7.3.1 正弦函数的性质与图象（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 §7.3　三角函数的性质与图象 7.3.1　正弦函数的性质与图象 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 非零常数T 非零常数T 最小的正数 栏目导航 第七章　三角函数 1 R [－1，1] 栏目导航 第七章　三角函数 1 奇 原点 2π kπ(k∈Z) 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 (kπ，0)，k∈Z 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 学业标准 学科素养 1．了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．(难点) 2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调区间和最值，并能利用正弦函数的图象和性质解决相关问题．(重点、难点) 1．通过正弦曲线的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过正弦函数性质与图象的应用，提升直观想象等核心素养． 导学1　正弦函数的性质 　前面我们学过正弦线，你能利用正弦线(如图)探究正弦函数y＝sin x性质吗？ (1)研究y＝sin x的值域？ [提示]　由正弦线看出，| eq \o(MP,\s\up16(→)) |≤1，故y＝sin x∈[－1，1]. (2)研究函数y＝sin x的奇偶性？ [提示]　因为函数的定义域为R且sin (－x)＝－sin x，所以y＝sin x是奇函数． (3)研究函数的周期性？ [提示]　∵sin (2kπ＋x)＝sin x(k∈Z) ∴2kπ是y＝sin x的周期． (4)研究函数y＝sin x，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2))) 的单调性． [提示]　由正弦线可以看出，y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 递增， 在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) 递减． (5)求函数y＝sin x的零点． [提示]　由sin x＝0得x＝kπ(k∈Z). ◎结论形成 1．周期函数 (1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个______________，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，______________称为这个函数的周期． (2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个______________就称为f(x)的最小正周期． 2．正弦函数的性质 性 质 定义域 ____ 值域 __________ 最值 当__________________时，ymax＝1； 当__________________时，ymin＝－1 x＝ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z x＝ eq \f(3π,2) ＋2kπ，k∈Z 性 质 奇偶性 ______函数，图象关于________对称 周期性 周期函数，最小正周期T＝______ 单调性 在________________________(k∈Z)上是递增的； 在________________________(k∈Z)上是递减的 零点 _______________ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ)) 导学2　正弦函数的图象 　利用描点法结合y＝sin x的性质，能否画出y＝sin x在[－π，π]上的图象？ [提示]　能，利用奇函数，先作x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 的图象，再利用单调性，合理描点，就可以作出[0，π]上的图象，再利用对称性就可以画出x∈[－π，π]上的函数图象． ◎结论形成 正弦曲线及其对称性 图象 对称轴 轴对称图形，对称轴为_____________________ 对称中心 中心对称图形，对称中心为_____________________ x＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x既是轴对称图形又是中心对称图形．(　　) (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) 是y＝sin x图象的最高点．(　　) (3)任何周期函数都有最小正周期．(　　) (4)若存在非零常数x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，那么T是f(x)的周期．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．下列图象是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　) 解析　由y＝sin x在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项． 答案　D 3．正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象的一条对称轴是(　　) A．y轴　　　　　　　 B．x＝ eq \f(π,2) C．直线x＝π D．x轴 答案　B 4．在下列区间中，使y＝sin x为增函数的是(　　) A．[0，π] B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D．[π，2π] 解析　因为函数y＝sin x的单调增区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ)) ，k∈Z，故当k＝0时，即为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ，故选C． 答案　C 题型一　用“五点法”作函数的图象 　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． [解析]　按五个关键点列表 x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示． [素养聚焦]　在“五点法”作图的过程中，体现了直观想象的核心素养． 用“五点法”画函数y＝A sin x＋b(A≠0)在[0，2π]上的简图的步骤： (1)列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin x 0 1 0 －1 0 A sin x＋b b A＋b b －A＋b b (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，b)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，A＋b)) ，(π，b)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－A＋b)) ，(2π，b). (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． [触类旁通] 1．用五点法作出y＝1－2sin x，x∈[－π，π]上的简图． 解析　按五个关键点列表 x －π － eq \f(π,2) 0 eq \f(π,2) π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点连线得： 题型二　利用正弦函数单调性比较大小 　比较下列各组数的大小： (1)sin 194°和cos 160°； (2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,7))) 和sin eq \f(37π,9) . [解析]　(1)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°. 从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2) ∵sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,7))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,7)＋2π)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,7))) ， sin eq \f(37π,9) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(37π,9)－4π)) ＝sin eq \f(π,9) ， 且y＝sin x在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上单调递增，－ eq \f(π,2) ＜－ eq \f(2π,7) ＜ eq \f(π,9) ＜ eq \f(π,2) ， ∴sin eq \f(π,9) ＞sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,7))) ，∴sin eq \f(37π,9) ＞sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,7))) . 利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法 (1)同名函数，若两角在同一单调区间，直接利用单调性得出，若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较． (2)异名函数，先应用诱导公式转化为同名函数，然后再比较． [触类旁通] 2．(2024·湖南岳阳高一月考)已知a＝sin eq \f(π,5) ，b＝sin eq \f(π,7) ，c＝sin eq \f(5π,6) ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　 B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 解析　c＝sin eq \f(5π,6) ＝sin eq \f(π,6) ， ∵0＜ eq \f(π,7) ＜ eq \f(π,6) ＜ eq \f(π,5) ＜ eq \f(π,2) ， 又∵y＝sin x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 单调递增， ∴sin eq \f(π,7) ＜sin eq \f(π,6) ＜sin eq \f(π,5) ，即b＜c＜a. 答案　C 题型三　利用正弦函数性质求函数的值域 一题多变 　求下列函数的值域： (1)y＝5cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)) －1，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π)) ； (2)y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) . [解析]　(1)y＝5cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)) －1＝－5sin x－1. ∵y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) 递增，在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 上递减 ∴sin π≤sin x≤sin eq \f(π,2) ，即0≤sin x≤1 故－6≤－5sin x－1≤－1， 即函数的值域为[－6，－1]. (2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3 ＝2sin2x＋2sinx＋1＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,2) . 令sin x＝t，∵x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) ，∴ eq \f(1,2) ≤t≤1. ∴ymax＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,2) ＝5； ymin＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(5,2) . 故所求函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，5)) . [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例(1)变为：求y＝m sin x－1(m≠0)，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)) 的最大值． 解析　∵x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)) ，∴－ eq \f(1,2) ≤sin x≤0 当m＞0时，sin x＝0时，y最大＝－1. 当m＜0时，sin x＝－ eq \f(1,2) 时，y最大＝－ eq \f(m,2) －1. 2．(变条件、变结论)本例(2)变为：求函数y＝sin2x－sinx＋1，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4))) 的值域． 解析　y＝sin2x－sinx＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin x－\f(1,2))) eq \s\up20(2) ＋ eq \f(3,4) ， 又x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4))) ，∴sin x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) . 设t＝sin x，则有y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2))) eq \s\up20(2) ＋ eq \f(3,4) 在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 上递增， ∴y∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(2),2)，1)) ，即值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(2),2)，1)) . 求含有正弦函数的式子的最值的常见方法 (1)可化为y＝A sin x＋B(A≠0)的形式，利用正弦函数的性质求最值，必要时对A讨论． (2)转化成关于正弦函数的二次函数的形式，即y＝A sin2x＋B sinx＋C，利用配方法求解． [触类旁通] 3．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(π,2))) 的值域是(　　) A．[－1，1] B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1)) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 解析　由0≤x≤ eq \f(π,2) 可得－ eq \f(π,4) ≤2x－ eq \f(π,4) ≤ eq \f(3π,4) ， 所以f(x)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1)) ，故选B． 答案　B [缜密思维提能区]　规范答题 正弦函数的综合应用 [典例]　(13分)作出函数y＝|sin x|的图象： (1)由图象分析该函数的值域，周期性； (2)写出该函数的单调区间； (3)判断该函数的奇偶性，并给予证明． [规范解答]　 ∵y＝|sin x|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin x，2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，,－sin x，2kπ＋π＜x＜2kπ＋2π，k∈Z，)) 图象如图所示． (4分) (1)由图可知，该函数的值域为[0，1] 且y＝|sin x|是周期函数，最小正周期为π.(5分) (2)由图象可知，该函数的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，\f(π,2)＋kπ)) (k∈Z)， 单调递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，kπ)) (k∈Z).(9分) (3)由于该图象关于y轴对称， 故该函数为偶函数． 证明如下：令f(x)＝|sin x|， 则f(－x)＝|sin (－x)| ＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)， 故y＝|sin x|是偶函数．(13分) [纠错心得] (1)如果函数图象方便作出，则可以利用函数的图象分析函数的性质，较直观、形象． (2)在处理与正弦函数相关的图象问题时，应首先分析该图象与正弦曲线的关系(如本例中|sin x|的图象是由y＝sin x的图象上不动下翻上作出的)，然后借助于相关性质，如奇偶性作图，可以达到事半功倍的效果． 知识落实 技法强化 (1)正弦函数的奇偶性、单调性、最值、零点． (2)函数的周期性、正弦函数的周期性． (3)正弦曲线及应用． (1)本节课应用了分类讨论、数形结合的思想方法． (2)求形如y＝A sin x＋b(A<0)的单调性时，易忽略A<0的影响． $$