三角恒等变换（八大题型练习）-2025届高三数学一轮复习

三角恒等变换（八大题型＋精准练习）（原卷版） 题型归类 题型一、两角和与差的三角函数公式的应用 题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 题型三、角的变换问题 题型四、二倍角公式的应用 题型五、给角求值 题型六、给值求值 题型七、给值求角 题型八、三角恒等变换的综合应用 题型一、两角和与差的三角函数公式的应用 知识要点 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 精准练习 1．（24-25高三·山东泰安·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C．5 D．-5 2．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·重庆·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·一模）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江大庆·一模）已知，且，则（   ） A．-1 B． C． D． 8．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，则 . 题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 知识要点 1、两角和与差的正切公式的变形 ； ． 2、辅助角公式 （其中，， ） 精准练习 1．（23-24高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）（    ） A． B．1 C． D． 变式1．（23-24高一·江苏徐州·阶段练习）的值为（    ） A． B． C．3 D． 变式2．（23-24高一·江苏扬州·期中）计算： ． 变式3．（24-25高一·上海·课堂例题）求的值. 2．（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高三·安徽·开学考试）若，则实数的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 变式2．（2024·陕西铜川·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高三·山东烟台·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高三·辽宁鞍山·开学考试）已知，则 . 题型三、角的变换问题 知识要点 拆分角问题： ①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：；；；；；等． 精准练习 1．（24-25高三·安徽·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏镇江·三模）已知角满足，，则（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高三·福建福州·开学考试）已知α，，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一·江苏南京·期末）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三·天津·阶段练习）已知角，为锐角，，，则的值为 ． 7．（24-25高三·福建·阶段练习）已知，，则 ． 题型四、二倍角公式的应用 知识要点 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、降次（幂）公式 3、半角公式 精准练习 1．（2025·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高三·安徽亳州·开学考试）已知，则值为（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高三·广西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一·江苏无锡·阶段练习）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高三·江苏徐州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三·全国·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型五、给角求值 知识要点 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 精准练习 1．（23-24高三·甘肃·阶段练习）计算（   ） A．2 B． C． D． 2．（多选）（23-24高三·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·吉林长春·阶段练习） . 4．（2024·广东深圳·模拟预测）计算： . 6．（2024高三·全国·专题练习）化简求值：. 7．（2024高一·湖南株洲·竞赛） ． 8．（11-12高一·全国·课后作业） ． 题型六、给值求值 知识要点 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式 精准练习 1．（2024·河南新乡·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·湖南衡阳·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D．1 4．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三·四川绵阳·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三·安徽·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三·贵州黔东南·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山东淄博·二模）设，若，，则（　　） A． B． C． D． 9．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，，则（） A． B． C． D． 10．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·河北保定·三模）已知锐角，（）满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·重庆·三模）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 15．（2024·山西·三模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 题型七、给值求角 知识要点 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 精准练习 1．（23-24高一·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·河南·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2023·山西·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西铜川·模拟预测）若，且，则的值为 ． 5.（2024高三·江苏·专题练习）已知为锐角，且，则 . 6．（23-24高三·河北石家庄·阶段练习）若，，，，则 . 题型八、三角恒等变换的综合应用 知识要点 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 精准练习 1．（2024·广东珠海·一模）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 2．（22-23高三上·河北唐山·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）下列四个函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2023·河北保定·三模）已知，则（    ） A． B．的图象的对称轴方程为 C． D．在上单调递减 5．（2024高三·全国·专题练习）设.当时，，则的值为 . 6．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 . 7．（24-25高三·福建·阶段练习）已知函数． (1)将化成的形式； (2)求的单调区间； (3)若在上的值域为，求的取值范围． 8．（24-25高三·北京·开学考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围. 9．（22-23高三·陕西榆林·阶段练习）已知平面向量. (1)若， 求实数的值； (2)求函数的单调递增区间. 10．（24-25高一·全国·期末）设． (1)当时，求的最大值和最小值； (2)已知，且当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角恒等变换（八大题型＋精准练习）（解析版） 题型归类 题型一、两角和与差的三角函数公式的应用 题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 题型三、角的变换问题 题型四、二倍角公式的应用 题型五、给角求值 题型六、给值求值 题型七、给值求角 题型八、三角恒等变换的综合应用 题型一、两角和与差的三角函数公式的应用 知识要点 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 精准练习 1．（24-25高三·山东泰安·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C．5 D．-5 【答案】D 【详解】根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得： ，， 联立方程组，可得， 又由. 故选：D. 2．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，因为，所以. 故选：A. 3．（24-25高三·重庆·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， ， . 故选：C. 4．（2025·广东·一模）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题干得 所以 ， 故选：B. 5．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，解得， 所以， 又，所以，所以. 故选：A 6．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 则， 由题意可知：， 两边同除，得到， 即， 又因为， 所以. 故选：A. 7．（2025·黑龙江大庆·一模）已知，且，则（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则， 又因为，所以，同号， 又因为， 则，同正， 所以，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，则 . 【答案】 【详解】由，得， 解得，所以. 故答案为： 题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 知识要点 1、两角和与差的正切公式的变形 ； ． 2、辅助角公式 （其中，， ） 精准练习 1．（23-24高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 故选：B. 变式1．（23-24高一·江苏徐州·阶段练习）的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B. 变式2．（23-24高一·江苏扬州·期中）计算： ． 【答案】 【详解】， 所以. 故答案为： 变式3．（24-25高一·上海·课堂例题）求的值. 【答案】 【分析】1的灵活代换和逆用和角正切公式即可. 【详解】若，则 ， 因此，，… ， 所以原式. 2．（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：（特殊法）由题知满足条件，所以. 解法二：由题得，所以， 所以，所以, . 解法三：由题得， 所以，即， 所以，即. 解法四：由题得，所以， 所以，即， 所以，所以. 解法五：观察，知同正，为第一象限角， 其正切值为正，排除A，B. 若，可取，则， 不符合已知条件，排除D， 故选:C. 变式1．（24-25高三·安徽·开学考试）若，则实数的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由化简得，， 即， 即， 因，解得. 故选：D. 变式2．（2024·陕西铜川·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， . 故选：A. 变式3．（24-25高三·山东烟台·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意， ， . 故选：C. 变式4．（24-25高三·辽宁鞍山·开学考试）已知，则 . 【答案】 【详解】， 所以， 由于， 所以，所以. 故答案为： 题型三、角的变换问题 知识要点 拆分角问题： ①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：；；；；；等． 精准练习 1．（24-25高三·安徽·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即，所以， 所以， 所以，故A正确. 故选：A. 2．（2024·江苏镇江·三模）已知角满足，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为， ， 所以， 即，则， 因为，所以， 其中， 故，解得. 故选：B. 3．（24-25高三·福建福州·开学考试）已知α，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，则. 则，由，则，， . 故选：A 4．（23-24高一·江苏南京·期末）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 6．（23-24高三·天津·阶段练习）已知角，为锐角，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为角、为锐角，所以， 又，所以， 所以，又， 所以. 故答案为：. 7．（24-25高三·福建·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【详解】由题意知：，， 可得． 故答案为：. 题型四、二倍角公式的应用 知识要点 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、降次（幂）公式 3、半角公式 精准练习 1．（2025·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：. 故选：D. 2．（24-25高三·安徽亳州·开学考试）已知，则值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，所以， ，即， 所以，解得（负根舍去）. 故选：C． 3．（24-25高三·广西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以， 所以. 所以. 故选：C 4．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由展开可得，， 整理得，，即. 则. 故选：B. 5．（23-24高一·江苏无锡·阶段练习）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 函数的一个零点是，故，, 所以， 在上单调，则， 故，解得， 且，故， 结合 故 故选：B 6．（24-25高三·江苏徐州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴，， 又，则，所以， 故选：A 7．（24-25高三·全国·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 由可得， 又因为， 若，则， 可得， 所以； 若，则， 可得， 所以； 综上所述：. 故选：B. 8．（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 题型五、给角求值 知识要点 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 精准练习 1．（23-24高三·甘肃·阶段练习）计算（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 . 故选：D. 2．（多选）（23-24高三·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项， . 故选：BCD. 3．（23-24高三·吉林长春·阶段练习） . 【答案】 【详解】由题意可得，原式 . 故答案为：. 4．（2024·广东深圳·模拟预测）计算： . 【答案】/ 【详解】由题意可得： ． 故答案为：． 5．（23-24高三·安徽·期中） ． 【答案】 【详解】 . 故. 故答案为：. 6．（2024高三·全国·专题练习）化简求值：. 【答案】 【详解】原式 . 7．（2024高一·湖南株洲·竞赛） ． 【答案】 【分析】利用二倍角公式及和差角公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 8．（11-12高一·全国·课后作业） ． 【答案】 【详解】原式， 故答案为：. 题型六、给值求值 知识要点 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式 精准练习 1．（2024·河南新乡·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 2．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 即，可得， 所以 . 故选：D. 3．（24-25高三·湖南衡阳·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】， 又，则有， 可得， 所以. 故选：C 4．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 5．（24-25高三·四川绵阳·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以 ，即， 所以由得， 所以. 故选：A. 6．（24-25高三·安徽·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即，所以， 所以， 所以，故A正确. 故选：A. 7．（24-25高三·贵州黔东南·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以， 则， 则. 故选：A 8．（2024·山东淄博·二模）设，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 则，即， 因此， 而，所以. 故选：A 9．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 解得或（舍， 则 . 故选：A. 10．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，故， ． 故选：A. 11．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，即， 所以， 故选：D 12．（2024·河北保定·三模）已知锐角，（）满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，其中，，， 当时，， 此时在，有增有减， 又因为，且，所以，所以， 所以. 故选：D. 13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， 又， 故， 即 又均为锐角，所以， 故， 故选：D. 14．（2024·重庆·三模）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，， 因为， 所以， 所以， 解得或舍， 则 故选：C 15．（2024·山西·三模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，且， 则，可得，， 又因为，则，且， 可得，， 所以 . 故选：D. 题型七、给值求角 知识要点 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 精准练习 1．（23-24高一·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 又，， 故，故， 故. 故选：C 2．（23-24高一·河南·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，即，根据，得到，即. 【详解】， 所以， 则， 即． 因为，所以， 所以， 解得． 故选：B． 3．（多选）（2023·山西·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，故,. 所以，A错误，B正确； 所以， ， 又因为，所以，故D错误，C正确. 故选：BC. 4．（2024·陕西铜川·模拟预测）若，且，则的值为 ． 【答案】或. 【详解】由， 得， 即， 当时，，即，由，得； 当时，，所以， 即，由，得， 所以，所以． 故的值为或． 故答案为：或. 5.（2024高三·江苏·专题练习）已知为锐角，且，则 . 【答案】 【详解】因为， ， 又， 所以，所以，即， 因为，所以，所以，所以. 故答案为：. 6．（23-24高三·河北石家庄·阶段练习）若，，，，则 . 【答案】 【详解】由，，则， ，所以或， ， ，则， 当时，，则， 当时，，则， 又，.故. 故答案为： 题型八、三角恒等变换的综合应用 知识要点 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 精准练习 1．（2024·广东珠海·一模）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 【答案】D 【详解】由已知， 所以， 又，所以函数的最小正周期为， 由已知，所以，A正确； 所以， 因为，所以函数图象关于点对称，B正确， 将函数图象向右移个单位后可得函数的图象， 因为的图象关于轴对称， 所以，又， 所以的最小值为，C正确， 若，则， 所以，故， 所以当时，函数取最大值，最大值为，D错误. 故选：D. 2．（22-23高三上·河北唐山·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 因为，所以， 又，可得,， 所以． 故选：A． 3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）下列四个函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：，周期为，A不正确； 对于B：， 又函数的定义域为，周期为，B不正确； 对于C：，周期为，C选项正确； 对于D：周期为，D不正确； 故选：C. 4．（多选）（2023·河北保定·三模）已知，则（    ） A． B．的图象的对称轴方程为 C． D．在上单调递减 【答案】AC 【详解】A选项，， 即，故A正确； B选项，令，解得， 所以的图象的对称轴方程为，故B错误； C选项，因为，故选项C正确； D选项，令，得， 即的单调递减区间为， 令得，由于，故D错误. 故选：AC. 5．（2024高三·全国·专题练习）设.当时，，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意得：， ∵，∴， ∵，∴， 又由，得， ， . 故答案为：. 6．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为 ,有且仅有2个零点， 则, 即. 故答案为：. 7．（24-25高三·福建·阶段练习）已知函数． (1)将化成的形式； (2)求的单调区间； (3)若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见详解；(3) 【详解】（1）由题意可得： ， 所以. （2）令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以的单调递减区间为． （3）由题意得的最小正周期， 令，解得， 图象的对称轴为直线． 若在上单调，则，， 解得， 则 ． 因为，则， 可得，所以； 若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点， 且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同． 假设在上的图象的最高点为，则， 当，即时，，此时取得最小值，且最小值是． 又因为，则， 所以； 综上所述：的取值范围为． 8．（24-25高三·北京·开学考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)，，；(2) 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）当，则， 又在区间上有且只有两个零点，所以，解得， 即的取值范围为. 9．（22-23高三·陕西榆林·阶段练习）已知平面向量. (1)若， 求实数的值； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，解得. （2） ． 令， 所以． 所以所求的单调递增区间为． 10．（24-25高一·全国·期末）设． (1)当时，求的最大值和最小值； (2)已知，且当时，求的值． 【答案】(1)最大值为，最小值为；(2) 【详解】（1） ． 当时，， 所以当，即时，取得最大值，为， 当，即时，取得最小值，为． （2）因为，所以， 化简可得，两边平方得， 所以． 又，所以，． 又， 所以， ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$