7.5 正态分布 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5 正 态 分 布 第七章 随机变量的分布 学科：数学 年级：高二 教材版本：人教A版选择性必修第三册 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布。棣莫弗（De Moivre, 1667-1754）最早发现了正态分布的密度形式，而后在十九世纪前叶由高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）加以推广,所以正态分布通常又称为高斯分布。 随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球个数越来越多，下落的小球在槽中的分布有何规律？ 落在各个球槽内小球的分布是二项分布 高尔顿钉板试验 中间高，两边低 我们以小球的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，可以画出频率分布直方图。 高尔顿钉板试验 问题1:当试验重复次数（样本容量）不断增大，分组的组距不断缩小时，二项分布的频率分布直方图的轮廓有什么特点？ 越来越接近于一条光滑的曲线 总体密度曲线 二项分布 正态分布 极限 （离散型） （连续型） 问题2: 你能求出小球落在 和 上的概率吗？ 正态曲线和函数 为图中区域A的面积，为图中区域B的面积. 这条曲线就是（或近似地是）下面函数的图像： 其中， 是圆周率， 是自然对数的底，实数 和 () 为参数。我们称 为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线。 和 分别反映的是均值和标准差. 若随机变量 的概率分布密度函数为 ，则称 服从正态分布，记作。特别地，当 时，称随机变量 服从标准正态分布. 正态曲线和函数 自然科学和社会科学中的各种变量通常呈现为正态分布，例如零件的尺寸，一定条件下小麦的株高、穗长、单位面积产量，某地每年七月份的平均气温、平均湿度和降雨量，某地区同年龄人的身高、出生体重、阅读能力、工作满意度， SAT分数等等。 问题3: 结合正态密度函数的解析式和概率的性质，你能发现正态曲线有何特点？ 1. 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交. 2. 曲线是单峰的，它关于直线 对称，在 处达到峰值 3. 当 , 正态曲线趋向于x轴. 4. x 轴与正态曲线所围成的面积为1，即. 正态曲线的特点 问题4: 正态曲线由参数 和 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映了正态分布的哪些特征？ 正态曲线的特点 为位置参数，反映了正态分布的集中位置. 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移. 问题4: 正态曲线由参数 和 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映了正态分布的哪些特征？ 正态曲线的特点 为形状参数，反映了总体分布相对于均值 的离散程度. 越小，峰值越高，曲线越”瘦高”，表示随机变量X的分布越集中; 越大，峰值越低，曲线越”矮胖”，表示随机变量X的分布越分散; 3σ原则 正态分布中变量在区间以外取值的概率只有0.27%，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 故在实际应用中，通常认为正态分布的随机变量只取 之内的值，简称“3σ”原则． 例如：通常零件尺寸应落在以内，否则可以认为这批产品不合格。 小结 1. 正态曲线及其特点； 2. 正态分布及其概率计算； 3. 3 原则. $$