第5讲 应用题2024年九年级中考数学复习

第五讲 应用题 第1课时 与方程（组）、不等式（组）有关的应用题 一：方程（组）与不等式（组）的综合应用 例1．2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨． （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨， ，解得．即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨； （2）由题意可得，设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为辆、辆， ，解得或或， 故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆； 第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆； 第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆． 【变式1】岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩． （1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？ （2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 【解答】解：（1）设改造土地面积是亩，则复耕土地面积是亩， 由题意，得，解得．则． 答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩； （2）设休闲小广场总面积是亩，则花卉园总面积是亩， 由题意，得．解得．故休闲小广场总面积最多为75亩． 答：休闲小广场总面积最多为75亩． 二：分式方程与不等式组的综合 例2．某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等． （1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元； （2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品的数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？ 【解答】解：（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元， 依题意，得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，． 答：购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元． （2）设购买商品个，则购买商品个， 依题意，得：，解得：． 为整数，或16． 商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个． 【变式2】某商场购进甲、乙两种服装，每件甲种服装比每件乙种服装贵25元，该商场用2000元购进甲种服装，用750元购进乙种服装，所购进的甲种服装的件数是所购进的乙种服装的件数的2倍． （1）分别求每件甲种服装和每件乙种服装的进价； （2）若每件甲种服装售价130元，将购进的两种服装全部售出后，使得所获利润不少于750元，问每件乙种服装售价至少是多少元？ 【解答】解：（1）设甲品牌服装每套进价为元，则乙品牌服装每套进价为元，由题意得： ，解得：，经检验：是原分式方程的解，． 答：甲、乙两种品牌服装每套进价分别为100元、75元； （2）设每件乙种服装售价至少是元，根据题意得： ，解得：． 答：每件乙种服装售价至少是90元． 针对性训练 1．近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次． （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【解答】解：（1）设增长率为，根据题意，得，解得（舍去），． 答：增长率为． （2）（万人）． 答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次． 2．为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线生态保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？ 【解答】解：设原计划平均每天施工平方米，则实际平均每天施工平方米， 根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，． 答：实际平均每天施工600平方米． 3．为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润售价成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降，售价下降，出售小龙虾每千克获得利润为30元． （1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价； （2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元亩，稻谷售价为2.5元千克，该农户估计今年可获得“虾稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？ 【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为元、元， 由题意得：，解得：； 答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元； （2）设今年稻谷的亩产量为千克，由题意得：，解得：； 答：稻谷的亩产量至少会达到640千克． 4．某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批，两种型号的机器．已知一台型机器比一台型机器每小时多加工2个零件，且一台型机器加工80个零件与一台型机器加工60个零件所用时间相等． （1）每台，两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？ （2）如果该企业计划安排，两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么，两种型号的机器可以各安排多少台？ 【解答】解：（1）设每台型机器每小时加工个零件，则每台型机器每小时加工个零件， 依题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，． 答：每台型机器每小时加工8个零件，每台型机器每小时加工6个零件． （2）设型机器安排台，则型机器安排台， 依题意，得：，解得：．为正整数，，7，8． 答：共有三种安排方案，方案一：型机器安排6台，型机器安排4台；方案二：型机器安排7台，型机器安排3台；方案三：型机器安排8台，型机器安排2台． 5．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元． （1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ （2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ 【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元， 根据题意得：，解得：． 答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元． （2）（元． 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元． 6．湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店、两种湘莲礼盒一个月的销售情况，种湘莲礼盒进价72元盒，售价120元盒，种湘莲礼盒进价40元盒，售价80元盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元． （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？ 【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒， 则有，解得 故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒． （2）设种湘莲礼盒降价元盒，利润为元，依题意 总利润，化简得 ，当时，取得最大值为1307， 故当种湘莲礼盒降价9元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元． 7．某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元千克，乙种水果18元千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元千克． （1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ （2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？ 【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果千克，购进乙种水果千克， 根据题意得：，解得：． 答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克． （2）设购进甲种水果千克，需要支付的货款为元，则购进乙种水果千克， 根据题意得：． 甲种水果不超过乙种水果的3倍，，解得：． ，随值的增大而减小，当时，取最小值，最小值． 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元． 8．“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产，两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产种设备，36万元生产种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题： （1）、两种设备每台的成本分别是多少万元？ （2）若，两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案； （3）在（2）的条件下，销售前公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给“一带一路”沿线的甲国，剩余设备全部售出，公司仍获利44万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台种设备，航空运输每次运2台种设备（运输过程中产生的费用由甲国承担）．直接写出水路运输的次数． 【解答】解：（1）设种设备每台的成本是万元，种设备每台的成本是万元． 根据题意得：，解得：，经检验是分式方程的解，． 答：种设备每台的成本是4万元，种设备每台的成本是6万元． （2）设种设备生产台，则种设备生产台． 根据题意得：，解得：． 为整数，，54，55，56，57，该公司有5种生产方案． （3）设水路运输了次，则航空运输次，该公司赠送台种设备，台种设备， 根据题意得：， 整理得：，解得：． ，，且、均为正整数，或2． 当时，，，．，不合适，舍去； 当时，，，．，符合题意． 水路运输的次数为2次． 第2课时 与一次函数有关的应用题 一：一次函数图象的应用 例1．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为时所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示，解答下列问题 （1）分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式； （2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算． 【解答】解：（1）设，根据题意得，解得，； 设，根据题意得：，解得，； （2）①，即，解得，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算； ②，即，解得，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样； ③，即，解得，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算． 【变式1】小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于，超过时，所有这种水果的批发单价均为3元．图中折线表示批发单价（元与质量的函数关系． （1）求图中线段所在直线的函数表达式； （2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？ 【解答】解：（1）设线段所在直线的函数表达式为，根据题意得 ，解得， 线段所在直线的函数表达式为； （2）设小李共批发水果千克，则单价为， 根据题意得：，解得或， 经检验，，（不合题意，舍去）都是原方程的根． 答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克． 二：方案选择 例2．某年5月，我国南方某省、两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市、获知、两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知市有救灾物资240吨，市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往、两市．已知从市运往、两市的费用分别为每吨20元和25元，从市运往往、两市的费用别为每吨15元和30元，设从市运往市的救灾物资为吨． （1）请填写下表 （吨 （吨 合计（吨 （吨 　　 　　 240 （吨 　　 260 总计（吨 200 300 500 （2）设、两市的总运费为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）经过抢修，从市到市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余路线运费不变．若、两市的总运费的最小值不小于10320元，求的取值范围． 【解答】解：（1）市运往市吨， 市运往市吨，市运往市吨，市运往市吨， 故答案为：、、； （2）由题意可得，， ； （3）由题意可得，， 当时，时，取得最小值，此时，解得，， 当时，时，取得最小值，此时，，解得，， ，这种情况不符合题意，由上可得，的取值范围是． 【变式2】湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价为元，则垃圾箱的单价为元， 根据题意得，，，经检验，符合题意，元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元； （2）设购买温馨提示牌个为正整数），则垃圾箱为个， 根据题意得，，， 为正整数，为50，51，52，共3种方案； 即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个， 根据题意，费用为， 当时，所需资金最少，最少是9800元． 针对性训练 1．在一段长为1000的笔直道路上，甲、乙两名运动员均从点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距点的距离（米与其出发的时间（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达点后立即按原速返回． （1）当为何值时，两人第一次相遇？ （2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程． 【解答】解：（1）甲的速度为：（米分钟）， 令，解得，， 答：当为0.75分钟时，两人第一次相遇； （2）当时，乙行驶的路程为：， 甲乙第二次相遇的时间为：（分钟）， 则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：（米， 答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1100米． 2．“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台型设备日处理能力为12吨；每台型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨． （1）请你为该景区设计购买、两种设备的方案； （2）已知每台型设备价格为3万元，每台型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？ 【解答】解：（1）设购买种设备台，则购买种设备台， 根据题意，得，解得， 为正整数，，2，3， 该景区有三种设计方案： 方案一：购买种设备1台，种设备9台； 方案二：购买种设备2台，种设备8台； 方案三：购买种设备3台，种设备7台； （2）各方案购买费用分别为： 方案一：，实际付款：（万元）； 方案二：，实际付款：（万元）； 方案三：，实际付款：39.8（万元）； ， 采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少． 3．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系． 请你根据图象进行探究： （1）小王和小李的速度分别是多少？ （2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【解答】解：（1）由图可得，小王的速度为：， 小李的速度为：， 答：小王和小李的速度分别是、； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：， 当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，点的坐标为， 设线段所表示的与之间的函数解析式为， ，得， 即线段所表示的与之间的函数解析式是． 4．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购型商品的件数是用7500元采购型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多10元． （1）求一件，型商品的进价分别为多少元？ （2）若该欧洲客商购进，型商品共250件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，且不小于80件．已知型商品的售价为240元件，型商品的售价为220元件，且全部售出．设购进型商品件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 【解答】解：（1）设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元． 由题意：，解得，经检验是分式方程的解， 答：一件型商品的进价为150元，则一件型商品的进价为160元． （2）因为客商购进型商品件，所以客商购进型商品件． 由题意：，，， （3）设利润为元．则， ①当时，即时，随的增大而增大，所以时，最大利润为元． ②当时，最大利润为17500元． ③当时，即时，随的增大而减小，所以时，最大利润为元． 5．下表中给出，，三种手机通话的收费方式． 收费方式 月通话费元 包时通话时间 超时费（元 30 25 0.1 50 50 0.1 100 不限时 （1）设月通话时间为小时，则方案，，的收费金额，，都是的函数，请分别求出这三个函数解析式． （2）填空： 若选择方式最省钱，则月通话时间的取值范围为　　； 若选择方式最省钱，则月通话时间的取值范围为　　； 若选择方式最省钱，则月通话时间的取值范围为　　； （3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间． 【解答】解：（1）元元， 由题意可得，，， ； （2）作出函数图象如图： 结合图象可得： 若选择方式最省钱，则月通话时间的取值范围为：， 若选择方式最省钱，则月通话时间的取值范围为：， 若选择方式最省钱，则月通话时间的取值范围为：． 故答案为：，，． （3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长， 结合图象可得：小张选择的是方式，小王选择的是方式， 将分别代入，可得，解得：， 小王该月的通话时间为55小时． 6．某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米与时间（分的函数关系如图2所示． （1）求第一班车离入口处的路程（米与时间（分的函数表达式． （2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间． （3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变） 【解答】解：（1）由题意得，可设函数表达式为：， 把，代入，得，解得， 第一班车离入口处的路程（米与时间（分的函数表达为； （2）把代入，解得，（分， 第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟； （3）设小聪坐上了第班车，则，解得，小聪坐上了第5班车， 等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：（分， 步行所需时间：（分，（分， 比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟． 第3课时 与二次函数有关的应用题 一：二次函数的应用 例1．“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元为正整数），每月的销售量为条． （1）直接写出与的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 【解答】解：（1）由题意可得：整理得； （2）由题意，得： 有最大值，即当时，，应降价（元 答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元； （3）由题意，得：，解之，得：，， 抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故 当销售单价定为66元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【变式1】一名在校大学生利用“互联网”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元与销售价（元件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：，解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知，， ，当时，随的增大而增大， ，当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 二：二次函数与一次函数等知识的综合 例2．网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量与销售单价（元满足如图所示的函数关系（其中． （1）直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围． （2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价应定为多少元？ （3）设每天销售该特产的利润为元，若，求：销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）由图象知，当时，； 当时，设，将，代入得，解得， 与之间的函数关系式为； 综上所述，； （2）， ，，，解得：（不合题意舍去），， 答：销售单价应定为15元； （3）当时，， ，，当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元． 【变式2】某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价（万元）与产量（吨之间的关系如图所示．已知草莓的产销投入总成本（万元）与产量（吨之间满足． （1）直接写出草莓销售单价（万元）与产量（吨之间的函数关系式； （2）求该合作社所获利润（万元）与产量（吨之间的函数关系式； （3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？ 【解答】解：（1）当时，； 当时，设， 把，代入得，解得，； 当时，； （2）当时，； 当时，； 当时，； （3）当时，，当时，的最大值为32，不合题意； 当时，，当时，的最大值为48，不合题意； 当时，，当时，的最大值为69，此时，解得， 所以产量至少要达到80吨． 针对性训练 1．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件． （1）求与之间的函数关系式． （2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为， 根据题意得，，解得：，与之间的函数关系式为； （2）设利润为元， ，， 根据题意得，， ，对称轴，当时，， 答：当销售单价为48时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元． 2．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元件，每天销售（件与销售单价（元之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围． 【解答】解：（1）设， 直线经过点，， ，解得：．故与之间的函数关系式为：， （2）由题意，得，解得，， 设利润为， ， ，时，随的增大而增大，时，， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）， ，，，， 如图所示，由图象得： 当时，捐款后每天剩余利润不低于3600元． 3．如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； （2）求矩形菜园面积的最大值． 【解答】解：（1）设，则， 根据题意得，解得，， 当时，，不合题意舍去；当时，， 答：的长为； （2）设，， 当时，则时，的最大值为1250； 当时，则当时，随的增大而增大，当时，的最大值为， 综上所述，当时，的最大值为；当时，的最大值为． 4．襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天的售价为元千克，关于的函数解析式为，且第12天的售价为32元千克，第26天的售价为25元千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元千克，每天的利润是元（利润销售收入成本）． （1）　　，　　； （2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ （3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？ 【解答】解：（1）当第12天的售价为32元件，代入， 得：，解得 当第26天的售价为25元千克时，代入，则，故答案为：， （2）由（1）第天的销售量为 当时，，当时， 当时， ，随的增大而增大，当时， ，当时， （3）当时，令，解得， 抛物线的开口向下，时，， 为正整数，有9天利润不低于870元 当时，令，解得， 为正整数，有3天利润不低于870元，综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天． 5．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元的三组对应值如表： 售价（元件） 50 60 80 周销售量（件 100 80 40 周销售利润（元 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②该商品进价是　40　元件；当售价是　　元件时，周销售利润最大，最大利润是　　元． （2）由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过65元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值． 【解答】解：（1）①依题意设， 则有，解得：，所以关于的函数解析式为； ②该商品进价是，设每周获得利润 则有，解得：，， 当售价是70元件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800； （2）根据题意得， ， ，对称轴， ，抛物线的开口向下， ，随的增大而增大，当时，， 即，解得：． 第4课时 分段函数的应用题 一：分段函数在一次函数的应用 例1．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象． （1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程． （2）当时，求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量． 【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米． 1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米； （2）设，把点，代入， 得，，， 当时，， 答：当时，函数表达式为，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时． 【变式1】甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示． （1）这批零件一共有　270　个，甲机器每小时加工　　个零件，乙机器排除故障后每小时加工　　个零件； （2）当时，求与之间的函数解析式； （3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？ 【解答】解：（1）这批零件一共有270个， 甲机器每小时加工零件：（个， 乙机器排除故障后每小时加工零件：（个；故答案为：270；20；40； （2）设当时，与之间的函数关系式为， 把，代入解析式，得，解得，； （3）设甲加工小时时，甲乙加工的零件个数相等， ①，解得；②，，解得， 答：甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等． 二：分段函数在二次函数和一次函数中的综合应用 例2．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元．设第天的销售价格为（元，销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，与满足一次函数关系，且当时，；时，．②与的关系为． （1）当时，与的关系式为　　； （2）为多少时，当天的销售利润（元最大？最大利润为多少？ （3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润（元随的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨元，求的取值范围． 【解答】解：（1）依题意，当时，；时，， 当时，设， 则有，解得，与的关系式为： （2）依题意， ，整理得， 当时， 随增大而增大，时，取最大值 当时， ，时，取得最大值，此时 综上所述，为32时，当天的销售利润（元最大，最大利润为4410元 （3）依题意， 第31天到第35天的日销售利润（元随的增大而增大 对称轴，得，故的的取值范围为． 【变式2】传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第天生产的粽子数量为只，与满足如下关系： （1）李明第几天生产的粽子数量为280只？ （2）如图，设第天生产的每只粽子的成本是元，与之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第天创造的利润为元，求与之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润出厂价成本） 【解答】解：（1）设李明第天生产的粽子数量为280只， 由题意可知：，解得． 答：第10天生产的粽子数量为280只． （2）由图象得，当时，； 当时，设，把点，代入得，，解得，， ①时，，当时，（元； ②时，，是整数，当时，（元； ③时，， ，当时，（元； 综上，当时，有最大值，最大值为578． 针对性训练 1．已知、两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时之间的函数关系如图所示． （1）乙车的速度为　75　千米时，　　，　　． （2）求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式． （3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 【解答】解：（1）乙车的速度为：千米时， ，．故答案为：75；3.6；4.5； （2）（千米）， 当时，设，根据题意得： ，解得，； 当时，设，； （3）甲车到达距地70千米处时行驶的时间为：（小时）， 此时甲、乙两车之间的路程为：（千米）． 答：当甲车到达距地70千米处时，甲、乙两车之间的路程为180千米． 2．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温与时间的关系如图所示： （1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； （2）怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待多长时间？ 【解答】解：（1）观察图象，可知：当时，水温 当时，设关于的函数关系式为：， ，得，即当时，关于的函数关系式为， 当时，设，，得， 即当时，关于的函数关系式为，当时，， 与的函数关系式为：，与的函数关系式每分钟重复出现一次； （2）将代入，得， 将代入，得， ， 怡萱同学想喝高于的水，她最多需要等待； 3．某电子科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元件，在销售过程中发现：每年的年销售量（万件）与销售价格（元件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本． （1）请求出（万件）与（元件）之间的函数关系式； （2）求出第一年这种电子产品的年利润（万元）与（元件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值． （3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格（元定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润（万元）与销售价格（元件）的函数示意图，求销售价格（元件）的取值范围． 【解答】解：（1）当时，设，将代入得， 与之间的函数关系式为； 当时，设，将，代入得， ，解得，与之间的函数关系式为， 综上所述，； （2）当时，， 当时，随着的增大而增大，当时，； 当时，，当时，； ，当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为万元． （3）第一年的年利润为万元，万元应作为第二年的成本， 又，第二年的年利润， 令，则，解得，， 在平面直角坐标系中，画出与的函数示意图可得： 观察示意图可知，当时，， 当时，第二年的年利润不低于103万元． 4．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第天的生产成本（元件）与（天之间的关系如图所示，第天该产品的生产量（件与（天满足关系式． （1）第40天，该厂生产该产品的利润是　1600　元； （2）设第天该厂生产该产品的利润为元． ①求与之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？ 【解答】解： （1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为 则第40天的利润为：元 故答案为1600 （2）①设直线的解析式为，把，，代入得 ，解得，直线的解析式为 （Ⅰ）当时， 当时， （Ⅱ）当时， 随的增大而减小当时， ，第25天的利润最大，最大利润为2450元 ②（Ⅰ）当时，令，解得， 抛物线开口向下 由其图象可知，当时，，此时，当天利润不低于2400元的天数为：天 （Ⅱ）当时，由①可知当天利润均低于2400元 综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天． 5．绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段、折线分别表示该有机产品每千克的销售价（元、生产成本（元与产量之间的函数关系． （1）求该产品销售价（元与产量之间的函数关系式； （2）直接写出生产成本（元与产量之间的函数关系式； （3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？ 【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为， 经过点与， ，解得：， 产品销售价（元与产量之间的函数关系式为； （2）由题意，可得当时，； 当时，； 当时，设与之间的函数关系式为， 直线经过点与， ，解得，当时，． 综上所述，生产成本（元与产量之间的函数关系式为； （3）设产量为时，获得的利润为元， ①当时，， 当时，的值最大，最大值为3400； ②当时，， 当时，的值最大，最大值为4840； ③当时，， 当时，的值最大，最大值为4680． 因此当该产品产量为时，获得的利润最大，最大值为4840元． 第5课时 解直角三角形的应用 例1．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对、两地间的公路进行改建．如图，、两地之间有一座山，汽车原来从地到地需途经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶．已知千米，，． （1）开通隧道前，汽车从地到地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从地到地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：， 【解答】解：（1）过点作的垂线，垂足为， ，，千米，（千米）， （千米）， （千米）， 答：开通隧道前，汽车从地到地要走千米； （2），（千米）， （千米）， ，（千米）， （千米）， （千米）， 汽车从地到地比原来少走多少路程为：（千米）． 答：汽车从地到地比原来少走的路程为27.2千米． 【变式1】慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高为1.7米，他站在处测得塔顶的仰角为，小琴的目高为1.5米，她站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点、、在同一水平线上，参考数据：，， （1）求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） （2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度． 【解答】解：（1）由题意得，四边形、为矩形， ，，， 在中，，则，， 在中，，，， 答：小亮与塔底中心的距离为米； （2）由题意得，，解得，，则，， 答：慈氏塔的高度为35.7米． 例2．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸处测得对岸处一棵柳树位于北偏东方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达处，此时测得柳树位于北偏东方向，试计算此段河面的宽度． 【解答】解：如图，作于． 由题意可知：米，，， ，，米． 在中，（米． 答：这条河的宽度为米． 【变式2】如图所示，巡逻船在处测得灯塔在北偏东方向上，距离处．在灯塔的正南方向处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知处在处的北偏东方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？ （精确到．参考数据：，， 【解答】解：延长交过点的正东方向于，如图所示：则， 由题意得：，，， ，，， ； 答：巡逻船与渔船的距离约为． 例3．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在处测得五楼顶部点的仰角为，在处测得四楼顶部点的仰角为，米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据： 【解答】解：设每层楼高为米， 由题意得：米，，， 在△中，，， 在△中，，， ，，解得：，， 则居民楼高约为18.4米． 【变式3】如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面处测得楼房顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向楼房方向继续行走10米到达处，测得楼房顶部的仰角为．已知坡面米，山坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：， 【解答】解：过作于，于，交于，作于，如图所示： 则，， 坡面米，山坡的坡度，， ，， ，，， ， ，， ，，， ， ，， （米， 答：楼房高度约为23.7米． 针对性训练 1．如图，有小岛和小岛，轮船以的速度由向航行，在处测得的方位角为南偏东，测得的方位角为北偏东，轮船航行2小时后到达小岛处，在处测得小岛在小岛的正南方向．求小岛与小岛之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，， 【解答】解析：如图，连接，过作于，由题意得，，， ，，， 在中，，， 在，，． 所以小岛和小岛相距大约154 千米． 2．如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼高达，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼高，为了测量高楼上发射塔的高度，在楼底端点测得的仰角为，，在顶端点测得的仰角为，求发射塔的高度． 【解答】解：作于，则四边形为矩形，， 设，在中，，， 由勾股定理得，，， 在中，，，由题意得，，解得，， 则，，答：发射塔的高度为． 3．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与支架所在直线相交于点，且；支架与水平线垂直．，，，另一支架与水平线夹角，求的长度（结果精确到；温馨提示：，， 【解答】解：设，， ，，， ，，解得：，． 4．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长，与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角，现住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且，，问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？，，，，，，，， 【解答】解：过点作于点，延长、交于点， ，，，， ，，， ，，，，， ，，，，， 安装师傅应将支架固定在离地面的位置． 5．天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道处开始，沿路线对索道进行检修维护．如图：已知米，米，与水平线的夹角是，与水平线的夹角是．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度是多少米？（结果精确到1米，参考数据： 【解答】解：如图，过点作于点． 在中，，，（米，（米， 在△中，，， ，（米， 检修人员上升的垂直高度（米 答：检修人员上升的垂直高度为943米． 6．金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆的高，他们在旗杆正前方台阶上的点处，测得旗杆顶端的仰角为，朝着旗杆的方向走到台阶下的点处，测得旗杆顶端的仰角为，已知升旗台的高度为1米，点距地面的高度为3米，台阶的坡角为，且点、、在同一条直线上，求旗杆的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：， 【解答】解：过点作于．则四边形是矩形，．， 在中，，设，则，， 在中，，，， 在中，，，， ，， ，， ，，， 米． 答：旗杆的高度约为18.4米． 学科网（北京）股份有限公司 $$