抛物线的焦点弦长公式课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

抛物线焦点弦长公式 1 目录 01 知识回顾 02 带倾斜角的焦点弦长公式 03 知识应用 04 知识小结 05 课后辅助练习 2 Part One 知识回顾 3 01 PART ONE 知识回顾 如图所示，抛物线的标准方程(以常见抛物线为例)为：，是焦点的坐标，HG 是抛物线的准线，过焦点F的直线与抛物线交于 两点。 ① 根据抛物线的定义有： ② 线段 |AB| 称为抛物线的焦点弦。|AF|,|BF| 称为抛物线的焦半径。 ③ 设交点坐标 ,那么焦点弦长和焦半径的坐标表示形式的公式为： . 4 Part Two 带倾斜角的焦点弦长公式 5 02 PART TWO 带倾斜角的焦点弦长公式 焦半径公式 焦点弦长公式 其中 是直线 AB 的倾斜角。 6 02 PART TWO 带倾斜角的焦点弦长公式推导过程 对于AB，因为 AB = AF + BF，所以 7 02 PART TWO 带倾斜角的焦点弦长公式推导过程 先考虑 的情况。 作 轴，利用三角函数有 ,而 NF 是焦点到准线的距离，所以 . 所以 根据图像，显然的：，所以 , 解出来得：。 8 02 PART TWO 带倾斜角的焦点弦长公式推导过程 对于 的情况，结论是平凡的。此时 成立。     对于 的情形，证明是一样的，这里不需要累赘。 【 同样解得 】 9 Part Three 知识应用 10 例1 如图， 是过抛物线 焦点 的一条弦.设 ， ， 的中点 ，相应的准线为 .求证： （1） ， ； 证明 设直线 的方程为 ，代入 ，可得 .因为 ，所以 ， ， ． 11 （2）弦长 ，其中 为弦 所在直线的倾斜角；当 时，线段 叫作抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的. 如图，分别过点 ， 作准线 的垂线 ， ，垂足为 , . 由抛物线的定义可知 ， ，所以 ． 又 ， 当 时， ， ； 当 时， ， ． 综上， ．又当 时， 取最大值，所以此时 最短， 即当 时，弦 是所有焦点弦中最短的． 12 例2 过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线 交于点 ， . 若 ,直线 的斜率为 ，则 ( ) C A. B. C. 或 D. 或 [解析] 当点 在 轴上方时，如图，过点 ， 分别作抛物线准线的 垂线，垂足分别为 ， ，过点 作 于点 .设 ， 则 ， ，所以 ，所以 . 同理可得，当点 在 轴下方时， 的值为 .故选C. 13 Part Four 知识小结 14 04 PART FOUR 知识小结 焦半径公式 焦点弦长公式 其中 是直线 AB 的倾斜角。 15 Q1 A 非A 8 2 Q2 A 非A 5 5 Q3 A 非A 7 3 Part Five 课后辅助练习 16 1、设抛物线 的焦点为 F，准线为 ,P是抛物线上的一点，,A 为垂足。如果直线AF的斜率为 ,那么 |PF| =   点拨：画出图形可知PF与x轴的夹角为 ,直接套焦半径的公式可得。   2、已知 F 为抛物线 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线,直线 与 C 交于 A、B 两点，直线 与 C 交于 D、E 两点，则 |AB| + |DE| 的最小值为_________。   点拨：这道题非常能够体现使用带倾斜角的焦点弦长公式的优势。由对称性，不妨设 的倾斜角为 ，那么 的倾斜角为 , 直接使用焦点弦长公式有： , 那么 , 那么最小值为16. 17 $$