精品解析：天津市南开中学2025届高三上学期统练1数学试题

2025届南开中学高三数学统练1 一、单选题（每小题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式求出三个集合，再求，然后可求得 【详解】因为全集，集合，， 所以， 所以， 故选：C 2. 已知函数的定义域为R，设．设甲：是增函数，乙：是增函数，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分别求出与为增函数的条件并结合充分必要条件进行判断即可求解. 【详解】由题意得的定义域为，的定义域也为； 充分性：若是增函数，则恒成立，， 因为，但的正负不能确定，所以的单调性不确定，故充分性不满足； 必要性：若是增函数，则恒成立， 因为，所以恒成立，但的正负不能确定，所以的单调性不确定，故必要性不满足； 所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D正确. 故选：D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义域排除A，结合时的函数值恒大于0排除CD，则可得答案. 【详解】由得．排除A； 当时，，所以．排除CD． 又， 当时，，故，故B中图象符合题意， 故选：B 4. 下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质判断A；根据函数奇偶性的概念进行判断B；先判断奇偶性，再判断函数单调性来判断C，利用特殊值及结合单调性来判断. 【详解】：是奇函数，在区间上单调递增，故不符合题意； ：对于函数，，，所以，则不是奇函数，故不符合题意； ：，函数有意义，则，解得，函数的定义域关于坐标原点对称， 且，故函数为奇函数， 且，函数在区间上单调递减， 函数是定义域内的单调递增函数，由复合函数的单调性可知函数单调递减，故符合题意； ：当时，，，， 由可知函数不是单调递减函数，故不符合题意. 故选：. 5. 设函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分段函数分段结合指数不等式及对数不等式解题即可. 【详解】当时，由，得，得，得， 当时，由，得，得，所以， 综上，. 故选：C 6. 为了迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖． 成绩\分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合数据的中位数和众数的概念及求法，求得数据的中位数和众数为定值，即可求解. 【详解】由表格数据可知，成绩为91分、92人的人数为人， 成绩为100分的出现的次数最多，所以成绩的众数为100， 成绩从小到大排列后处在第25/26为的两个数都是98分，所以数据的中位数为98， 所以中位数和众数与被遮盖的数据无关. 故选：C. 7. 已知函数，则下列说法中不正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在其定义域内增函数 C. 曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值 D. 曲线的切线的斜率的最大值为2 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，和增函数的定义，即可判断AB，利用斜率公式，结合函数解析式，即可判断C，根据导数的几何意义，即可判断D. 【详解】A.函数的定义域是， ，所以函数是奇函数，故A正确； B.设，且， ， ， 因为，所以， 因为，，所以，则，即， 即， 所以，即， 所以函数在定义域内是增函数，故B正确； C.设函数上任一点，， ，故C正确； D.，，根据导数的几何意义可知，曲线的切线的斜率的范围是，故D错误. 故选：D 8. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断的单调性，再比较的大小关系，由单调性可得的大小关系. 【详解】， 令，则在上单调递增， 令，则在上单调递减， 由复合函数的单调性知函数在上单调递减， 又在上单调递减， 而，所以函数在上单调递减， 由得， （证明：令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，， 时，，即） . ，， ， 即， 又函数在上单调递减， ，即. 故选：. 9. 已知函数设，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，分情况建立不等式，利用二次函数与导数，求得最值，可得答案. 【详解】已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立， 当时，，， ，当时，， ，当时，，则. 当时，，则， ，，当时，，函数单调递减，则； ，，当时，，函数单调递增，则， 所以. 综上所示，. 故选：A. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 复数__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 11. 若的二项展开式的各项的系数和为64，则其展开式的常数项为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由各项系数和求出，利用展开式的通项求常数项. 【详解】展开式的各项的系数和为64，令，有，解得， 故展开式的通项公式为， 令，解得，故展开式的常数项为. 故答案为：20 12. 已知函数为偶函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何性质求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 两边求导，可得． 又在处的切线方程为：，所以． 所以． 故答案为： 13. 已知正数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知变形得，，然后结合基本不等式可求． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当且，即，时取等号， 则， 故的最小值． 故答案为：． 14. 已知有黑、白两种除颜色外完全相同的若干小球，放入三个相同的空箱子中，已知三个箱子中小球的数量之比为，其中黑球占比分别为．若从三个箱子中各取一球，则取得的球均为黑球的概率为__________；若将三个箱子中的球全倒入一个箱子内，则从中取得一个白球的概率为__________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】先根据题意求出各箱子中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；由古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设三个箱子中的球的个数分别为，所以总数为， 则第一个箱子中黑球个数为，白球个数为； 第二个箱子中黑球个数为，白球个数为； 第三个箱子中黑球个数为，白球个数为； 由古典概型的概率公式知，三个箱子中取到黑球的概率分别为， 记“从三个箱子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，因为从三个箱子中取球相互独立，所以，； 记“三个箱子中的球全倒入一个箱子内，则从中取得一个白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以由古典概型的概率公式从知，． 故答案为：0.05；0.6. 15. 已知函数，则以下说法正确的有______． ①若的定义域为，则的取值范围是； ②若的值域为，则的取值范围是； ③若，则的单调递增区间是； ④若，且则． 【答案】①③ 【解析】 【分析】先化简被开方式，由函数的定义域为以及指数幂运算即可判断①；根据①的结果，由值域为可得即可否定②；先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可判断③；化简得到，结合基本不等式，求解指数不等式，即可否定④. 【详解】对于①，因， 由的定义域为，即恒成立，故须使即可，即，故①正确； 对于②，由值域为可知，必须取遍一切非负数，即须使，即，故②错误； 对于③，时，记， 由可得，解得，，此时，即函数在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知，的单调递增区间即，故③正确； 对于④，由，可得，， 化简得，，即， 由可得，，即得，故④错误. 故答案为：①③. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查指数、根式型函数的性质判断，属于难题. 解题关键在于将根式函数看成内函数进行单独分析，将定义域为转化为配方后的常数项恒为非负，将值域为转化为配方后的常数项恒为非正来解决，对于函数的单调区间，则利用复合函数的单调性求解. 三、解答题 16. 已知函数 （1）求函数的值域； （2）若时，恒有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数的单调性即可求得值域； （2）将化为，利用换元法结合参变分离的思想即可求得a的范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，， 因为，所以，所以； 当时，， 因为，，所以， 综上，可得函数值域为． 【小问2详解】 因为，， ，即 两边同时乘以的 即恒成立， ， 即，令，， 则，由二次函数图象与性质可知在上单调递减， 所以当时，， 所以， 所以实数a的取值范围是． 17. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，短轴长是2． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率和短轴长求出，可得椭圆的方程； （2）写出直线和的方程，并与椭圆方程联立求出的坐标，求出和，求出直角三角形的面积，代入，解不等式可得结果. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 根据题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，椭圆的方程为，， 所以直线，， 设，， 联立，消去并整理得， 所以， 所以， 所以， 联立，消去并整理得， 所以，所以， 所以, 所以， 由，得， 整理得，得， 又，所以， 所以或 19. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.对幂指函数求导时，可以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数，有． （1）已知，求曲线在处的切线方程； （2）若且，研究函数的单调性； 【答案】（1） （2）在上为增函数 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）将函数 “指数化”后求导，取，将导函数的分子换元后记为，对其求导，讨论导函数的正负得出的单调性，继而求得的最小值并判断为正，得出，即得的单调性. 【小问1详解】 由可得，，函数求导得，， 则， 故曲线在处的切线方程为：，即； 【小问2详解】 因，则 ， 设，则，记， 则. 当时，，则，在上单调递增； 当时，，则，在上单调递减. 故， 因在时均恒成立，故得， 即在上为增函数. 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若两个不相等的正实数a，b满足，求证：； （3）若，求证：. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数单调性； （2）由函数的单调性求其值域，从而不妨设，从而将证明转化为证明， 方法一：设，，借助导数研究函数的单调性从而得值域，求得恒成立，得证； 方法二：由，设，， 利用导数可知在单调递增，从而得证； 方法三：（比值代换）由对称性，不妨设，，欲证，即证，由方法二可得证； 方法四：由得，由方法二得，所以，得证； （3）由（2）知，由，可知，分和两种情况，结合函数的单调性可证. 【小问1详解】 函数的定义域是. 由，得在上单调递减； 由，得在上单调递增， 综上知，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 由（1）得在的值域为， 在上的值域为.注意到，. 不妨设，则欲证，即证. 由于由（Ⅰ）得在上单调递增， 故只需证， 由已知，即证，也即， 方法一：令，. ， 由，在单调递增， 得单调递增， 且. 由于，故满足. 由单调递增知： 当时，单调递减，值域为； 当时，单调递增，值域为； 设，，则，单调递减， 故，即， 取，得，即 综上，得，即，得证. 方法二：（重新同构） 令，即，证：， 由于，从而. 故要证成立，只需单调递增成立即可. ， 令，，则， 在单调递减，，， 故在单调递增成立，原命题成立. 方法三：（比值代换）由对称性，不妨设，， 则 由于，欲证， 即证：，即证， 可变为，由证法二可知成立，从而得证； 方法四：（切、割线放缩）1、由于故，即； 2、由方法二知，， 故，即，故，； 由1、2知，故成立，原命题成立. 【小问3详解】 由（2）知， ①当时，在上单调递增， 故. ②当时， 由，取， 得（）时， 有，即. 由在上单调递增，故， 综上，得时，当成立. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届南开中学高三数学统练1 一、单选题（每小题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为R，设．设甲：是增函数，乙：是增函数，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为了迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖． 成绩\分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 7. 已知函数，则下列说法中不正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在其定义域内为增函数 C. 曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值 D. 曲线的切线的斜率的最大值为2 8. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 9. 已知函数设，若关于x不等式在上恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 复数__________． 11. 若的二项展开式的各项的系数和为64，则其展开式的常数项为__________. 12. 已知函数为偶函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则______． 13. 已知正数，满足，则最小值为______． 14. 已知有黑、白两种除颜色外完全相同的若干小球，放入三个相同的空箱子中，已知三个箱子中小球的数量之比为，其中黑球占比分别为．若从三个箱子中各取一球，则取得的球均为黑球的概率为__________；若将三个箱子中的球全倒入一个箱子内，则从中取得一个白球的概率为__________． 15. 已知函数，则以下说法正确的有______． ①若的定义域为，则的取值范围是； ②若的值域为，则的取值范围是； ③若，则的单调递增区间是； ④若，且则． 三、解答题 16. 已知函数 （1）求函数的值域； （2）若时，恒有，求实数a的取值范围． 17. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，短轴长是2． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当，求的取值范围． 19. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.对幂指函数求导时，可以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数，有． （1）已知，求曲线在处的切线方程； （2）若且，研究函数的单调性； 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若两个不相等正实数a，b满足，求证：； （3）若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$