3.1.1 第2课时 函数的表示方法（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

第三章　函 数 3.1　函数的概念与性质 3.1.1　函数及其表示方法 第2课时　函数的表示方法 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第三章　函 数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 栏目导航 第三章　函 数 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　函 数 1 导学　函数的表示方法 结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？ [提示]　 解析法，列表法，图象法． ◎结论形成 1．函数的表示方法 2．函数的三种表示法的优缺点 表示法 优点 缺点 解析法 简明、全面概括了变量间的关系：利用解析式可以求任一点处的函数值 不够形象、直观而且并非所有的函数都有解析式 列表法 不需计算可以直接看出自变量对应的函数值 仅能表示自变量取较少的有限的对应关系 图象法 能形象直观地表示函数的变化情况 只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用图象法表示．(　　) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　) (3)函数的图象可以是一群孤立的点．(　　) (4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．根据表中给出函数y＝f(x)，则f(f(1))＝(　　) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A．1　　　　　　　 B．2 C．4 D．5 解析　由表知f(1)＝4，f(f(1))＝f(4)＝2. 答案　B 3．下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A．[2，5] B．{2，3，4，5} C．(0，20] D．N＋ 解析　由表格可知，y的值为2，3，4，5. 故函数的值域为{2，3，4，5}． 答案　B 4．已知函数f(x)是一次函数，且其图象过A(－2，0)，B(1，5)两点，则f(x)的解析式为________． 解析　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k＋b＝0，,k＋b＝5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(5,3)，,b＝\f(10,3)．)) 所以f(x)的解析式为f(x)＝ eq \f(5,3) x＋ eq \f(10,3) . 答案　f(x)＝ eq \f(5,3) x＋ eq \f(10,3) 题型一　函数的三种表示方法 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N＋)的函数关系． [解析]　这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N＋}． ①解析法：S＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4))) eq \s\up20(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10－x,4))) eq \s\up20(2) .将上式整理得S＝ eq \f(1,8) x2－ eq \f(5,4) x＋ eq \f(25,4) ， x∈{x|1≤x<10，x∈N＋}． ②列表法： 一段铁丝长x(cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面积之和S(cm2) eq \f(41,8) eq \f(17,4) eq \f(29,8) eq \f(13,4) eq \f(25,8) eq \f(13,4) eq \f(29,8) eq \f(17,4) eq \f(41,8) ③图象法： 理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． [触类旁通] 1．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解析　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 题型二　求函数的解析式 一题多解 　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f( eq \r(x) ＋1)＝x＋2 eq \r(x) ，求f(x)的解析式； (3)已知2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) ＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)的解析式． [解析]　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝9，,kb＋b＝4，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3，,b＝1，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝－2.)) ∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)法一(配凑法)　∵f( eq \r(x) ＋1)＝x＋2 eq \r(x) ＝( eq \r(x) ＋1)2－1( eq \r(x) ＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1). 法二(换元法)　令 eq \r(x) ＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 eq \r((t－1)2) ＝t2－1(t≥1). ∴f(x)＝x2－1(x≥1). (3)由题意知，f(x)＋2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) ＝x(x≠0)， 令x＝ eq \f(1,x) ，得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) ＋2f(x)＝ eq \f(1,x) (x≠0). 于是得到关于f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) 的方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(x)＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝\f(1,x)．)) 解得f(x)＝ eq \f(2,3x) － eq \f(x,3) (x≠0). 求函数解析式的常用方法 (1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). (2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式． [触类旁通] 2．(1)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，求f(x)； (2)已知f( eq \r(x) ＋4)＝x＋8 eq \r(x) ，求f(x2). 解析　(1)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).∵f(0)＝1，∴c＝1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x＋2， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x＋2， 整理，得2ax＋(a＋b)＝2x＋2. 由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，)) ∴f(x)＝x2＋x＋1. (2)法一(配凑法)　∵f( eq \r(x) ＋4)＝( eq \r(x) )2＋8 eq \r(x) ＝( eq \r(x) ＋4)2－16， ∴f(x)＝x2－16(x≥4).∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2). 法二(换元法)　令 eq \r(x) ＋4＝t(t≥4)， 则x＝(t－4)2(t≥4). ∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)， 即f(x)＝x2－16(x≥4). ∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2). 题型三　函数的图象及应用 　(1)某同学骑车上学，离开家不久，发现作业本忘家里了，于是返回家找到作业本再上学，为了赶时间快速行驶．如图，横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离，则较符合该同学走法的图象是(　　) (2)作出下列函数的图象，并指出其值域． ①y＝－x＋1，x∈Z； ②y＝2x2－4x－3(0≤x<3)； ③y＝ eq \f(2,x) (－2≤x≤1，且x≠0). (1)[解析]　坐标系中，横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离．据此，将该同学上学的过程分为四个时间段：①第一时间段，该同学从家出发往学校走，随着时间的增长，他到学校的距离越来越小，图象呈现减函数的趋势； ②第二时间段，该同学在中途返回家里，随着时间的增长，他到学校的距离越来越大，图象呈现增函数的趋势； ③第三时间段，该同学停在家里找作业本，此时他到学校的距离不变，是一个常数，图象呈现水平的线段； ④第四时间段，该同学从家出发，急速往学校行驶，随着时间的增长，他到学校的距离越来越小，而且由于他行驶的速度很快，故图象呈现“直线下降”的锐减趋势．由以上分析，可知符合题意的图象是D. [答案]　D (2)[解析]　①定义域为Z，所以图象为离散的点．图象如图①所示．由图可知y＝－x＋1，x∈Z的值域为Z. ②y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x<3)，定义域不是R，因此图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．图象如图②所示．由图可知y＝2x2－4x－3(0≤x<3)的值域为[－5，3). ③用描点法可以作出函数的图象如图③所示．由图可知y＝ eq \f(2,x) (－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞). [素养聚焦]　直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解过程中得以体现． 描点法作函数图象的三个关注点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点的虚实． [触类旁通] 3．作出下列函数的图象． (1)y＝x(－2≤x≤2，x∈Z且x≠0)； (2)y＝－2x2＋4x＋1(0<x≤3). 解析　(1)由于函数定义域为大于等于－2，小于等于2且不等于0的整数组成的集合，所以函数图象为图中直线y＝x上孤立的点． (2)由题意可知，函数的定义域为(0，3]，因而这个函数的图象是二次函数y＝－2x2＋4x＋1在(0，3]上的部分，如图所示． 知识落实 技法强化 (1)函数的三种表示方法． (2)函数解析式的求法． (3)函数图象的画法和应用． (1)求函数解析式的方法有配凑法、换元法、待定系数法、数形结合法． (2)求函数解析式时不要漏掉定义域． $$