2.1.3 方程组的解集（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

第二章　等式与不等式 2.1　等式 2.1.3　方程组的解集 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 方程组 交集 消元法 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 学业标准 素养目标 1．会解二元一次方程组和三元一次方程组．(重点) 2．掌握二元二次方程组的解法．(难点) 3．能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．(难点) 1．通过解方程组培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． 2．通过利用方程组解决实际问题，培养学生数学抽象、数学建模等核心素养． 导学　方程组的解集 如果有一方程组为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝19，①,5x＋3y＝73，②)) 那么 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝11)) 适合方程①吗？适合方程②吗？ [提示]　均适合，并且{(x，y)|x＝8，y＝11}为两方程解集的交集． 如何求方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝19，①,5x＋3y＝73，②)) 的解集呢？三元一次方程组呢？ [提示]　可以通过消元法求解． ◎结论形成 1．方程组的解集 将多个方程联立，就能得到__________．方程组中，由每个方程的解集得到的________称为方程组的解集，求方程组解集常用的方法是__________． 2．方程组的解集是无限集时的表示方法 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1)) 的解集为{2，1}．(　　) (2)方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝5，,4x＋2y－10＝0)) 的解集是有限集．(　　) (3)方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x2－xy－4y2－3x＋4y＝0，,x2＋y2＝25)) 的一个解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝4.)) (　　) (4)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．求方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－z＝11，,x＋z＝5，,x－y＋2z＝1)) 的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取(　　) A．先消去x　　　 B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 解析　根据系数特点，先消去y最简便，故选B. 答案　B 3．方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1)) 的解集是(　　) A．{x＝0，y＝1} B．{0，1} C．{(0，1)} D．{x＝0或y＝1} 解析　由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，)) ∴方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1，)) 的解集为{(0，1)}． 答案　C 4．若关于x，y的方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝4，,ax＋by＝－1)) 的解集为{(3，－b)}，则a＝________． 解析　∵方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝4，,ax＋by＝－1)) 的解集为{(3，－b)}， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－3b＝4，,3a－b2＝－1，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(2,3)，,a＝－\f(5,27)．)) 答案　－ eq \f(5,27) 题型一　二元一次方程组的解集及应用 一题多解 (1)求方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－1，,4x－y＝5)) 的解集． (2)医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ [解析]　(1)方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－1，①,4x－y＝5，②)) 法一(代入法)　由②得y＝4x－5，③ 把③代入①得2x＋3(4x－5)＝－1，解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{(1，－1)}． 法二(加减法)　①×2－②得y＝－1，代入②得x＝1， 所以这个方程组的解集为{(1，－1)}． (2)设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表： 甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品 其中所含蛋白质 0.5x单位 0.7y单位 (0.5x＋0.7y)单位 其中所含铁质 x单位 0.4y单位 (x＋0.4y)单位 根据题意及上述表格， 可列方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x＋0.7y＝35，,x＋0.4y＝40，)) 可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＝350，①,5x＋2y＝200.②)) ①－②，得y＝30，把y＝30代入②中，得x＝28. 答：每餐需甲种原料28 g，乙种原料30 g． (1)求二元一次方程组的解集常常利用消元的思想，消元的方法有代入消元法与加减消元法． (2)用二元一次方程组解决实际问题的步骤： ①审题：弄清题意和题目中的数量关系； ②设元：用字母表示题目中的未知数； ③列方程组：根据两个等量关系列出方程组； ④解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值； ⑤检验并作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答． [触类旁通] 1．(1)若x，y满足方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝7，,x＋2y＝8，)) 则x＋y的值是(　　) A．5　　　　　　　 B．－1 C．0 D．1 (2)小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元，小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元，则买2本数学书和1本语文书要花(　　) A．25元 B．30元 C．35元 D．45元 解析　(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝7，①,x＋2y＝8，②)) 法一　②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.把y＝3代入②，得x＝2.所以x＋y＝2＋3＝5. 法二　由①＋②，得3x＋3y＝15.化简，得x＋y＝5. (2)设1本数学书的价格为x元，1本语文书的价格为y元， 根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x＋2y＝100，,2x＋4y＝80，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝15，)) 2x＋y＝2×10＋15＝35，即买2本数学书和1本语文书要花35元， 故选C. 答案　(1)A　(2)C 题型二　三元一次方程组的解集 　解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝1，①,y－3z＝5，②,x＋y＋z＝12.③)) [解析]　①＋②得x－z＝2，④ ③－②得x＋4z＝7，⑤ 由④⑤得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,z＝1，)) 把x＝3，z＝1代入③得y＝8. ∴原方程组的解集是{(3，8，1)}． 解三元一次方程组，首先将系数较为简单的未知数消去，将“三元”转化为“二元”，再解二元一次方程组即可；或根据各未知数系数的特点，直接将方程相加(减)进行简便运算． [触类旁通] 2．解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋z＝6，①,x－y＋2z＝－1，②,x＋2y－z＝5.③)) 解析　①－②×2，得5y－3z＝8，④ ③－②，得3y－3z＝6，⑤ 由④⑤组成二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5y－3z＝8，,3y－3z＝6.)) 解这个二元一次方程组，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1，,z＝－1，)) 把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2， 所以原方程组的解集为{(2，1，－1)}． 题型三　二元二次方程组的解集 　求方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝5(x＋y)，,x2＋xy＋y2＝43)) 的解集． [解析]　已知方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝5(x＋y)，①,x2＋xy＋y2＝43，②)) 由①得x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0，∴x＋y＝0或x－y－5＝0， ∴原方程组可化为两个方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－5＝0，,x2＋xy＋y2＝43，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x2＋xy＋y2＝43，)) 解这两个方程组，得原方程组的解集是 {(－1，－6)，(6，1)，( eq \r(43) ，－ eq \r(43) )，(－ eq \r(43) ， eq \r(43) )}． [素养聚焦]　逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 1．对形如 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Dx2＋Exy＋Fy2＋Gx＋Hy＋K＝0)) 的方程组可用代入法． 2．对形如 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x2＋B1xy＋C1y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,A2x2＋B2xy＋C2y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)) 的方程组可通过“降次”转化为1中的形式求解． [触类旁通] 3．解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x＋y－1＝0.)) 解析　已知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，①,x＋y－1＝0.②)) 由方程②，得y＝1－x，③ 把方程③代入方程①，得x2＋(1－x)2＝1. 整理，得x2－x＝0.解得x1＝0，x2＝1. 把x1＝0代入方程③，得y1＝1； 把x2＝1代入方程③，得y2＝0. 原方程组的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝1，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,y2＝0.)) 即其解集为{(0，1)，(1，0)}． 知识落实 技法强化 (1)求一次方程组的解集． (2)求二元二次方程组的解集． (3)一次方程组的实际应用． (1)消元的方法主要有：加减消元法、代入消元法，整体消元法． (2)降次的方法主要是因式分解，将“ab＝0”转化为“a＝0或b＝0”． $$