7.3.4 正切函数的性质与图象（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 §7.3　三角函数的性质与图象 7.3.4　正切函数的性质与图象 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 R T＝π 奇函数 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 学业标准 学科素养 1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(重点) 2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(重点、难点) 1．通过正切函数性质的学习，培养数学运算、数学抽象等核心素养． 2．根据正切函数图象与性质的关系，提升直观想象等核心素养． 导学1　正切函数的性质 　正切函数y＝tan x的定义域是什么？ [提示]　 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) . 　从正切线上观察，正切函数值在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 上是增大的吗？ [提示]　是的． 　诱导公式tan (π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan (kπ＋x)(k∈Z)与tan x的关系怎样？ [提示]　周期性．tan (kπ＋x)＝tan x(k∈Z). 　诱导公式tan (－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？ [提示]　奇偶性． ◎结论形成 正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 __________________________ 值域 ______ 最小正周期 ________ 奇偶性 __________ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) 单调性 在每个开区间______________________上都是增函数 零点 kπ(k∈Z) 对称中心 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为 ___________________ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2))) (k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0)) (k∈Z) 导学2　正切函数的图象 　我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan x，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 的简图吗？怎样画？ [提示]　能，三个关键点： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1)) ，(0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－1)) ，两条平行线：x＝ eq \f(π,2) ，x＝－ eq \f(π,2) . ◎结论形成 1．正切函数的图象 2．正切函数的图象特征 正切曲线是被与y轴平行的一系列直线__________________所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． x＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝tan x在其定义域上是增函数．(　　) (2)函数y＝tan 2x的周期为π.(　　) (3)正切函数y＝tan x无单调递减区间．(　　) (4)函数y＝2tan x，x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 的值域是[0，＋∞).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3x＋\f(π,4))) 的最小正周期是(　　) A． eq \f(π,6) 　　　 B． eq \f(π,3) 　　　 C． eq \f(π,2) 　　　 D．π 解析　T＝ eq \f(π,|－3|) ＝ eq \f(π,3) . 答案　B 3．函数y＝tan x＋ eq \f(1,tan x) 是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 解析　函数的定义域是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,2)kπ，k∈Z)))) ， 且tan (－x)＋ eq \f(1,tan （－x）) ＝－tan x－ eq \f(1,tan x) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan x＋\f(1,tan x))) ， 所以函数y＝tan x＋ eq \f(1,tan x) 是奇函数． 答案　A 4．函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) 的单调增区间是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2))) ，k∈Z B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4))) ，k∈Z D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4))) ，k∈Z 解析　由－ eq \f(π,2) ＋kπ＜x＋ eq \f(π,4) ＜ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z， 得－ eq \f(3π,4) ＋kπ＜x＜ eq \f(π,4) ＋kπ，k∈Z， 故f(x)的单调增区间是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ)) ，k∈Z. 答案　C 题型一　正切函数的定义域、值域问题 　(1)函数y＝ eq \f(1,1＋tan x) 的定义域为________． (2)若x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(7π,24))) ，求函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) 的值域． [解析]　(1)要使函数y＝ eq \f(1,1＋tan x) 有意义， 必须且只需 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋tan x≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)（k∈Z）.)) 所以函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) . (2)∵－ eq \f(π,12) ＜x＜ eq \f(7π,24) ，∴－ eq \f(π,2) ＜2x－ eq \f(π,3) ＜ eq \f(π,4) ， 即tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) ＜1， 故函数的值域为(－∞，1). [答案]　(1) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) (2)(－∞，1) [素养聚焦]　在求解正切函数的定义域和值域的过程中，体现的数学核心素养为数学抽象、数学运算． (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z. (2)求值域要用换元的思想，把tan x看作可取任意实数的自变量，一是要注意x的范围，再确定tan x的范围． [触类旁通] 1．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) 的定义域为(　　) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠\f(3π,8)＋\f(kπ,2)，k∈Z)))) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))) C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠\f(3π,8)＋kπ，k∈Z)))) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠\f(3π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z)))) 解析　令2x－ eq \f(π,4) ≠ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z， 解得x≠ eq \f(3π,8) ＋ eq \f(1,2) kπ，k∈Z，故选A． 答案　A 题型二　正切函数单调性的应用 　(1)已知函数y＝－2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,3))) ，则(　　) A．递增区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z B．递增区间为(6k－1，6k＋5)，k∈Z C．递减区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z D．递减区间为(6k－1，6k＋5)，k∈Z [解析]　由－ eq \f(π,2) ＋kπ< eq \f(π,6) x＋ eq \f(π,3) < eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z， 解得6k－5<x<6k＋1，k∈Z. 因此，函数y＝－2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,3))) 的单调递减区间为(6k－5，6k＋1)， k∈Z. [答案]　C (2)已知实数a＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,3))) ，b＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3))) ，c＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan \f(π,3))) ，试比较a，b，c的大小． [解析]　实数a＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,3))) ＝tan eq \f(\r(3),2) >0， b＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3))) ＝tan eq \f(1,2) >0，c＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan \f(π,3))) ＝tan eq \r(3) <0， 而函数y＝tan x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 上单调递增，因为 eq \f(π,2) > eq \f(\r(3),2) > eq \f(1,2) >0， 所以tan eq \f(\r(3),2) >tan eq \f(1,2) >0， 即0<b<a，所以a>b>c. 1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－ eq \f(π,2) ＜ωx＋φ＜kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，求得x的范围即可． (2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．比较正切值的大小 第一步：运用三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上； 第二步：运用正切函数的单调性比较大小关系． [触类旁通] 2．不等式tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) ＜1的解集为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)＋kπ，－\f(π,12)＋kπ)) (k∈Z) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)＋2kπ，－\f(π,12)＋2kπ)) (k∈Z) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，－\f(π,4)＋kπ)) (k∈Z) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，－\f(π,4)＋2kπ)) (k∈Z) 解析　依题意，得－ eq \f(π,2) ＋kπ＜x＋ eq \f(π,3) ＜ eq \f(π,4) ＋kπ(k∈Z)， 解得－ eq \f(5π,6) ＋kπ＜x＜－ eq \f(π,12) ＋kπ，k∈Z， 所以不等式tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) ＜1的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)＋kπ，－\f(π,12)＋kπ)) (k∈Z). 答案　A 题型三　正切函数的综合应用 一题多变 　设函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))) . (1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图． [解析]　(1)∵ω＝ eq \f(1,2) ， ∴最小正周期T＝ eq \f(π,ω) ＝ eq \f(π,\f(1,2)) ＝2π. 令 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ＝ eq \f(kπ,2) (k∈Z)，得x＝kπ＋ eq \f(2π,3) (k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(2π,3)，0)) (k∈Z)， (2)令 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ＝0，则x＝ eq \f(2π,3) ； 令 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ＝ eq \f(π,4) ，则x＝ eq \f(7π,6) ； 令 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ＝－ eq \f(π,4) ，则x＝ eq \f(π,6) ； 令 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ＝ eq \f(π,2) ，则x＝ eq \f(5π,3) ； 令 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ＝－ eq \f(π,2) ，则x＝－ eq \f(π,3) . ∴函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))) 的图象与x轴的一个交点坐标是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0)) ，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－ eq \f(π,3) ，x＝ eq \f(5π,3) ，从而得到函数y＝f(x)在一个周期 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,3))) 内的简图(如图所示). [母题变式] (变条件、变结论)把例3中的函数换为“y＝|tan x|”，并根据其图象判断其单调性、奇偶性、周期性． 解析　由y＝|tan x|得， y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tan x，kπ≤x＜kπ＋\f(π,2)（k∈Z），,－tan x，－\f(π,2)＋kπ＜x＜kπ（k∈Z），)) 其图象如图所示： 由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数． 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 函数y＝|tan x|的单调递增区间 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2))) (k∈Z)， 单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ)) (k∈Z). (1)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可． (2)作出函数y＝|f(x)|的图象的一般方法 ①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分； ②将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折． [触类旁通] 3．(多选题)已知函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) ，则下列叙述正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0)) 对称 B．函数f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,2) 对称 D．函数y＝|f(x)|是偶函数 解析　f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))) ＝tan 0＝0，A正确；当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 时，x＋ eq \f(π,4) ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，此时f(x)单调递增，B正确； 函数y＝tan x的图象不是轴对称图形，函数f(x)的图象是由y＝tan x的图象向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度得到的，所以其图象也不是轴对称图形，C错误； 因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))))) ＝0，但 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))))) 不存在，D错误，故选AB． 答案　AB [缜密思维提能区]　易错辨析 三角函数图象的应用 [典例]　当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2))) 时，方程tan x－sin x＝0实根的个数为________． [错解]　同一平面直角坐标系中作出y＝tan x与y＝sin x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2))) 内的图象如图所示，两图象有5个交点，所以方程tan x－sin x＝0有5个根． [错因分析]　没有比较x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 时，y＝tan x与y＝sin x的大小． [正解]　将方程变形为tan x＝sin x，作y＝tan x，y＝sin x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2))) 上的图象，则两图象交点的个数就是原方程根的个数．在同一坐标系内画出y＝tan x与y＝sin x的图象，根据图象判断交点个数．在同一平面直角坐标系中，首先作出y＝sin x与y＝tan x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 内的图象， 需明确x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，有sin x＜x＜tan x(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明)，然后利用对称性作出x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2))) 时的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点．所以方程有3个根． [答案]　3 [纠错心得] 数形结合法求解问题的关键是准确地画出图象． 知识落实 技法强化 (1)正切函数的定义． (2)正切函数的定义域、周期性与奇偶性． (3)正切函数的单调性与值域． (4)正切函数的图象． (1)本节课应用了三点两线法、整体代换法、换元法的思想方法． (2)注意正切函数的最小正周期T＝ eq \f(π,|ω|) ，在定义域内不单调，对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0)) (k∈Z). $$