第7章 教考衔接1 利用同角三角函数关系式求值（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 教考衔接1　利用同角三角函数关系式求值 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 一、真题展示 (2023·全国乙卷)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan θ＝eq \f(1,2)，则sin θ－cos θ＝________. 二、真题溯源 [人教B版必修三P26练习BT2] 已知tan α＝－4，求下列各式的值． (1)sin2α； (2)cos2α－sin2α； (3)3sin αcos α； (4)eq \f(4sin α－2cos α,5cos α＋3sin α). 三、类法探究 同角三角函数的基本关系有两种：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：eq \f(sin α,cos α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))，这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．根据这些关系式，利用方程的思想方法可求相关的三角函数值． 类型一　sin θ±cos θ与sin θ·cos θ之间的关系 　(1)已知sin α＋cos α＝eq \f(7,13)，α∈(0，π)，则sin α－cos α＝________；tan α＝________. [解析]　∵sin α＋cos α＝eq \f(7,13)，∴(sin α＋cos α)2＝eq \f(49,169)， 即2sin αcos α＝－eq \f(120,169)<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))， 故sin α－cos α＝eq \r(sin α＋cos α2－4sin αcos α)＝eq \f(17,13)， 可得sin α＝eq \f(12,13)，cos α＝－eq \f(5,13)，tan α＝－eq \f(12,5). [答案]　eq \f(17,13)　－eq \f(12,5) (2)(多选题)如果sin x＋cos x＝eq \f(1,5)，且0<x<π，则下列结论正确的是(　　) A．x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))　　　 B．sin x－cos x＝－eq \f(7,5) C．cos x＝－eq \f(3,5) D．tan x＝eq \f(4,3) [解析]　将sin x＋cos x＝eq \f(1,5)两边平方，得1＋2sin x·cos x＝eq \f(1,25)， ∴2sin x·cos x＝－eq \f(24,25)<0， 又x∈(0，π)，∴sin x>0，cos x<0， ∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，A正确； sin x－cos x＝eq \r(sin x＋cos x2－4sin x·cos x)＝eq \f(7,5)，B错误； 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x＋cos x＝\f(1,5)，,sin x－cos x＝\f(7,5)，))得sin x＝eq \f(4,5)，cos x＝－eq \f(3,5)， ∴tan x＝－eq \f(4,3)，故C正确、D错误． [答案]　AC (3)已知sin α＋cos α＝－eq \f(1,3)，0<α<π. ①求sin αcos α的值； ②求sin α－cos α的值． [解析]　①由sin α＋cos α＝－eq \f(1,3)，得(sin α＋cos α)2＝eq \f(1,9)， 即sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝eq \f(1,9)，所以sin αcos α＝－eq \f(4,9). ②因为0<α<π，所以sin α>0，cos α<0， 可得sin α－cos α>0. 所以sin α－cos α＝eq \r(sin α－cos α2)＝eq \r(1－2sin αcos α)＝eq \f(\r(17),3). 利用同角三角函数的基本关系式中的平方关系sin2α＋cos2α＝1，可以实现同角的不同三角函数值之间的相互转换；形如sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，利用平方关系可求其他两个，涉及的三角恒等式有： ①(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； ②(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； ③(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； ④(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 类型二　三角函数求值 　(1)已知sin α－cos α＝－eq \f(\r(5),2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)的值为(　　) A．－4　　　　　　　　 B．4 C．－8 D．8 [解析]　将sin α－cos α＝－eq \f(\r(5),2)两边平方，得1－2sin α·cos α＝eq \f(5,4)， ∴2sin α·cos α＝－eq \f(1,4)， 则tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cos α)＋eq \f(cos α,sin α)＝eq \f(1,sin α·cos α)＝－8. [答案]　C (2)已知sin α＋eq \r(2)cos α＝eq \r(3)，则tan α＝(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．2 C．－eq \f(\r(2),2) D．－eq \r(2) [解析]　解法一　由sin α＋eq \r(2)cos α＝eq \r(3)，令sin α－eq \r(2)cos α＝A． 则sin α＝eq \f(\r(3)＋A,2)，cos α＝eq \f(\r(3)－A,2\r(2))，由sin2α＋cos2α＝1，得A＝－eq \f(\r(3),3)， ∴sin α＝eq \f(\r(3),3)，cos α＝eq \f(\r(6),3)，∴tan α＝eq \f(\r(2),2). 解法二　由sin α＋eq \r(2)cos α＝eq \r(3)，① 令eq \r(2)sin α－cos α＝A，② 由①2＋②2，得(sin α＋eq \r(2)cos α)2＋(eq \r(2)sin α－cos α)2＝3＋A2， ∴A＝0，即eq \r(2)sin α－cos α＝0， ∴tan α＝eq \f(\r(2),2). 解法三　由sin α＝eq \r(3)－eq \r(2)cos α代入sin2α＋cos2α＝1， 得3cos2α－2eq \r(6)cos α＋2＝0，∴cos α＝eq \f(\r(6),3)， ∴sin α＝eq \f(\r(3),3)，∴tan α＝eq \f(\r(2),2). [答案]　A (3)若0<α<eq \f(π,2)，则eq \r(1－2sin\f(α,2)cos\f(α,2))＋eq \r(1＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2))的化简结果为________． [解析]　eq \r(1－2sin\f(α,2)·cos\f(α,2))＝eq \r(sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2)－2sin\f(α,2)·cos\f(α,2)) ＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2)，eq \r(1＋2sin\f(α,2)·cos\f(α,2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2)， ∵0<α<eq \f(π,2)，∴0<eq \f(α,2)<eq \f(π,4)，0<sineq \f(α,2)<coseq \f(α,2)， ∴原式＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))＝coseq \f(α,2)－sineq \f(α,2)＋sineq \f(α,2)＋coseq \f(α,2)＝2coseq \f(α,2). [答案]　2coseq \f(α,2) (4)若2cos α－3sin α＝eq \r(13)，求tan α. [解析]　解法一(平方关系)　由2cos α－3sin α＝eq \r(13)， 得sin α＝eq \f(2cos α－\r(13),3)， 代入sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝－eq \f(3,\r(13))，cos α＝eq \f(2,\r(13))，∴tan α＝－eq \f(3,2). 解法二(构造对称式)　由2cos α－3sin α＝eq \r(13)， 令2cos α＋3sin α＝A， 则cos α＝eq \f(A＋\r(13),4)，sin α＝eq \f(A－\r(13),6)， 则cos2α＋sin2α＝1＝eq \f(A＋\r(13)2,16)＋eq \f(A－\r(13)2,36)， ∴A＝－eq \f(5,\r(13))，∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(2A－\r(13),3A＋\r(13))＝－eq \f(3,2). 解法三(构造对偶式)　由2cos α－3sin α＝eq \r(13)，① 令3cos α＋2sin α＝A，② 由①2＋②2，得(2cos α－3sin α)2＋(3cos α＋2sin α)2＝13＋A2， ∴A＝0，即3cos α＋2sin α＝0，∴tan α＝－eq \f(3,2). $$