【每周一卷】2024-2025学年苏科版九年级数学第三周周测卷

第三周周测卷 测试范围：1.1—2.4 1．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57 2．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　） A．1+2x＝100 B．x（1+x）＝100 C．（1+x）2＝100 D．1+x+x2＝100 4．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，则∠OAB＝（　　） A．18° B．54° C．36° D．72° 5．如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（　　）cm． A．10 B．18 C．20 D．22 6．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．0 7．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．90° B．100° C．130° D．140° 8．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　 10．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣m2+m的值是 　 　． 11．已知⊙O的半径为5，线段OA的长为d，若点A在⊙O外，则d的取值范围为 　 　． 12．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0一个根为0，则m＝　 　． 13．若α，β是方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则α﹣αβ+β的值为 　 　． 14．如图所示，某农户用16m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10m），且面积为50m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，若可列方程为x•（★）＝50，则★表示的代数式为 　 　． 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　 　小分支． 16．如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水的最大深度CD是 　 　cm． 17．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 　 　． 18．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，连接AD，CD，且，∠CAB＝25°，P为上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M，当△CDM为等腰三角形时，∠PDC的度数为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）解下列方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0． （1）若方程的一个根为﹣1，求k的值和方程的另一个根； （2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 21．（8分）如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F． （1）求AF、AE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 22．（8分）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 23．（6分）如图，在坐标系中，A（1，6）、B（5，6）、C（7，4）． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 　 　； （2）这个圆的半径为 　 　； （3）直接判断点D（5，﹣3）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣3）在⊙M 　 　．（填内、外、上） 24．（8分）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC． （1）求证：∠ABE＝∠ACD； （2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD． 25．（8分）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径． 26．（10分）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， ∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此．代数式x2+4x+2有最小值﹣2； ②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4： 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+2的最小值为 　 　；代数式﹣a2﹣4a+2的最大值为 　 　． （2）求代数式a2+b2+6b﹣10a+11的最小值； （3）已知△ABC的三条边的长度分别为a、b、c，且满足a2+b2+65＝8a+14b，且c为正整数，求△ABC的周长的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三周周测卷 测试范围：1.1—2.4 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57 【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【解答】解：∵x2+8x+7＝0， ∴x2+8x＝﹣7， ⇒x2+8x+16＝﹣7+16， ∴（x+4）2＝9． ∴故选：A． 【点评】此题考查配方法的一般步骤： ①把常数项移到等号的右边； ②把二次项的系数化为1； ③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 2．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根， ∴， 解得：k≤1且k≠0． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　） A．1+2x＝100 B．x（1+x）＝100 C．（1+x）2＝100 D．1+x+x2＝100 【分析】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮共感染x+1台，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）台，根据题意列方程即可． 【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得 （x+1）2＝100， 故选：C． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 4．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，则∠OAB＝（　　） A．18° B．54° C．36° D．72° 【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠ACB∠AOB，∠ACB＝36°， ∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°． ∵OA＝OB， ∴△OAB是等腰三角形， ∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°， ∴∠OAB（180°﹣∠AOB）＝54°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键． 5．如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（　　）cm． A．10 B．18 C．20 D．22 【分析】设圆心为O点，连OE，交AB于C，则OE⊥AB，AC＝BC＝8，在Rt△OAC中，设⊙O的半径为R，OC＝R﹣4，利用勾股定理得到R2＝82+（R﹣4）2，解方程即可． 【解答】解：设圆心为O点，连OE，交AB于C，如图， AB＝16，CE＝4， 则OE⊥AB， ∴AC＝BC＝8， 在Rt△OAC中，设⊙O的半径为R，OC＝R﹣4， ∴OA2＝AC2+OC2， ∴R2＝82+（R﹣4）2， 解得，R＝10， 即该球的半径是10cm． 故选：A． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理． 6．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．0 【分析】根据一元二次方程的解的定义求得m2﹣3m＝2；然后把m2﹣3m＝2代入化简后的进行计算即可． 【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣3m﹣2＝0． ∴m2﹣3m＝2． ∴m（m﹣3）＝2． ∴ •（m﹣3）• ＝1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，分式的化简求值．解答该题时，采用了整体代入的方法求得所求代数式的值． 7．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．90° B．100° C．130° D．140° 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解∠A，再根据圆内接四边形的性质即可得解． 【解答】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°． 又∠ABC＝50°， ∴∠A＝40°， ∵四边形ABDC为圆O的内接四边形， ∴∠A+∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝140°， 故选：D． 【点评】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键． 8．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 【分析】把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，解得k的值．注意：二次项系数不为零． 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0， 得k2﹣1＝0， 解得k＝﹣1或1； 又k﹣1≠0， 即k≠1； 所以k＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　k≤0且k≠﹣1　 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0且k≠﹣1． 故答案为k≤0且k≠﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义． 10．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣m2+m的值是 　2023　． 【分析】利用一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后再利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0，得m2﹣m﹣1＝0， 所以m2﹣m＝1， 所以2024﹣m2+m＝2024﹣（m2﹣m）＝2024﹣1＝2023． 故答案为：2023． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．已知⊙O的半径为5，线段OA的长为d，若点A在⊙O外，则d的取值范围为 　d＞5　． 【分析】根据点在圆外，d＞r，可得结论． 【解答】解：∵点A在圆外， ∴d＞5， 故答案为：d＞5． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r． 12．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0一个根为0，则m＝　﹣1　． 【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x＝0代入一元二次方程即可得． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0一个根为0， ∴m﹣1≠0，且m2﹣1＝0， 解之得，m＝﹣1， 故答案为﹣1． 【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时，考查了一元二次方程的概念． 13．若α，β是方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则α﹣αβ+β的值为 　3　． 【分析】根据根与系数的关系可以得到α+β＝﹣2，αβ＝﹣5，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣5＝0的两个根， ∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣5， ∴α﹣αβ+β ＝（α+β）﹣αβ ＝（﹣2）﹣（﹣5） ＝﹣2+5 ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根之积等于，两根之和等于． 14．如图所示，某农户用16m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10m），且面积为50m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，若可列方程为x•（★）＝50，则★表示的代数式为 　（17﹣2x）　． 【分析】确定平行于墙的一边与x的关系即可求解． 【解答】解：由题意可得：平行于墙的一边为：（16﹣2x+1）， 即为：（17﹣2x）． 故答案为：（17﹣2x）． 【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，找出数量关系是解答本题的关键． 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　9个　小分支． 【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91， 解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 故答案为：9个． 【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键． 16．如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水的最大深度CD是 　2　cm． 【分析】连接OA，OC，则有OC⊥AB，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图所示，连接OA，OC，则有OC⊥AB， ∴ACAB8＝4（cm）， 在Rt△OAC中， OC3（cm）， ∴CD＝5﹣3＝2（cm）． 故答案为：2． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 17．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 　　． 【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， ∵菱形的面积＝两条对角线积的一半， ∴ab＝11即ab＝22． ∴由题意，得． ∴菱形的边长 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 18．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，连接AD，CD，且，∠CAB＝25°，P为上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M，当△CDM为等腰三角形时，∠PDC的度数为 　40°或70°或100°　． 【分析】根据，∠CAB＝25°，得∠CAD＝∠CAB＝25°，由AB是⊙O的直径，得∠C＝40°，然后分三种情况讨论即可求出答案． 【解答】解：∵，∠CAB＝25°， ∴∠CAD＝∠CAB＝25°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝40°， 当△CDM为等腰三角形时， ①当MD＝MC时，∠PDC＝∠C＝40°， ②当CD＝CM时，∠PDC70°， ③当DM＝DC时，∠PDC＝180°﹣2×40°＝100°， 故答案为：40°或70°或100°． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，关键是求出∠C的度数和分三种情况讨论求角． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）解下列方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）． 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）移项后用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x＝1， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x﹣1＝±， ∴x11，x21； （2）3x（x﹣1）﹣2（1﹣x）＝0， ∴（x﹣1）（3x+2）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+2＝0， ∴x1＝1，x2． 【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0． （1）若方程的一个根为﹣1，求k的值和方程的另一个根； （2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根； （2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根． 【解答】（1）解：把x＝﹣1代入方程可得1+（k+2）+k﹣1＝0， 解得k＝﹣1， 当k＝﹣1时，原方程为x2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2， 即方程的另一根为2； （2）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+8＞0， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2．也考查了根的判别式． 21．（8分）如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F． （1）求AF、AE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC和BD，再利用面积法计算出AF、DE，然后根据勾股定理计算出AE； （2）利用B、C、D、E、F到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4， ∴AC＝BD5， ∵AF•BDAB•AD， ∴AF， 同理可得DE， 在Rt△ADE中，AE； （2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC， ∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 22．（8分）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 【分析】（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为x，利用该快递公司今年4月份投递快递总件数＝该快递公司今年2月份投递快递总件数×（1+该公司投递快递总件数的月增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用该快递公司今年5月份投递快递总件数＝该快递公司今年4月份投递快递总件数×（1+该公司投递快递总件数的月增长率），可求出该快递公司今年5月份投递快递总件数，再将其与45万件比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝33.8， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%． （2）33.8×（1+30%）＝43.94（万件）， ∵43.91＜45， ∴若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（6分）如图，在坐标系中，A（1，6）、B（5，6）、C（7，4）． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 　（3，2）　； （2）这个圆的半径为 　　； （3）直接判断点D（5，﹣3）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣3）在⊙M 　外　．（填内、外、上） 【分析】（1）AB的垂直平分线所在直线为x＝2，可知圆心M在直线x＝3上，设M（3，m），根据MA＝MC，可求M点坐标； （2）由（1）求出MA，即可求圆的半径； （3）根据MD＝2，即可判断D点位置． 【解答】解：（1）∵A（1，6）、B（5，6）， ∴AB的垂直平分线所在直线为x＝3， ∴圆心M在直线x＝3上， 设M（3，m）， ∴MA＝MC， ∴4+（m﹣6）2＝16+（m﹣4）2， 解得m＝2， ∴M（3，2）， 故答案为：（3，2）； （2）∵M（3，2）， ∴MA， 故答案为：； （3）∵D（5，﹣3），M（3，5）， ∴MD＝2， ∴点D（5，﹣3）在⊙M外， 故答案为：外． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，角平分线的性质是解题的关键． 24．（8分）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC． （1）求证：∠ABE＝∠ACD； （2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义即可得到结论； （2）连接BC，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据余角的性质得到∠EAB＝∠CAD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABDC是圆O的内接四边形， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠ABE+∠ABD＝180°， ∴∠ABE＝∠ACD； （2）连接BC， ∵BC为圆O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， ∴∠EAB+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． ∴BE＝CD． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键． 25．（8分）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径． 【分析】由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x，由勾股定理得到x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长． 【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB， ∴MN＝3.5cm， ∵CD∥AB， ∴MN⊥CD， ∴DMCD4＝2（cm），BNAB3＝1.5（cm）， 设OM＝x cm， ∴ON＝MN﹣OM＝（3.5﹣x）cm， ∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2， ∴OM2+MD2＝ON2+BN2， ∴x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52， ∴x＝1.5， ∴OM＝1.5（cm）， ∴OD2.5（cm）， ∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）． 【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长． 26．（10分）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， ∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此．代数式x2+4x+2有最小值﹣2； ②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4： 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+2的最小值为 　﹣2　；代数式﹣a2﹣4a+2的最大值为 　6　． （2）求代数式a2+b2+6b﹣10a+11的最小值； （3）已知△ABC的三条边的长度分别为a、b、c，且满足a2+b2+65＝8a+14b，且c为正整数，求△ABC的周长的最大值． 【分析】（1）先配方，再根据非负数的性质求解； （2）先配方，再根据非负数的性质求解； （3）先配方，再根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系求解． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2≥﹣2，﹣a2﹣4a+2＝﹣（a+2）2+6≤6， 故答案为：﹣2，6； （2）∵a2+b2+6b﹣10a+11＝（a﹣5）2+（b+3）2﹣23≥﹣23， ∴代数式a2+b2+6b﹣10a+11的最小值为﹣23； （3）∵a2+b2+65＝8a+14b， ∴a2+b2+65﹣8a﹣14b＝0， ∴a2+b2+65﹣8a﹣14b＝（a﹣4）2+（b﹣7）2＝0， ∴a＝4，b＝7， ∵△ABC的三条边的长度分别为a、b、c，且c为正整数， ∴3＜c＜11， ∴c的最大整数值为10， ∴△ABC的周长的最大值为：10+4+7＝21． 【点评】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$