7.2.4 第2课时 角α与π2±απ2±α的三角函数的关系（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 7.2.4　诱导公式 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 cosα sinα 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 cosα －sinα sinα －cosα －sinα －cosα 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 第2课时　角α与eq \f(π,2)±α，eq \f(3π,2)±α 的三角函数的关系 学业标准 学科素养 1．了解公式⑤和公式⑥的推导方法；能够准确记忆诱导公式⑤～⑧.(难点) 2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(重点) 1．通过诱导公式⑤～⑧的推导，培养逻辑推理等核心素养； 2．利用诱导公式求三角函数值，提升数学运算等核心素养. 导学1　诱导公式⑤ 　如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2. (1)P2点的坐标是什么？ [提示]　P2(y，x)． (2)eq \f(π,2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？ [提示]　对称．sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos α，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin α. ◎结论形成 诱导公式⑤ sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝_________， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝_________. 导学2　诱导公式⑥～⑧ 　能利用诱导公式②⑤探究α与eq \f(π,2)＋α的三角函数的关系吗？ [提示]　如coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sin α. 　利用前面学习的诱导公式，你能发现eq \f(3π,2)＋α与α、eq \f(3π,2)－α与α间的三角函数的关系吗？ [提示]　如sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,2)＋α))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－cos α. coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,2)－α))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin α. ◎结论形成 诱导公式⑥⑦⑧ sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝_________，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝_________. coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝_________，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝_________. coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝_________，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝_________. [点拨] 巧记诱导公式①～⑧ 诱导公式一至六可归纳为k·eq \f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： (1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． (2)“奇”“偶”是对诱导公式k·eq \f(π,2)±α中的整数k来讲的． (3)“象限”指k·eq \f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq \f(π,2)±α所在的象限，再根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． 例如，将coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))写成coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·\f(π,2)＋α))，因为1是奇数，则“cos ”变为正弦函数符号“sin ”，又将α看成第一象限角时，eq \f(π,2)＋α是第二象限角，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))符号为“－”，故有coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin α. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝cos α.(　　) (2)若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.(　　) (3)若α为第二象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝－cos α.(　　) (4)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq \f(1,tan α).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．sin 165°等于(　　) A．－sin 15°　　　　　 B．cos 15° C．sin 75° D．cos 75° 解析　sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°. 答案　D 3．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为(　　) A．eq \f(2\r(2),3) B．eq \f(－2\r(2),3) C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3) 解析　coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3). 答案　C 4．若cos α＝eq \f(1,5)，且α是第四象限角，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,2)))＝________. 解析　由题意得sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(2\r(6),5)， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,2)))＝－sin α＝eq \f(2\r(6),5). 答案　eq \f(2\r(6),5) 题型一　利用诱导公式化简、求值 一题多变 　(1)已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))的值； (2)化简：eq \f(sin2π＋αcosπ－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α)),cosπ－αsin3π－αsin－π＋αsin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))). [解析]　(1)∵α＋eq \f(2π,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋eq \f(π,2)， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋\f(π,2))) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5). (2)原式＝eq \f(sin α·－cos α·sin α·－sin α,－cos α·sin α·－sin α·cos α)＝tan α. [母题变式] (变结论)若例1(1)的条件不变，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值． 解析　sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝－sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ＝－eq \f(3,5). [素养聚焦]　通过运用诱导公式进行化简求值，把数学运算核心素养体现在解题过程中． 解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． [提醒] 常见的互余关系有：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等；常见的互补关系有：eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等． [触类旁通] 1．(1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,5)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝(　　) A．eq \f(1,5)　　　　　　　 B．eq \f(2\r(6),5) C．－eq \f(1,5) D．－eq \f(2\r(6),5) 解析　因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,5)， 所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－\f(π,2))) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,5). 答案　A (2)(2024·浙江义乌高一期中)已知tanα＝3，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))的值为(　　) A．－eq \f(3\r(10),10) B．eq \f(3\r(10),10) C．－eq \f(\r(10),10) D．eq \f(\r(10),10) 解析　因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sin α,cos α)＝3，,sin2α＋cos2α＝1，))所以sin2α＝eq \f(9,10)，cos2α＝eq \f(1,10)， 又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sin α＝eq \f(3\r(10),10)，cos α＝eq \f(\r(10),10)， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sin α＝－eq \f(3\r(10),10)，故选A． 答案　A 题型二　利用诱导公式证明恒等式 　(1)求证：eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ)＝eq \f(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2 π＋θ). (2)求证：eq \f(tan 2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)＝－tan α. [证明]　(1)右边＝eq \f(－2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－sin θ－1,1－2sin2 θ) ＝eq \f(2sin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2 θ)＝eq \f(－2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2 θ) ＝eq \f(－2cos θsin θ－1,cos2θ＋sin2 θ－2sin2 θ)＝eq \f(sin θ＋cos θ2,sin2 θ－cos2θ)＝eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ)＝左边． 所以原等式成立． (2)左边＝eq \f(\f(sin2π－α,cos2π－α)·sin－α·cos－α,cosπ－αsinπ－α) ＝eq \f(－sin α·－sin α·cos α,cos α·－cos α·sin α) ＝－eq \f(sin α,cos α)＝－tan α＝右边． 所以原式成立． 三角恒等式证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边，也可以左右归一，变更论证的方法．常用定义法、弦化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． [触类旁通] 2．求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ)＝eq \f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1). 证明　左边＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))·－sin θ－1,1－2sin2 θ) ＝eq \f(2sin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2 θ) ＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2 θ)＝eq \f(－2cos θsin θ－1,cos2θ＋sin2 θ－2sin2 θ)＝eq \f(sin θ＋cos θ2,sin2 θ－cos20θ) ＝eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ).右边＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝eq \f(\f(sin θ,cos θ)＋1,\f(sin θ,cos θ)－1)＝eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ). ∴左边＝右边，故原等式成立． 题型三　诱导公式的综合应用 一题多变 　已知cos α＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角．求： (1)sin α的值； (2)f(α)＝eq \f(tan π－α·sinπ－α·sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ＋α)的值． [解析]　(1)因为α为第三象限角， 所以sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(3,5). (2)f(α)＝eq \f(－tan α·sin α·cos α,－cos α) ＝tan α·sin α＝eq \f(sin α,cos α)·sin α＝eq \f(sin2α,cos α) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝－eq \f(9,20). [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，求f(α)＝eq \f(sin5π－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))tan －π＋α,－tan －19π－αsin－α)的值． 解析　f(α)＝eq \f(sin α·－sin α·tan α,tan α·－sin α)＝sin α＝－eq \f(3,5). 2．(变条件、变结论)将本例条件“cos α＝－eq \f(4,5)”改为“α的终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(\r(15),4)))”，“第三象限”改为“第二象限”，试求eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sinπ＋α－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋1)的值． 解析　由题意知m2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),4)))2＝1，解得m2＝eq \f(1,16)， 因为α为第二象限角，故m＜0，所以m＝－eq \f(1,4)， 所以sin α＝eq \f(\r(15),4)，cos α＝－eq \f(1,4). 原式＝eq \f(－cos α,－sin α－－cos α＋1)＝eq \f(\f(1,4),－\f(\r(15),4)－\f(1,4)＋1)＝－eq \f(3＋\r(15),6). 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． [触类旁通] 3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝0. (1)若α为第一象限角，求sin α； (2)求eq \f(1＋sin αcos α,sin2α－cos2α)的值． 解析　(1)由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝0， 得－cos α＋2sin α＝0，即2sin α＝cos α， 又sin2α＋cos2α＝1，联立解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝－\f(\r(5),5)，,cos α＝－\f(2\r(5),5)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(\r(5),5)，,cos α＝\f(2\r(5),5)，)) 因为α为第一象限角，所以sin α＝eq \f(\r(5),5). (2)由(1)知2sin α＝cos α，得tan α＝eq \f(1,2). 故eq \f(1＋sin αcos α,sin2α－cos2α)＝eq \f(sin2α＋cos2α＋sin αcos α,sin2α－cos2α)＝eq \f(tan2α＋1＋tan α,tan2α－1)＝－eq \f(7,3). [缜密思维提能区]　规范答题 三角函数的求值问题 [典例]　(13分)已知tan α＝eq \f(\r(5),5)，求eq \f(cos3π－α,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)),cos3π＋αsin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α)))的值． [规范解答]　 eq \f(cos3π－α,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)),cos3π＋αsin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α))) ＝eq \f(cos [2π＋π－α],cos α\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,2)＋α))－1))) ＋eq \f(sin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))),cosπ＋αsin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))－sin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))))(4分) ＝eq \f(－cos α,cos α－cos α－1)＋eq \f(cos α,－cos αcos α＋cos α)(7分) ＝eq \f(1,1＋cos α)＋eq \f(1,1－cos α)＝eq \f(2,sin2α).(10分) ∵tan α＝eq \f(\r(5),5)，∴eq \f(sin2α,1－sin2α)＝eq \f(1,5)， 即sin2α＝eq \f(1,6)，即原式＝12.(13分) [纠错心得] (1)对于八组诱导公式要熟记，特别注意符号和三角函数名称的变化． (2)注意计算中的技巧和常规化简运算的方法． (3)解答题要注意书写规范、完整． 知识落实 技法强化 (1)诱导公式⑤⑥⑦⑧. (2)诱导公式的综合应用. (1)本节课的主要方法有：公式法、角的构造． (2)注意函数符号的变化，角与角之间的联系与构造. $$