3.1.2椭圆的简单几何性质教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《椭圆的简单几何性质》第一课时教学设计 1、 教学内容解析 本节内容是普通高中教科书人教A版数学选择性必修第一册，第三章中3.1.2《椭圆的简单几何性质》的第1课时，主要内容是椭圆的几何性质，其中对称性、顶点体现了椭圆的形状特征，范围反应了椭圆的大小，离心率的大小直接体现出椭圆扁平程度.从单元内容看，椭圆是第三章“圆锥曲线的方程”的起始内容，从学习内容、过程和方法均体现了它的示范作用，通过椭圆的简单几何性质这一节的学习探究，引领学生注重数学思想和基本方法的掌握，为后面学习双曲线、抛物线打下坚实的基础. 二、教学目标 1. 理解椭圆的对称性、范围、顶点和离心率等几何性质。 2. 掌握运用椭圆的几何性质解决相关方程和离心率计算问题。 3. 培养学生的观察能力、小组合作能力和问题解决能力。 三、教学重难点 1. 重点：对椭圆的几何性质的理解及其应用。 2. 难点：离心率的理解与计算。 四、教学方法： 讲授法、小组讨论法、问题探究法。 五、教学过程设计 （一）. 新课导入设计 1. 通过回顾椭圆的定义和椭圆的标准方程： + =1 (a>b>0) 引入新课。 设计意图：有利于学生快速进入今天的主题。 2. 思考与观察椭圆的图像，引导学生观察并思考椭圆具有哪些性质? 让学生讨论，尝试描述椭圆的性质。根据椭圆的图像，引导学生观察对称性、范围、顶点等特征。 设计意图：此设计可以培养学生的观察能力和合作精神。 3. 探究椭圆的性质时，先设计了1个观察问题。 观察：椭圆 + =1 (a>b>0) 的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 设计意图：让学生会从图像大致了解椭圆的性质。 ①椭圆的范围 探究一：观察图3.1-7，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程(代数方法)确定出它的具体边界吗? 设计意图：通过问题探究，学生容易发现椭圆位于直线x= a和y=b所围成的矩形区域内。 思考：在椭圆的标准方程： + =1 (a>b>0) 中，把x换成-x，y换成-y，方程有什么变化？ ②椭圆的对称性 探究二：观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。如何利用方程说明椭圆的对称性? 设计意图：让学生从几何到代数探究椭圆性质。 椭圆关于x轴、y轴和原点对称。椭圆即是轴对称图形又是中心对称图形。坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 ③椭圆的顶点 探究三：你认为椭圆 + =1 (a>b>0) 上哪些点比较特殊?为什么?如何得到这些点的坐标? 设计意图：让学生通过动手、动脑去发现椭圆的特殊点。 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。椭圆的顶点为(±a,0)和(0,±b)。长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。以上问题设计，有利于带动学生的思维，更容易理解椭圆的对称性。 ④椭圆的离心率 思考：下面椭圆的形状哪一个更圆，哪一个更扁？ +=1 +=1 设计意图：设计这两个特殊椭圆激发学生进一步探究椭圆的性质。 探究四：观察教材111页图 3.1-9，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同。扁乎程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗? 设计意图：让学生通过充分的讨论和交流找到影响椭圆扁平程度关键量是什么。 椭圆的焦距与长轴长的比：e=，其中c为焦点到中心的距离，a为长半轴的长度。 思考：（1）离心率的范围是什么？ （2）离心率变化对椭圆形状有什么影响？ （1）∵a > c > 0，∴ 0<e<1 （2）离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近圆形。为了让学生更好理解离心率变化对椭圆形状有什么影响，设计两个特殊的椭圆，让学生求出离心率并画出椭圆的图像。 4. 小组讨论设计 让学生以小组为单位讨论 + =1（a>b>0）的性质，完成黑板上的表格。此设计学生组织小组讨论，鼓励学生交流观点，加深对椭圆 + =1（a>b>0）的性质的理解，培养学生共同探究精神。 5.  例题讲解设计 例1：求椭圆16+25=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。 设计意图：通过例1，让学生在研究椭圆的几何性质时，首先要把椭圆化成标准方程，进一步巩固椭圆的几何性质。 例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1） 经过点P(-3，0)，Q(0，-2)； （2） 经过点A (- , ),B( ,) （3）长轴长等于20，离心率等于 . 设计意图：设计例2这三道题，让学生根据题目条件求出椭圆的标准方程。通过例题训练，让学生会运用椭圆的性质解决与椭圆有关的方程和离心率有关的计算问题。归纳总结若椭圆经过两个坐标轴上的点，用几何性质求椭圆方程运算量很小；若椭圆经过两个点不在坐标轴上，常用待定系数法求椭圆方程；若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴和y轴上讨论求椭圆方程。 6.  课堂练习设计 练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1） 焦点在坐标轴上，短轴长为4，离心率为； （2） 与椭圆 + =1 有相同的焦点，且过点 (-,4)． 设计意图：这两道练习题让学生进一步巩固椭圆的几何性质, 巡视学生的练习情况，并及时给予指导。 ， 7. 课堂小结设计 设计意图：引导学生回顾本节课的主要内容，包括椭圆的性质和应用，让学生分享本节课的收获和体会，增强学生学习数学的兴趣和自信。 8. 作业布置设计 设计意图：教材115页2、3、4题，让学生进一步巩固和拓展椭圆的几何性质。 六、教学反思设计 在教学过程中，要重视引导学生自主观察和思考，培养学生的探究精神。同时，通过小组讨论和例题讲解以及练习题，帮助学生加深对椭圆几何性质的理解和应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$