23.1图形的旋转同步练习（1）2024-2025学年人教版数学九年级上册

23.1图形的旋转同步练习（1） 一．选择题（共10小题） 1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 2．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFD等于（　　） A．89° B．92° C．90° D．95° 3．如图，△ABC中，∠ACB＝80°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（　　）（用含α的代数式表示） A． B． C． D． 4．如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝2，，OC＝4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则S△ABC﹣S△AOC的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，点A坐标为（﹣4，4），点C坐标为（﹣2，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，则点B的坐标是（　　） A．（﹣8，﹣2） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣8，﹣4） D．（﹣6，﹣4） 6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（　　） A．1 B．2 C． D．2 7．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC 绕点B按逆时针方向旋转 30° 后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C． D．9 8．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论： ①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到； ②点O与O′的距离为6； ③∠AOB＝150°； ④； ⑤． 其中正确的结论有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 9．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，4），连结AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为（　　） A．5 B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形OABC，D为OA上一点，其坐标为（1，3），将正方形OABC绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，旋转2025秒后点D的对应点D′的坐标为（　　） A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣1，﹣3） D．（3，﹣1） 二．填空题（共6小题） 11．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝4，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转，每次旋转90°，则当旋转75次时，点B的对应点B'的坐标为 　 　． 13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边AB上，连结EC，将EC绕点C旋转，点E恰好落在边AD上的点F处，且AE＝DF．若CD＝8，EF＝7，则BE＝　 　． 14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB＝5，BC＝9，则BD＝　 　． 15．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是．当把坐标系绕点O顺时针旋转30°时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是（　 　，　 　）；当把坐标系绕点O逆时针选择30°时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是（　 　，　 　）． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 　 　，此时点C的坐标为 　 　． 三．解答题（共9小题） 17．如图所示，把△ABC绕点A旋转至△ADE位置，延长BC交AD于F，交DE于G，若∠CAD＝10°，∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB的度数． 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，，AB＝8，点D在△ABC内连接DA、DB、DC，求DC+DB+AD的最小值． 19．正方形ABCD的边长为5，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转 90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝AE+CF； （2）当AE＝2时，求EF的长． 20．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将三角形BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB＝2，OC＝3，求三角形ADO的面积． 21．如图，△ABC中，AB＝BC，点O是△ABC内一点，将△ABO旋转后能与△BCD重合 （1）旋转中心是点 　 　； （2）若∠ACB＝70°，旋转角是 　 　度； （3）若∠ACB＝60°，请判断△BOD的形状并说明理由． 22．在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜60°，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接DE． （1）如图1，求证：EA∥BC； （2）延长BC到点F，使得CF＝CB，连接DF交AC于点M，依题意补全图2．若点M是AC的中点，用等式表示线段MF，MD，DE之间的数量关系，并证明． 23．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝5，OB＝12，OC＝13，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO'． （1）求点O与O'的距离； （2）求∠AOB的度数． （3）求△AOB的面积． 24．如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°（此时），我们把这种模型称为“半角模型”；小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后（如图2）解决了这个问题． （1）写出线段EF，BE，DF之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点E，F在边BD上，且∠EAF＝45°，请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并说明理由． 25．如图1，在正方形OABC中，边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（6，6），点D在线段OA上，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，BE交y轴于点F． （1）当AD＝2时，直接写出点E的坐标 　 　； （2）如图2，连接DF，当点D在线段OA上运动时，△ODF的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长． 23.1图形的旋转同步练习（1） 一．选择题（共10小题） 1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC， 则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC， ∴∠DAC＝＝＝75°， 故选：D． 2．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFD等于（　　） A．89° B．92° C．90° D．95° 【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE， ∴AB＝AD，∠BAD＝α＝40°，∠ADE＝∠ABC， ∴∠ABD＝∠ADB＝70°， ∴∠ADE＝70°， ∵∠BAC＝55°，∠BAD＝40°， ∴∠DAF＝15°， ∴∠AFD＝180°﹣（∠DAF+∠ADF）＝180°﹣（70°+15°）＝95°， 故选：D． 3．如图，△ABC中，∠ACB＝80°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（　　）（用含α的代数式表示） A． B． C． D． 【解答】解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD， ∵∠BCD＝α， ∴，∠ACE＝α， ∵∠ACB＝80°， ∴． ∴． ∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝170°﹣α． 故选：C． 4．如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝2，，OC＝4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则S△ABC﹣S△AOC的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△BO'A和△BOC中，BO'＝BO，∠O'BA＝∠OBA，BA＝BC． ∴△ABO'≌△BOC（SAS）． ∴O'A＝OC＝4． 如图，连接OO’， 根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形， ∴OO'＝OB＝2， 在△AOO'中，AO＝2，OO'＝2，AO'＝4， ∴△AOO'是直角三角形，∠AOO’＝90°． ∴Rt△AOO''面积为＝2， ∵等边△BOO'面积为＝3， ∴四边形AOBO'的面积为5， ∵△ABO'≌△BOC， ∴四边形AOBO'的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积， ∴S△ABC﹣S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝5． 故选：A． 5．如图，点A坐标为（﹣4，4），点C坐标为（﹣2，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，则点B的坐标是（　　） A．（﹣8，﹣2） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣8，﹣4） D．（﹣6，﹣4） 【解答】解：如图所示，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，则∠ACE＝∠CDB＝90°． ∵点A坐标为（﹣4，4），点C坐标为（﹣2，0）， ∴CE＝2，AE＝4， ∵将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB， ∴CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠DCB＝∠ECA， ∴△ACE≌△CDB（AAS）， ∴EC＝DB＝2，AE＝DC＝4， ∴DO＝DC+CO＝4+2＝6， ∴B（﹣6，﹣2）， 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（　　） A．1 B．2 C． D．2 【解答】解：∵A（1，），∠ABO＝90°， ∴OB＝1，AB＝， ∴∠AOB＝60°， 由旋转的性质可知，∠AOB＝∠A′OA＝60°， ∵OA＝OA′， ∴△ABC是等边三角形， ∴AA′＝OA＝2OB＝2， 故选：B． 7．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC 绕点B按逆时针方向旋转 30° 后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C． D．9 【解答】解：在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝6， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， 如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3， ∴S△A1BA＝×6×3＝9， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝9． 故选：D． 8．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论： ①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到； ②点O与O′的距离为6； ③∠AOB＝150°； ④； ⑤． 其中正确的结论有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：在△BO'A和△BOC中，BO'＝BO，∠O'BA＝∠OBA，BA＝BC． ∴△ABO'≌△BOC（SAS）． ∴O'A＝OC． ∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确； 如图，连接OO’， 根据旋转的性质可知△BOO''是等边三角形，．点O与O'的距离为8，②错误； ∵∠AOB＝∠AOO'+∠BOO'＝90°+60°＝150°，③正确； 在△AOO''中，AO＝6，OO'＝8，AO'＝10， ∴△AOO'是直角三角形，∠AOO’＝90°． ∴Rt△AOO''面积为×6×8＝24， ∵等边△BOO'面积为×8×4＝16， ∴四边形AOBO'的面积为24+16，④错误； 延长AO，过点O作BD⊥AO， ∵∠AOB＝150°， ∴∠BOD＝30°， ∴BD＝4， ∴△ABO的面积为×6×4＝12， ∴S△BOC＝S△BO'A＝S四边形AOBO'﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16．故⑤正确． 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，4），连结AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为（　　） A．5 B． C． D． 【解答】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAO+∠CAM＝90°， 又∵∠BOA＝∠CMA＝90°， ∴∠BAO+∠OBA＝90°， ∴∠CAM＝∠OBA． 在△AOB和△CMA中， ， ∴△AOB≌△CMA（AAS）， ∴CM＝OA，AM＝BO． 又∵A（3，0），B（0，4）， ∴CM＝OA＝3，AM＝BO＝4， 所以点C坐标为（7，3）， 则OM＝7，CM＝3． 在Rt△COM中， OC＝． 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形OABC，D为OA上一点，其坐标为（1，3），将正方形OABC绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，旋转2025秒后点D的对应点D′的坐标为（　　） A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣1，﹣3） D．（3，﹣1） 【解答】解：令旋转1秒后点D的对应点为M，分别过点D和点M作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 由旋转可知， ∠DOM＝90°，DO＝MO， ∴∠DOE+∠MOF＝∠MOF+∠M＝90°， ∴∠AOE＝∠M． 在△DOE和△OMF中， ， ∴△DOE≌△OMF（AAS）， ∵点D的坐标为（1，3）， ∴FM＝OE＝1，OF＝DE＝3， ∴点M的坐标为（3，﹣1）． 同理可得， 旋转2秒后点D的对应点的坐标为（﹣1，﹣3）， 旋转3秒后点D的对应点的坐标为（﹣3，1）， 旋转4秒后点D的对应点的坐标为（1，3）， 旋转5秒后点D的对应点的坐标为（3，﹣1）， …， 由此可见，点D旋转后对应点的坐标按（3，﹣1），（﹣1，﹣3），（﹣3，1），（1，3）循环出现， 又因为2025÷4＝506余1， 所以旋转2025秒后点D的对应点D′的坐标为（3，﹣1）． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为　　． 【解答】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上， ∴∠ECN＝75°， ∵∠ECD＝45°， ∴∠NCO＝180°﹣75°﹣45°＝60°， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠ONC＝30°， 设OC＝a，则CN＝2a， ∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN， ∴△CMN也是等腰直角三角形， 设CM＝MN＝x，则由勾股定理得：x2+x2＝（2a）2， x＝a， 即CD＝CM＝a， ∴＝＝， 12．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝4，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转，每次旋转90°，则当旋转75次时，点B的对应点B'的坐标为 　　． 【解答】解：∵∠AOB＝∠B＝30°，OA＝4， ∴∠BAD＝2∠B＝60°，OA＝AB＝4， 由将△AOB绕点O按逆时针方向旋转，每次旋转90°，可知：点B的坐标每4次一循环， ∴75÷4＝18…3， ∴当旋转75次时，点B所对应的坐标与旋转3次时所对应的坐标相同，如图所示， 过点B作BC⊥y轴于点C，如图所示，由旋转的性质可知：OA＝OA＝AB＝4，∠BAC＝∠BAD＝60°， ∴∠A'B'C＝30°，，， ∴OC＝6，， ∴当旋转75次时，点B的对应点B的坐标为， 13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边AB上，连结EC，将EC绕点C旋转，点E恰好落在边AD上的点F处，且AE＝DF．若CD＝8，EF＝7，则BE＝　3或5　． 【解答】解：过点C作CM⊥AD于点M，连接AC， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝DA， ∵∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∵AE＝DF， ∴BE＝FA， 又∵将EC绕点E旋转，点C恰好落在边AD上的点F处， ∴CE＝CF， ∴△BCE≌△ACF（SSS）， ∴∠BCE＝∠ACF， ∴∠ECF＝∠ACB＝60°， 又∵CE＝CF， ∴△CEF为等边三角形， ∴CF＝EF＝7， ∵CD＝8，∠D＝60°， ∴DM＝CD＝4，CM＝4， ∴FM＝＝1， ∴AF＝AD﹣FM﹣DM＝8﹣4﹣1＝3， ∴BE＝3， 若点E靠近A点，则BE＝5． 14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB＝5，BC＝9，则BD＝　　． 【解答】解：连接BE，如图， ∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE， ∴∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE， ∴△BCE为等边三角形， ∴BE＝BC＝9，∠CBE＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABE＝90°， 在Rt△ABE中，AE＝＝＝， ∴BD＝． 15．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是．当把坐标系绕点O顺时针旋转30°时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是（　﹣2　，　0　）；当把坐标系绕点O逆时针选择30°时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是（　﹣1　，　　）． 【解答】解：如图所示： 连接OA，作AB⊥x轴于点B， ∵点A坐标是． ∴AB＝1，OB＝， ∴OA＝＝2， ∴∠AOB＝30°， 当把坐标系绕点O顺时针旋转30°时， 相当于把OA绕点O逆时针旋转30°， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是（﹣2，0）； 当把坐标系绕点O逆时针旋转30°时， 相当于把OA绕点O顺时针旋转30°，到OA′， ∴∠BOA′＝60°，OA＝OA′＝2， ∴OB′＝1，A′B′＝， ∴A′（﹣1，）． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 　3　，此时点C的坐标为 　（，0）　． 【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F， ∵点A的坐标为（0，4）， ∴OA＝4， ∵点P为OA的中点， ∴AP＝2， ∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP， ∴AF＝PF＝1，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAP， 在△ABE和△ACP中， ， ∴△ABE≌△ACP（SAS）， ∴BE＝PC， ∴当BE有最小值时，PC有最小值， ∵点B为x轴上一动点，E为定点， 即BE⊥x轴时，BE有最小值， ∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝2+1＝3， ∴PC的最小值为3， 当BE⊥x轴时，点C在x轴上， ∵△ABC是等边三角形，OA⊥BC， ∴∠BAO＝30°， ∵OA＝4， ∴OB＝OC＝， ∴C（，0）， 故答案为：3，（，0）． 三．解答题（共9小题） 17．如图所示，把△ABC绕点A旋转至△ADE位置，延长BC交AD于F，交DE于G，若∠CAD＝10°，∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB的度数． 【解答】解：由旋转可知：△ABC≌△ADE， ∵∠D＝25°， ∴∠B＝∠D＝25°，∠EAD＝∠CAB， ∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB＝120°，∠CAD＝10°， ∴∠CAB＝（120°﹣10°）÷2＝55°， ∴∠FAB＝∠CAB+∠CAD＝55°+10°＝65°， ∵∠DFB是△ABF的外角， ∴∠DFB＝∠B+∠FAB， ∴∠DFB＝25°+65°＝90°． 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，，AB＝8，点D在△ABC内连接DA、DB、DC，求DC+DB+AD的最小值． 【解答】解：如图，将△ADB绕点A顺时针旋转60°，可得△AEF，连接DE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°，△ADB≌△AEF， ∴△ADE是等边三角形，BD＝EF，AB＝AF＝8，∠BAD＝∠EAF， ∴DE＝AD， ∵DC+DB+AD＝CD+DE+EF， ∴当点C，点D，点E，点F共线时，DC+DB+AD有最小值为CF的长， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAD+∠BAD＝30°＝∠CAD+∠EAF＝30°， ∴∠CAF＝90°， ∴CF＝＝＝4， ∴DC+DB+AD最小值为4． 19．正方形ABCD的边长为5，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转 90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝AE+CF； （2）当AE＝2时，求EF的长． 【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM， ∴F、C、M三点共线， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中， ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF， ∴EF＝CF+AE； （2）解：设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，BC＝5， ∴BM＝BC+CM＝5+2＝7， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝7﹣x， ∴EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3， 在Rt△EBF中，由勾股定理得， EB2+BF2＝EF2即22+（4﹣x）2＝x2， 解得x＝， 则EF＝． 20．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将三角形BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB＝2，OC＝3，求三角形ADO的面积． 【解答】解：（2）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO， ∵∠ACB＝60°， ∴∠DCO＝60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC＝60°； （2）由旋转的性质得，AD＝OB＝2， ∵△OCD为等边三角形， ∴OD＝OC＝3， ∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝90°， ∴S△AOD＝•OD•AD＝×2×3＝3． 21．如图，△ABC中，AB＝BC，点O是△ABC内一点，将△ABO旋转后能与△BCD重合 （1）旋转中心是点 　B　； （2）若∠ACB＝70°，旋转角是 　40　度； （3）若∠ACB＝60°，请判断△BOD的形状并说明理由． 【解答】解：（1）旋转中心是点B， （2）∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝40°， ∵将△ABO旋转后能与△BCD重合， ∴∠ABO＝∠CBD， ∴∠OBC+∠ABO＝∠OBC+∠CBD＝∠ABC＝40°， ∵旋转角是40度， （3）△BOD是等边三角形， ∵AB＝BC，∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵将△ABO旋转后能与△BCD重合， ∴BD＝BO， ∵∠OBD＝∠ABC＝60°， ∴△BOD是等边三角形． 22．在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜60°，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接DE． （1）如图1，求证：EA∥BC； （2）延长BC到点F，使得CF＝CB，连接DF交AC于点M，依题意补全图2．若点M是AC的中点，用等式表示线段MF，MD，DE之间的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：延长AD交BC于点G，连接CD，如图1． ∵BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴△DBC是等边三角形． ∴DC＝DB＝BC，∠DCB＝60°． ∴点D在线段BC的垂直平分线上． ∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∴AG⊥BC． ∴∠AGC＝∠GAE＝90°． ∴EA∥BC． （2）依题意补全图2，如图．数量关系：． 证明：延长FD交AE的延长线于点N，连接CD，如图2． ∵DC＝BC，CF＝BC， ∴CF＝CD． ∴． ∵EA∥BC， ∴∠N＝∠F＝30°． 又∵∠AMN＝∠CMF，AM＝CM， ∴△AMN≌△CMF． ∴MF＝MN． 在Rt△EAD中，AE＝AD， 可得 ． 在Rt△NAD中，∠N＝30°， 可得 DN＝2AD． ∴． ∵， ∴． 23．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝5，OB＝12，OC＝13，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO'． （1）求点O与O'的距离； （2）求∠AOB的度数． （3）求△AOB的面积． 【解答】解：（1）∵等边△ABC， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°． ∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′， ∴BO＝BO′，∠O′AO＝60°， ∴△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝OB＝12； （2）∵∠OBO'＝∠ABC＝60°， ∴∠O′BA＝60°﹣∠ABO＝∠OBA． 在△BO'A和△BOC中， ， ∴△BO′A≌△BOC（SAS）． ∴OC＝O'A＝13， ∵AO2+O'O2＝25+144＝169＝O'A2， ∴△AOO′是直角三角形． ∴∠AOB＝∠AOO′+∠O′OB＝90°+60°＝150°． （3）以AO为底，∵∠AOB＝150°， ∴边AO上的高就是BO＝6， ∴S△ABO＝×5×6＝15． 24．如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°（此时），我们把这种模型称为“半角模型”；小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后（如图2）解决了这个问题． （1）写出线段EF，BE，DF之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点E，F在边BD上，且∠EAF＝45°，请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）EF＝BE+DF；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝∠DAB＝90°； ∵△ADF绕点A顺时针旋转90°后得到△ABG， ∴AF＝AG，BG＝DF，∠ABG＝∠D＝90°，∠DAF＝∠GAB； ∴∠ABG+∠ABE＝180°， 即点G在EB的延长线上； ∵∠EAF＝45°，∠DAB＝90°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠BAE+∠GAB＝45°， 即∠EAF＝∠GAE＝45°； ∵AF＝AG，AE＝AE， ∴△AFE≌△AGE（SAS）， ∴EF＝GE＝GB+BE， 即EF＝BE+DF； 故线段EF，BE，DF之间的数量关系为：EF＝BE+DF； （2）EF2＝BE2+DF2；理由如下： ∵∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠ABE＝∠D＝45°； 把△ADF绕点A顺时针旋转90°后得到△ABG，如图， 则AF＝AG，BG＝DF，∠ABG＝∠D＝45°，∠DAF＝∠GAB； ∴∠ABG+∠ABE＝45°+45°＝90°， 即∠GBE＝90°， ∴GE2＝BE2+BG2＝BE2+DF2； ∵∠EAF＝45°，∠DAB＝90°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠BAE+∠GAB＝45°， 即∠EAF＝∠GAE＝45°； ∵AF＝AG，AE＝AE， ∴△AFE≌△AGE（SAS）， ∴EF＝GE， ∴EF2＝BE2+DF2． 25．如图1，在正方形OABC中，边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（6，6），点D在线段OA上，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，BE交y轴于点F． （1）当AD＝2时，直接写出点E的坐标 　（﹣2，2）　； （2）如图2，连接DF，当点D在线段OA上运动时，△ODF的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长． 【解答】解：（1）如图，作EG⊥x轴于点G，则∠EGD＝90°， ， ∵四边形ABCO为正方形，点B的坐标为（6，6）， ∴OA＝AB＝OC＝BC＝6，∠BAD＝90°， ∵△BDE为等腰直角三角形， ∴BD＝DE，∠BDE＝90°， ∴∠DGE＝∠BAD＝∠BDE＝90°， ∴∠EDG+∠ADB＝∠ADB+∠ABD＝90°， ∴∠EDG＝∠ABD， ∴△DEG≌△BDA（AAS）， ∴EG＝AD＝2，DG＝AB＝6， ∴OG＝DG﹣OD＝6﹣（6﹣2）＝2， ∴E（﹣2，2）， （2）△ODF的周长不变，且周长为12， 理由如下： 如图，在x轴上取一点H，使AH＝CF，连接BH， ， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠BCF＝∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAH＝90°， ∴∠BAH＝∠BCF， ∴△BCF≌△BAH（SAS）， ∴BF＝BH，∠CBF＝∠ABH， ∵△BDE为等腰直角三角形， ∴∠DBF＝45°， ∴∠CBF+∠ABD＝90°﹣∠DBF＝45°， ∴∠DBH＝∠ABD+∠ABH＝45°， ∴∠DBH＝∠DBF， ∵BD＝BD， ∴△DBF≌△DBH（SAS）， ∴DF＝DH， ∴△ODF的周长＝OD+OF+DF ＝OD+DA+AH+OF ＝OD+DA+CF+OF ＝OA+OC ＝12． 学科网（北京）股份有限公司 $$