不成立，故④为假命题. 综上，真命题的个数为2个. 故选：B 10．（多选）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【答案】BC 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 11．设集合，在上定义运算为：，其中，，那么满足条件的有序数对（其中当时，为两个不同的有序数对)共有 个． 【答案】12 【详解】由，，其中，，可得，即或3，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故共有12个. 故答案为：12 12．对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 【答案】 【详解】∵，， ∴，， ∴． 13．已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的． (1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？ (2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论． 【答案】(1)数集对通常的实数乘法运算封闭． (2)数集对通常的实数乘法运算不封闭，证明见解析． 【详解】（1）设是A中任意两个元素，其中， 那么． 因为，所以， 故数集A对通常的乘法运算封闭． （2）数集对通常的乘法运算不封闭，证明如下： 取，则，但， 故数集对通常的乘法运算不封闭. 题型03 定义新性质 14．若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为，，，，，都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 15．非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是 . （1）    （2）    （3）若，，则    （4）若，、则 【答案】（1）（2）（4） 【详解】假设，则令， 则，， 令，， 则，， 令，， 不存在，即，矛盾， 所以，（1）对； 由题知，， 则，， ， ，（2）对； 因为， 若， 则，（3）错； 因为，， 所以， 又，，（4）对. 故答案为：（1）（2）（4） 16．若集合具有以下性质：（i）且；（ⅱ）若，则，且当时，，则称集合为“闭集”. (1)试判断集合是否为“闭集”，并说明理由； (2)设集合是“闭集”，求证：若，则； (3)若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明详见解析 (3)真命题，理由见解析 【详解】（1），，但， 所以集合不是“闭集”. （2）依题意，集合是“闭集”， 所以 （3）依题意集合是一个“闭集”， 所以 若，则； 若，则； 若且，则， 所以. 所以命题“若，则”是真命题. 17．已知集合且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素，，，都有，则称集合具有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值不小于； ②求的最大值． 【答案】(1)不具有性质P． (2)①证明见解析；②10． 【详解】（1）因为 所以集合不具有性质P． （2）不妨设， ①由集合A具有性质P，得， 所以， 即有． ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 且A中含10个元素，所以n的最大值为10． 18．对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质，而、称为A的孪生集合． (1)判断下列集合S、T是否具有孪生性质，如果有，求出其孪生集合；如果没有，请说明理由． ①；②． (2)若集合，且集合A具有孪生性质，求t的最小值． (3)已知且，记m到100的连续自然数为集合B，即，若集合B具有孪生性质，求m的最小值． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【详解】（1）对集合，，， ，所以具有孪生性质，且孪生集合为，； 对集合，，，， 所以，不具有孪生性质． （2），于是2、3、4、、、， 0、1、、， 因为，所以，，又，． （3）， 因为，所以，解得，又，故． 19．若集合是整数集的子集，且满足对任意的，总存在，使得，或者，则称集合具有性质. (1)若，，判断，中哪个集合具有性质； (2)已知集合具有性质且，求元素个数最少的集合； (3)已知集合，具有性质，判断和是否具有性质，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)具有性质，不具有性质，理由见解析 【详解】（1）结合集合新定义可知，不具有性质， 具有性质. （2）结合集合新定义可知， 已知，因此要么存在或者； 进一步存在或者或者或者； 进一步计算可得或者或者或者或者或者或者或者. 因此可得取是使得时，元素个数最少的集合. （3）具有性质，不具有性质. 因为对任意的，则或者， 不妨设，故总存在，使得，或者，因此具有性质. 构造，都具有性质，但是不具有性质. 故具有性质，不具有性质. 1．对于集合和集合，若满足，则集合中的运算“”可以是（    ）． A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【答案】C 【详解】解：因为集合S表示的是由正奇数构成的集合，而两个奇数的和与差为偶数， 所以A，B不满足，两个奇数的除法不一定为整数，所以D不满足， 故选：C． 2．已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 3．若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记．下列命题中正确的是（    ） A．已知，，且，则 B．已知，，则存在实数 ，使得 C．已知，若，则对任意，都有 D．已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 【答案】D 【详解】对于A中，由，，可得， 因为，即，所以，所以A不正确； 对于B中，由，， 当时，可得； 当时，可得， 所以不存在实数 ，使得，所以B不正确； 对于C中，由知：，则且， 但是不一定成立，例如：，，所以C不正确； 对于D中，由，，取，可得， 对任意的实数，总存在使之成立，所以D正确. 故选：D. 4．当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集是一个数域. 其中假命题的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对于②，根据当时，，则，即，进而，，，，故②正确； 对于③，对，，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确； 对于④，若，是有理数，则，，，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确; 所以其中假命题的个数是1个. 故选：B. 5．（多选）对任意，记．则下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若为所有的正整数，为所有的负整数，则为所有的整数 D．若，，则，或 【答案】AB 【详解】选项A，由题意知，，A正确； 选项B，若，， 则，， 由得， ，故B项正确； 选项C，若为所有的正整数，为所有的负整数， 则，则由题意知，， 且，故，故C项错误； 选项D，若，， 则，且， 由题意得，或，故D项错误. 故选：AB. 6．设集合，集合，若中恰有2个元素，且定义，则的子集个数是 ． 【答案】 【详解】因为集合且中恰有2个元素， 则，所以， 又，所以，， 又， 所以， 所以的子集有个. 故答案为： 7．已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：． (1)当时，求与； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）， 当时，， 所以， ． （2）因为“”是“”的必要条件， 所以， 故， 解得， 即实数a的取值范围是． 8．已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． 9．对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【答案】B 【详解】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 10．对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ． 【答案】 【详解】根据题意，的“小和数”为， 集合共有11个元素，则一共有个子集， 对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，， 且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”， 这样的子集对共有个， 其中当时，，则子集对有， 则的“大和数”为. 故答案为：； 11．设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【详解】对于①：，所以，所以， 又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确； 对于②：，即， 所以，所以必为偶数，又， 当时，，不符合， 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误； 对于③：若{思想政治，物理，生物}，则， 所以，③正确； 对于④：当{物理，地理，历史}时， ， 满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误. 故选：①③ 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做. 12．（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值. （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析 【详解】解：因为集合可表示为，也可表示为，即 则满足，且，解得，所以. （2）①若，则；若，则； 若，则， 所以当时，集合中必含有另两个元素和； ②假设集合中只有个元素（）， 由题意可知，因为集合为单元素集合，所以，即， 又由，则此方程无实数解，所以假设不成立， 所以集合不可能是单元素集合. 13．设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由． (2)若．证明：A不可能具有性质． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，又， 但，所以集合不具有性质， 因为，又， 但， 所以集合具有性质． （2）将集合中的元素分为如下个集合， ， 所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素， 所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为， 所以A不可能具有性质 2 学科网（北京）股份有限公司 $$