祖暅原理在体积推导中的应用教学设计-2025届高三数学一轮复习

教学设计 教师姓名 陈诗韵 名称 《祖暅原理在体积推导中的应用》 知识点来源 学科： 数学 □年级：高三 □教材版本：人教A版 □所属章节：必修第二册第八章第三节、选择性必修第一册第三章第二节 录制工具 和方法 Camtasia Studio录屏PPT 设计思路 《祖暅原理在体积推导中的应用》先通过生活实例（一摞书本不同堆放方式）激发学生对祖暅原理的思考，进而介绍祖暅原理；再者通过球体体积公式的推导再次体会原理的应用，最后通过高考模拟题加深学生对祖暅原理在求解旋转体体积时的应用理解。 教学设计 内 容 教学目的 1. 了解球的表面积与体积公式的推导过程，培养学生空间想象能力和思维能力； 2. 通过作截面，寻找旋转体类的大小及等量关系，深入理解祖暅原理的应用. 教学 重点难点 重点：1.理解祖暅原理 2.理解祖暅原理推导球的体积公式； 3.掌握祖暅原理推导旋转体的体积. 难点：祖暅原理的应用 教学过程 一、祖暅原理的引入及介绍 引导观察：一沓书在改变其叠放形状的时候，体积是否发生变化 导入：【祖暅原理】夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面面积都相等，那么两个几何体的体积一定相等。 生活实例原理化：由生活实例过渡到抽象原理，体会并明白祖暅原理的本质，是任意高度的截面面积相等。 【设计意图】由生活实例感受祖暅原理的本质，通过祖暅原理的引入，进一步为后续体积公式的推导作铺垫。 2、 祖暅原理的应用——球体体积推导 引发猜想：高等于底面半径的三种旋转体的体积对比，已知，，猜想。 进一步提出：三者之间是否存在等量关系？ 学生猜想： 等量关系： 提出问题1：根据猜想的，半球和圆柱挖掉一个同底圆锥截面面积是否相同？ 预设故障：圆柱挖掉一个同底圆锥的截面面积直接用大圆面积减去小圆面积；但难度在于半球截面面积的求解，需要提示球体的任意一个截面形状都是圆。 解决推导难点： 1. 运用勾股定理，半球截面的半径为； 2. 利用相似三角形，得到小圆半径为h，大圆半径为R，圆环面积为. 回答问题1：半球和圆柱挖掉一个同底圆锥截面面积均为. 跟进问题2：由任意截面面积相同，是否可以运用祖暅定理？半球的体积如何计算？ 回答问题2：由任意截面面积相同，可以运用祖暅定理。 且有，则. 跟进问题：由任意截面面积相同，是否可以运用祖暅定理？半球的体积如何计算？ 总结公式：球的体积公式为，归纳公式特点. 【设计意图】由猜想的三者间的等量关系，引入祖暅原理的应用，通过构造圆柱挖掉一个同底圆锥的几何体，达成与半球任意高度截面相同的目的，从而对公式进行合理推导。 3、 祖暅原理的应用——高考解题 【2022深二模 16题】 祖窑是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”. 现已知直线y=±2与双曲线x2-y 2 =1及其渐近线围成的平面图形G如图所示．若将图形G被直线y =t（-2≤t ≤2）所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积S=_______；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积V=_________. 图1 图2 解题思路： 1. 将已知直线y=±2与双曲线x2-y 2 =1及其渐近线围成的平面图形G具体化，如图2所示； 2. 计算得到双曲线x2-y 2 =1及其渐近线被y=t所截得的线段端点坐标，如图3所示； 图3 3. 线段绕y轴旋转得到环形，计算环形面积: 4. 引导学生观察y=t随着t的改变时，截面形状不断变化，但截面面积为定值。 5.由祖暅原理可得，该旋转体的体积等价于以半径1高4的圆柱体体积，计算得到V=4π. 【设计意图】通过高考模拟题的练习，加深学生对于祖暅原理中等高处截面面积相同转化为体积相同的理解。 4、 小结 学科网（北京）股份有限公司 $$