1.2.3 充分条件、必要条件（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.2　常用逻辑用语 1.2.3　充分条件、必要条件 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 p⇒q 充分条件 必要条件 “p推不出q” 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 q⇒p q⇒p p⇔q “p与q等价”“p当且仅当q” 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语 1 学业标准 素养目标 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．(难点) 2．掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法．(重点) 1．通过对充分条件、必要条件等概念的学习，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过对三种条件的判断，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学1　充分条件与必要条件 判断下列两个命题的真假，若为真命题，说明条件和结论有什么关系？ ①若x＞a2＋b2，则x＞2ab； ②若ab＝0，则a＝0. [提示]　①为真命题，②为假命题．①为真命题，说明由条件x＞a2＋b2，通过推理可以得出结论x＞2ab. 以上条件和结论的关系是否对任意一个“若p，则q”的命题都成立？ [提示]　都成立． ◎结论形成 1．p⇒q与peq \o(⇒,/)q 若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作________，读作“p推出q”，否则，称p不可以推出q，记作________，读作_____________． 2．充分条件和必要条件 “如果p，那么q”是真命题，当p⇒q时，称p是q的____________，q是p的____________． peq \o(⇒,/)q 导学2　充要条件 已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数．请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ [提示]　p⇒q，故p是q的充分条件，又q⇒p，故p是q的必要条件． 通过判断，你发现了什么？这种关系是否对任意一个“若p，则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立？你能用数学语言概括出来吗？ [提示]　可以发现p既是q的充分条件，又是q的必要条件，且这种关系对“若p，则q”的命题只要具备p⇒q，q⇒p都成立，即p⇔q. ◎结论形成 1．充分不必要条件 如果p⇒q且________，则称p是q的充分不必要条件． 2．必要不充分条件 如果peq \o(⇒,/)q且________，则称p是q的必要不充分条件． 3．充要条件 如果p⇒q且________，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作________，此时，也读作________________________． qeq \o(⇒,/)p 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　　) (2)“x>0”是“x>1”的充分条件．(　　) (3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　) (4)a＝0是a2＝0的充分条件又是必要条件．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析　由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件． 答案　B 3．a＜0，b＜0的一个必要条件为(　　) A．a＋b＜0　　　 B．a－b＞0 C． eq \f(a,b) ＞1 D． eq \f(a,b) ＜－1 解析　a＋b＜0eq \o(⇒,/)a＜0，b＜0，而a＜0，b＜0⇒a＋b＜0. 答案　A 4．“x＞0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由“x＞0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件． 答案　A 题型一　充分条件与必要条件的判断 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件). (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. [解析]　(1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系判断． 一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． [触类旁通] 1．下列各题，p是q的什么条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)? (1)p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形； (2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝ eq \r(x－1) ； (3)p：m>0，q：方程x2＋x－m＝0有实根． 解析　 (1)∵四边形对角线互相平分eq \o(⇒,/)四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件． (2)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝ eq \r(x－1) ，x－1＝ eq \r(x－1) ⇒x＝1或x＝2，∵p是q的充要条件． (3)∵m>0⇒方程x2＋x－m＝0的Δ＝1＋4m>0，即方程有实根；方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0eq \o(⇒,/)m>0，∴p是q的充分不必要条件． 题型二　根据充分、必要条件求参数 一题多变 　已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m](m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解析]　p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]. 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即[1－m，1＋m] [－2，10]， 故有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，)) 解得m≤3. 所以实数m的取值范围为(0，3]. [母题变式] (变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解析　设p对应的集合为A，q对应的集合为B， 因为p是q的充分不必要条件，所以AB. 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.)) 解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9， 即实数m的取值范围是[9，＋∞). [素养聚焦]　通过充分条件与必要条件的应用，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中. 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤： (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解． [触类旁通] 2．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解析　设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(m,4))))) ， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA， 所以－ eq \f(m,4) ≤－2，即m≥8. 所以m的取值范围为[8，＋∞). 题型三　充要条件 　已知a＋b≠0，求a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件． [解析]　由a2＋b2－a－b＋2ab＝0，即 a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b－1)·( a＋b)＝0， 又∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0， 即a＋b＝1等价于a2＋b2－a－b＋2ab＝0. ∴在a＋b≠0的条件下， a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 探求充要条件的两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． [触类旁通] 3．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件． 解析　 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋kx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0，)) ⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－(x2＋x)x＋1＝0，,x2＋x＋k＝0，)) ⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x3＝0，,x2＋x＋k＝0，)) ⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,k＝－2.)) 所以两方程有一个公共实根的充要条件为k＝－2. [缜密思维提能区]　易错辨析 充要条件的应用 【典例】　“ax2＋ax＋1＞0的解集为R”是“0＜a＜4”的________条件． [错解]　设p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R， q：0＜a＜4. 因为当0＜a＜4时，Δ＜0， 所以当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立， 故q⇒p. 当ax2＋ax＋1＞0的解集为R时，有0＜a＜4， 故p⇒q. 所以p是q的充要条件． [答案]　充要 [正解]　设p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R， q：0＜a＜4. 因为当0＜a＜4时，Δ＜0， 所以当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立， 故q⇒p，而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，所以peq \o(⇒,/)q. 所以p为q的必要不充分条件． [答案]　必要不充分 [纠错心得]　(1)忽略了a＝0时原不等式变为1＞0这一情况． (2)用定义判断时无论是p⇒q，还是q⇒p，均要认真考虑是否有反例，这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点． 知识落实 技法强化 (1)充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判断． (2)充要条件的证明． (3)充要条件的探求． (1)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性，如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件． (2)根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用． $$