7.3.5 已知三角函数值求角（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 §7.3　三角函数的性质与图象 7.3.5　已知三角函数值求角 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 学业标准 学科素养 1．能根据[0，2π]范围确定已知三角函数值的角．(重点) 2．已知一个三角函数值，能合理地表示出与它对应的角．(难点) 通过已知三角函数值或范围求角的值或范围，培养直观想象、数学运算核心素养． 导学　已知三角函数值求角 　在△ABC中，若sin A＝ eq \f(1,2) ，则A＝________． 若sin A＞ eq \f(1,2) ，则A的取值范围是________． [提示]　∵A∈(0，π). ∴利用y＝sin x的图象 当sin A＝ eq \f(1,2) 可得：A＝ eq \f(π,6) 或 eq \f(5π,6) . 当sin A＞ eq \f(1,2) 可得： eq \f(π,6) ＜A＜ eq \f(5π,6) . ◎结论形成 已知三角函数值求角的基本方法：三角函数图象法、三角函数线法． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α＝ eq \f(1,2) ，则α＝ eq \f(π,6) ＋2kπ.(　　) (2)若cos α＝cos β，则α＝β.(　　) (3)若tan α＝1，则tan α＝ eq \f(π,4) ＋kπ.(　　) (4)若sin α＝sin β，则α＋β＝π或α＝β.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设x是锐角三角形的内角，且sin x＝ eq \f(\r(3),2) ，则x等于(　　) A． eq \f(π,6) 　　　　　　　 B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,6) 或 eq \f(5π,6) D． eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3) 解析　∵x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，由sin x＝ eq \f(\r(3),2) ，∴x＝ eq \f(π,3) ，故选B． 答案　B 3．若cos x＝－ eq \f(1,2) ，x∈(0，2π)，则x的值为________． 解析　∵x∈(0，2π)， ∴由y＝cos x的图象可得x＝ eq \f(2π,3) 或 eq \f(4π,3) . 答案　 eq \f(2π,3) 或 eq \f(4π,3) 4．若sin x＝cos 40°，则x的值为________． 解析　sin x＝cos 40°＝sin 50°＝sin 130° 由正弦线可得x＝k·360°＋50°或x＝k·360°＋130°，k∈Z. 答案　x＝k·360°＋50°或x＝k·360°＋130°，k∈Z 题型一　已知正弦值(范围)求角的值(范围) 一题多变 　已知sin x＝－ eq \f(1,2) . (1)当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 时，求x的集合； (2)当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) 时，求x的集合； (3)当x∈[0，2π]时，求x的集合． [解析]　(1)∵y＝sin x，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 是单调递增函数， 且知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) ＝－ eq \f(1,2) . ∴满足条件的角有且只有x＝－ eq \f(π,6) . 故x的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) . (2)y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) 上递减且sin eq \f(7π,6) ＝－ eq \f(1,2) ∴x＝ eq \f(7π,6) ，故x的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6))) . (3)解法一　∵函数y＝sin x，x∈[0，2π]，且sin x＝－ eq \f(1,2) ＜0， ∴适合条件的x应在第三或第四象限， 可知符合条件的角有两个，第三象限角为 eq \f(7π,6) ， 第四象限角为 eq \f(11π,6) ，∴x的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(11π,6))) . 解法二(借助正弦线)　如图所示． 又sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6))) ＝－ eq \f(1,2) ∴x∈[0，2π]时，x＝ eq \f(7π,6) 或 eq \f(11π,6) . 解法三(借助正弦曲线)　如图所示． 当x∈[0，2π]时，x＝ eq \f(7π,6) 或 eq \f(11π,6) . [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，若x∈R，则x的值为________． 解析　由本例(3)知当x∈[0，2π]时，x＝ eq \f(7π,6) 或x＝ eq \f(11π,6) ，当x∈R时，x＝ eq \f(7π,6) ＋2kπ或x＝ eq \f(11π,6) ＋2kπ，k∈Z. 答案　x＝ eq \f(7π,6) ＋2kπ或x＝ eq \f(11π,6) ＋2kπ，(k∈Z) 2．(变条件、变结论)本例条件变为“若sin x≥－ eq \f(1,2) ”，则x的取值范围是________． 解析　借助正弦曲线，如图所示． 当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2))) 时，－ eq \f(π,6) ≤x≤ eq \f(7π,6) . 当x∈R时，满足条件的x的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ，\f(7π,6)＋2kπ)) ，k∈Z. 答案　 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ，\f(7π,6)＋2kπ)) ，k∈Z [素养聚焦]　已知正弦值求角的过程中，强化了数形结合的思想，体现的核心素养是直观想象． 已知正弦值(范围)求角的值(范围)的方法 (1)借助正弦线，先求出[0，2π]内的角或范围，再利用终边相同角的表示方法求全角． (2)借助正弦曲线，可先选 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2))) ，也可选[0，2π]求出满足题意的角或范围，在此基础上求全角． [提醒]　角的范围的表示形式不唯一． [触类旁通] 1．若α是锐角，sin (α＋15°)＝ eq \f(\r(2),2) ，那么锐角α等于(　　) A．15°　　　　　　　 B．30° C．45° D．60° 解析　因为sin (α＋15°)＝ eq \f(\r(2),2) ，α是锐角， 所以α＋15°∈(15°，105°)，α＋15°＝45°，所以α＝30°. 答案　B 题型二　已知余弦值(范围)求角的值(范围) 　求函数y＝ eq \r(1－2cos x) ＋lg (2sin x－1)的定义域． [解析]　要使函数有意义，只要 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2cos x≥0，,2sin x－1＞0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos x≤\f(1,2)，,sin x＞\f(1,2)．)) 如图所示． cos x≤ eq \f(1,2) 的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＋2kπ≤x≤\f(5,3)π＋2kπ，k∈Z)) ， sin x＞ eq \f(1,2) 的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＋2kπ＜x＜\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)) ， 它们的交集 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＋2kπ≤x＜\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)) ，即为函数的定义域． (1)已知余弦值求角的值的方法 借助余弦线或余弦函数图象，一般先求[0，2π]上的角，再求符合题意的所有角． (2)若cos x＝cos α(α已知)，则x＝2kπ＋α或x＝2kπ＋2π－α，k∈Z，也可写成x＝2kπ±α，k∈Z. [触类旁通] 2．已知x＝ eq \f(π,3) 是方程2cos (x＋α)＝－1的解，其中α∈(0，2π)，则α＝________． 解析　由题意可得2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α)) ＝－1，则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α)) ＝－ eq \f(1,2) ， ∵0<α<2π，∴ eq \f(π,3) < eq \f(π,3) ＋α< eq \f(7π,3) ， 所以 eq \f(π,3) ＋α＝ eq \f(2π,3) 或 eq \f(π,3) ＋α＝ eq \f(4π,3) ，解得α＝ eq \f(π,3) 或α＝π. 答案　 eq \f(π,3) 或π 题型三　已知正切值(范围)求角的值(范围) 　已知tan x＝－ eq \r(3) . (1)当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 时，求角x的值； (2)当x为三角形的一个内角时，求角x的值； (3)当x∈R时，求角x的值． [解析]　画出y＝tan x，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 的图象， (1)当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 时，x＝－ eq \f(π,3) . (2)∵x∈(0，π)且tan x＜0 ∴x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) .∴x＝π－ eq \f(π,3) ＝ eq \f(2π,3) . (3)当x∈R，由正切函数的周期性得x＝kπ－ eq \f(π,3) ，(k∈Z) 已知正切值(范围)求角的值(范围)与题型一、题型二的方法基本相同，主要借助三角函数线或三角函数图象求解，不同的是周期不一样，写全解时要注意． [触类旁通] 3．已知角α的终边上一点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos \f(π,3)，sin \f(π,3))) ，则角α的最小正值为(　　) A． eq \f(π,3) B． eq \f(2π,3) C． eq \f(4π,3) D． eq \f(5π,3) 解析　由题可知该点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos \f(π,3)，sin \f(π,3))) ，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) ，并且该点在第二象限，所以可知tan α＝ eq \f(\f(\r(3),2),－\f(1,2)) ＝－ eq \r(3) ，则角α的最小正值为 eq \f(2π,3) . 答案　B [缜密思维提能区]　易错辨析 已知三角函数值求值 [典例]　(1)已知cos x＝cos eq \f(π,7) ，求x. (2)已知tan x＝tan eq \f(π,7) ，求x. [错解]　(1)∵cos x＝cos eq \f(π,7) ，∴x＝ eq \f(π,7) ＋2kπ，k∈Z. (2)∵tan x＝tan eq \f(π,7) ，∴x＝ eq \f(π,7) ＋2kπ，k∈Z. [错因分析]　(1)对余弦函数的单调性理解不深刻；(2)对正切函数的周期记忆错误为2π. [正解]　(1)在同一个周期[－π，π]内， 满足cos x＝cos eq \f(π,7) 的角有两个： eq \f(π,7) 和－ eq \f(π,7) . 又y＝cos x的周期为2π， 所以满足cos x＝cos eq \f(π,7) 的x为2kπ± eq \f(π,7) (k∈Z). (2)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上满足tan x＝tan eq \f(π,7) 的x有且只有一个： eq \f(π,7) . 又y＝tan x的周期为π，则满足tan x＝tan eq \f(π,7) 的x为kπ＋ eq \f(π,7) (k∈Z). [纠错心得] 已知三角函数值求角，要注意其周期性，避免漏解或增解． 知识落实 技法强化 (1)利用单位圆中的三角函数线，由三角函数值求角、解不等式． (2)arcsin x，arccos x，arctan x的含义． (1)已知三角函数值求角应用了数形结合的思想方法． (2)求arcsin x，arccos x，arctan x的取值范围容易出错． $$