精品解析：四川省内江市第一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

内江一中初2025届第五学期数学入学测试试题 考试时间：120分钟 试卷总分；120分 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 在中，分式有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A. B. C. 且 D. 5. 选项中的曲线不能表示y是x的函数的是（   ） A. B. C. D. 6. 某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（ ） A. 6，5 B. 6，6 C. 和6 D. 和6 7. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 函数和在同一坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A. 如果，，那么四边形是矩形 B. 如果，，那么四边形是矩形 C. 如果，，那么四边形是菱形 D. 如果，，那么四边形是菱形 11. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论： ①，②；③随的增大而增大；④当时，；⑤；其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12. 如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点A的坐标为__________． 14. 若点都在反比例函数的图象上，若则的大小关系是 _____________．（请用“”号连接） 15. 如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是_______． 16. 如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 __________． 三、解答题 17. 计算： （1）． （2）化简：． 18. 如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？ 19. 某中学举行“中国梦．校园好声音”歌手大赛，八（1）、八（2）班根据初赛成绩，两个班各选出的5名选手的决赛成绩如图表． 平均数/分 中位数/分 众数/分 八（1） a 85 c 八（2） 85 b 100 （1）写出上表中a、b、c的值； （2）结合两个班成绩的平均数和中位数，分析哪个班的决赛成绩较好？ （3）计算两个班决赛成绩的方差，并判断哪个班代表队选手的成绩较为稳定． 20. 某校八年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． （1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？ （2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ （3）哪种购买方案花费最少？并算出最少花费． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 22. 在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中初2025届第五学期数学入学测试试题 考试时间：120分钟 试卷总分；120分 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 在中，分式有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：是整式， 是分式． 故选C． 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定n即可解答． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的四则运算， 按照分式四则运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式、分式有意义条件，求公共解是解题关键． 根据二次根式、分式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 【详解】因为， 所以． 又因为， 所以， 所以自变量x的取值范围为． 故选：D． 5. 选项中的曲线不能表示y是x的函数的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，熟知定义是解题的关键． 根据函数的定义：在变化过程中有两个变量x，y，对于x在某一范围内的值，都有唯一确定的y与它对应，那么称y是x的函数，逐一判断即可解答． 【详解】解：根据函数的定义，可得B选项的图中，一个x值，有两个y值与之对应，故B不符合函数定义，不能表示y是x的函数． 故选：B 6. 某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（ ） A. 6，5 B. 6，6 C. 和6 D. 和6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据平均数的计算公式先求出的值，再根据中位数与众数的定义求解即可． 【详解】解：∵5，5，6，，6，7，8的平均数是6， ， 解得：， 将这组数据从小到大排列为5，5，5，6，6，7，8， 最中间的数是6， 则这组数据的中位数是6； 5出现了3次，出现的次数最多，则众数是5； 故选：A． 7. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠，根据折叠得，得，设， ，在中，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 8. 函数和在同一坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是数形结合． 依据正比例函数图象和一次函数的图象的特征判断即可． 【详解】解：若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数的图象与y轴交于负半轴，且从左往右上升，故A选项错误，B选项正确； 若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故D选项错误；而C选项不合题意． 故选：B． 9. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况即可求出 取值范围 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 故选：D 10. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A. 如果，，那么四边形是矩形 B. 如果，，那么四边形是矩形 C. 如果，，那么四边形是菱形 D. 如果，，那么四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形的判定，结合已知，根据各选项给出的条件逐一判定，即可得到错误选项． 【详解】解：∵已知， 对A选项，当时，满足，的四边形是等腰梯形，不是矩形，故A判断错误，符合题意； 对B选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴平行四边形是矩形，故B判断正确，不符合题意； 对C选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故C判断正确，不符合题意； 对D选项，∵，∴，又，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故D判断正确，不符合题意； 综上，选项A错误． 11. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论： ①，②；③随的增大而增大；④当时，；⑤；其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程和不等式的关系，由一次函数的图象可得，，，即可判断①②③；由交点的横坐标为可判断④⑤；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，，故①正确； ∵一次函数的图象与轴的交点位于轴的负半轴上， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴随的增大而减小，故③错误； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴当时，， 即，故⑤正确； 由图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方， ∴当时，，故④正确； 综上，正确的个数有个， 故选：． 12. 如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点A的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，熟知y轴上的点的横坐标为零是解题关键． 直接利用y轴上点的坐标特点得出，求出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 14. 若点都在反比例函数的图象上，若则的大小关系是 _____________．（请用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 由，可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，进而得到的大小关系． 【详解】解：， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小， 又， ，且， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及垂线段最短，解题的关键是求出的取值范围； 连接，由矩形的性质可得，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：连接． ， ， ∵四边形为矩形， ， 当时，有最小值， 此时， ， ， ， ∴的长能取到的所有整数值为5或6或7． 故答案为：． 16. 如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段和最小值中典型的“将军饮马型”，矩形的性质，勾股定理等，找到取得最小值的条件，掌握典型问题的解法是解题的关键． 作P关于的对称点，连接，交于E，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于F，于H，利用勾股定理求出和即可． 【详解】解：如图，作P关于的对称点，连接，交于E，连接， ∴， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为， 作于F，于H， ∵， ∴， ∵点O是矩形的对称中心，经过点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1）． （2）化简：． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握对应的运算法则． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？ 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）当时，四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定． （1）由四边形是平行四边形，可得，，则可证得，继而证得； （2）由，可得，，可征得四边形是平行四边形，由，根据菱形的判定即可证的结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，四边形是菱形，理由如下： ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 19. 某中学举行“中国梦．校园好声音”歌手大赛，八（1）、八（2）班根据初赛成绩，两个班各选出的5名选手的决赛成绩如图表． 平均数/分 中位数/分 众数/分 八（1） a 85 c 八（2） 85 b 100 （1）写出上表中a、b、c的值； （2）结合两个班成绩的平均数和中位数，分析哪个班的决赛成绩较好？ （3）计算两个班决赛成绩的方差，并判断哪个班代表队选手的成绩较为稳定． 【答案】（1） （2）八（1）班成绩好些 （3）八（1）班代表队选手的成绩较为稳定 【解析】 【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． （1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可； （2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好； （3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：八（1）班的平均成绩是：（分）， 在八（1）班成绩中85出现了2次，出现的次数最多；（分）， 把八（2）班的成绩从小到大排列为：70，75，80，100，100，最中间的数是80，则中位数（分）； 故：； 【小问2详解】 解：八（1）班成绩好些， 因为两个队的平均数都相同，八（1）班的中位数高， 所以在平均数相同的情况下，中位数高的八（1）班成绩好些； 【小问3详解】 解：八（1）班的方差是：， 八（2）班的方差是：， ∵， ∴八（1）班代表队选手的成绩较为稳定． 20. 某校八年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． （1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？ （2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ （3）哪种购买方案花费最少？并算出最少花费． 【答案】（1）打折前每本笔记本的售价是4元 （2）一共有三种购买方案：方案一：购买笔记本68本，笔袋22件，方案二：购买笔记本69本，笔袋21件，方案三：购买笔记本707本，笔袋20件 （3）方案三：购买笔记本707本，笔袋20件花费最少，最少花费360元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设打折前售价为x，则打折后售价为，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可； （2）设购买笔记本m本，则购买笔袋件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可； （3）分别计算出三种方案的费用即可得到答案． 【小问1详解】 解：设打折前每本笔记本的售价是x元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 答：打折前每本笔记本的售价是4元； 【小问2详解】 解：设购买笔记本m本，则购买笔袋件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为68或69或70， ∴一共有三种购买方案：方案一：购买笔记本68本，笔袋22件，方案二：购买笔记本69本，笔袋21件，方案三：购买笔记本707本，笔袋20件． 【小问3详解】 解：方案一的费用元， 方案二的费用元， 方案三的费用元， ∵， ∴方案三：购买笔记本707本，笔袋20件花费最少，最少花费360元． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图像得到一次函数图像在反比例函数图像上方的x取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图像经过A和B， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的解析式为， ∴令，解得：，即一次函数图像与x轴交点为， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：如图：∵，， ∴根据函数图像可得：的x的取值范围为或． 【点睛】本题是主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 22. 在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 解：仍然成立，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，，， ∵是等边三角形 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （2）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （3）根据菱形的性质及直角三角形可知，再根据全等三角形的判定与性质可知，最后利用直角三角形的性质 及勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 当点在的延长线上时，连接交于点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，平分，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $