21.2.2 公式法同步练习2024-2025学年人教版 数学 九年级上册

数学（人教版）| 九年级（上） 同步练习 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 一．选择题 1．一元二次方程x2＝4x+1中，根的判别式的值为（　　） A．8 B．12 C．20 D．32 2．不解方程，判断方程x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定 3．已知方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥1 C．k≤1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 4．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+x﹣3＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0 C．2x2﹣x﹣3＝0 D．x2+2x﹣3＝0 5．利用公式法可得一元二次方程式2x2﹣9x+8＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 6．下列方程中，最适合用公式法求解的是（　　） A．4x2＝9 B．（x+1）2＝2 C．2x2﹣3x+1＝0 D．（3x﹣4）2﹣8＝0 7．用公式法解方程2x2﹣＝14x时，a，b，c的值分别为（　　） A．a＝2，b＝，c＝14 B．a＝2，b＝﹣14，c＝﹣ C．a＝2，b＝14，c＝﹣ D．a＝2，b＝﹣，c＝14 8．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的一元二次方程（a+b）x2+cx+（a+b）＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 9．关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．非选择题 10．利用求根公式求方程3x2﹣4＝5x的根时，将方程化为一般形式，得 　 　.所以a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． 又因为求根公式x＝　 　，所以代入a，b，c的值得x＝． 11．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 　 　． 12．若关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个相等实数根，则m的值是 　 　． 13．直线y＝x+a不经过第二象限，此时a 　 　0，同时关于x的方程ax2+2x+1＝0有 　 　个实数解． 14．用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　． 15．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是　 　． 16．若a2+5ab﹣b2＝0，则的值为　 　． 17．用公式法解下列方程． （1）x2﹣3x﹣2＝0； （2）2x2﹣3x＝1； （3）（x+2）（x+3）＝﹣4； （4）2x2+3x+3＝0； （5）（x+2）2＝﹣2x； （6）（x+1）（x﹣1）＝2x． 18．设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1； ②b＝3，c＝1； ③b＝3，c＝﹣1； ④b＝2，c＝2． 19．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0． （1）当m＝2，n＝﹣5时，求方程的根； （2）当m＝n+2时，求证：方程有两个不相等的实数根． 20．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； 答案 一．选择题 1．一元二次方程x2＝4x+1中，根的判别式的值为（　　） A．8 B．12 C．20 D．32 【答案】C 2．不解方程，判断方程x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定 【答案】C 3．已知方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥1 C．k≤1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【答案】A 4．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+x﹣3＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0 C．2x2﹣x﹣3＝0 D．x2+2x﹣3＝0 【答案】C 5．利用公式法可得一元二次方程式2x2﹣9x+8＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 6．下列方程中，最适合用公式法求解的是（　　） A．4x2＝9 B．（x+1）2＝2 C．2x2﹣3x+1＝0 D．（3x﹣4）2﹣8＝0 【答案】C 7．用公式法解方程2x2﹣＝14x时，a，b，c的值分别为（　　） A．a＝2，b＝，c＝14 B．a＝2，b＝﹣14，c＝﹣ C．a＝2，b＝14，c＝﹣ D．a＝2，b＝﹣，c＝14 【答案】B 8．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的一元二次方程（a+b）x2+cx+（a+b）＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 9．关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 二．非选择题 10．利用求根公式求方程3x2﹣4＝5x的根时，将方程化为一般形式，得 　3x2﹣5x﹣4＝0　.所以a＝　3　，b＝　﹣5　，c＝　﹣4　． 又因为求根公式x＝　　，所以代入a，b，c的值得x＝． 【答案】3x2﹣5x﹣4＝0；3；﹣5；﹣4；；（﹣5）2﹣4×3×（﹣4）． 11．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 　a≤4且a≠0　． 【答案】a≤4且a≠0． 12．若关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个相等实数根，则m的值是 　1　． 【答案】1． 13．直线y＝x+a不经过第二象限，此时a 　≤　0，同时关于x的方程ax2+2x+1＝0有 　1或2　个实数解． 【答案】≤，1或2． 14．用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　5x2+3x﹣2＝0　． 【答案】5x2+3x﹣2＝0． 15．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是　x1＝，x2＝　． 【答案】x1＝，x2＝． 16．若a2+5ab﹣b2＝0，则的值为　±　． 【答案】±． 17．用公式法解下列方程． （1）x2﹣3x﹣2＝0； （2）2x2﹣3x＝1； （3）（x+2）（x+3）＝﹣4； （4）2x2+3x+3＝0； （5）（x+2）2＝﹣2x； （6）（x+1）（x﹣1）＝2x． 【答案】解：（1）∵x2﹣3x﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝9+8＝17， ∴， ∴，； （2）∵2x2﹣3x＝1， 整理得：2x2﹣3x﹣1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝9+8＝17， ∴， ∴，； （3）∵（x+2）（x+3）＝﹣4 整理得：x2+5x+10＝0Δ＝b2﹣4ac＝52﹣40＝﹣15＜0， ∴原方程无实数根； （4）∵． ∴Δ＝b2﹣4ac＝27﹣24＝3， ∴， ∴，； （5）∵（x+2）2＝﹣2x 整理得：x2+6x+4＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣16＝20， ∴， ∴，； （6）∵， 整理得：， ∴Δ＝b2﹣4ac＝8+4＝12， ∴， ∴，． 18．设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1； ②b＝3，c＝1； ③b＝3，c＝﹣1； ④b＝2，c＝2． 【答案】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c， ∴②③均可， 选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝； 选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0， ∴x1＝，x2＝． 19．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0． （1）当m＝2，n＝﹣5时，求方程的根； （2）当m＝n+2时，求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】（1）解：当m＝2，n＝﹣5时，原方程可化为x2+2x﹣5＝0， x2+2x＝5， x2+2x+1＝5+1， （x+1）2＝6， x+1＝±， ∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣； （2）证明：当m＝n+2时， 原方程可化为x2+（n+2）x+n＝0， Δ＝（n+2）2﹣4n＝n2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根.. 20．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【答案】（1）证明：依题意，得Δ＝（m﹣4）2﹣4（m﹣1）×（﹣3） ＝m2﹣8m+16+12m﹣12 ＝m2+4m+4 ＝（m+2）2． ∵（m+2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵（x+1）[（m﹣1）x﹣3]＝0， ∴x1＝﹣1，， ∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数， ∴m﹣1＝1或m﹣1＝3， ∴m＝2或m＝4． 21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x＝﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0， ∴a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0， ∴4b2﹣4a2+4c2＝0， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$