7.2.4 第1课时 角α与α＋k•2π(k∈Z),－α,π±α的三角函数的关系（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 7.2.4　诱导公式 第1课时　角α与α＋k•2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数的关系 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 sinα cosα tanα 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 －sinα cosα －tanα 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 sinα －cosα －tanα 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 － sinα －cosα tanα 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 学业标准 学科素养 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程．(重点) 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．(难点) 1．通过诱导公式的推导，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算等核心素养. 导学1　诱导公式① 　若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？ [提示]　sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β. ◎结论形成 诱导公式① sin(α＋k·2π)＝_________，(k∈Z) cos(α＋k·2π)＝_________，(k∈Z) tan (α＋k·2π)＝_________，(k∈Z)． 导学2　诱导公式② 　任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系． [提示]　α与－α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点P1与P2关于x轴对称，设P1的坐标为(x，y)，则P2的坐标为(x，－y)．sin(－α)＝－y＝－sin α，cos(－α)＝x＝cos α，tan (－α)＝－eq \f(y,x)＝－tan α. ◎结论形成 1．角的旋转对称 角α的终边和角β的终边关于角__________的终边所在的直线对称． 2．诱导公式② sin(－α)＝__________， cos(－α)＝__________， tan (－α)＝__________. eq \f(α＋β,2) 导学3　诱导公式③ 　任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系． [提示]　α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P2(－x，y)，P1，P2关于y轴对称，由三角函数定义知，sin(π－α)＝y＝sin α，cos(π－α)＝－x＝－cos α，tan (π－α)＝eq \f(y,－x)＝－tan α. ◎结论形成 诱导公式③ sin(π－α)＝________， cos(π－α)＝___________， tan (π－α)＝___________. 导学4　诱导公式④ 　你能利用诱导公式②③探究角α与π＋α的各三角函数值的关系吗？ [提示]　如cos(π＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α. ◎结论形成 诱导公式④ sin(π＋α)＝__________， cos(π＋α)＝__________， tan (π＋α)＝__________. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式对任意角都成立．(　　) (2)若cos(π－α)＝eq \f(1,3)，则cos α＝－eq \f(1,3).(　　) (3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　) (4)函数y＝sin x是奇函数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知tan α＝4，则tan (π－α)等于(　　) A．π－4　　　　　　　 B．4 C．－4 D．4－π 解析　tan (π－α)＝－tan α＝－4. 答案　C 3．sin 585°的值为(　　) A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2) 解析　sin 585°＝sin(360°＋225°) ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－eq \f(\r(2),2). 答案　A 4．已知sin eq \f(5π,7)＝m，则coseq \f(2π,7)等于(　　) A．m B．－m C．eq \r(1－m2) D．－eq \r(1－m2) 解析　coseq \f(2π,7)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(5π,7)))＝－coseq \f(5π,7) ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(1－sin2 \f(5π,7))))＝eq \r(1－m2). 答案　C 题型一　给角求值问题 　求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan (－945°)． [解析]　(1)解法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°) ＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2). 解法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°) ＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°) ＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2). (2)解法一　coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq \f(31π,6) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝－coseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2). 解法二　coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6))) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2). (3)tan (－945°)＝－tan 945° ＝－tan (225°＋2×360°)＝－tan 225° ＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)负化正：用公式一或三来转化． (2)大化小：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)小化锐：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)锐求值：得到锐角的三角函数后求值． [触类旁通] 1．求下列角的三角函数值： (1)cos(－1 050°)； (2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))； (3)taneq \f(22π,3)； (4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6))). [解析]　(1)cos(－1 050°)＝cos(1 080°－1 050°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2)； (2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32π,4)－\f(31π,4)))＝sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)； (3)taneq \f(22π,3)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22π,3)－\f(21π,3)))＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)； (4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36π,6)－\f(31π,6)))＝sineq \f(5π,6)＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2). 题型二　给值(式)求值问题 一题多变 　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　) A．eq \f(m2－1,2)　　　　　　　 B．eq \f(m2＋1,2) C．eq \f(1－m2,2) D．－eq \f(m2＋1,2) (2)已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值． [解析]　(1)sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m， 所以sin α＋cos α＝m， 而sin(180°＋α)·cos(180°－α) ＝(－sin α)·(－cos α)＝sin αcos α ＝eq \f(sin α＋cos α2－1,2)＝eq \f(m2－1,2). (2)因为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)， sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝1－cos2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(2,3)， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(3),3). [答案]　(1)A　(2)－eq \f(2＋\r(3),3) [母题变式] 1．(变条件、变结论)将例2(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？ 解析　由题意，知题目变为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3)， 求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值． 因为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq \f(\r(3),3)， sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－cos2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(2,3)， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)＋eq \f(2,3)＝－eq \f(\r(3)＋2,3). 2．(变结论)例2(2)题中的条件不变，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－α))－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,6)))的值． 解析　coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－α))－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,6)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))－sin2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))－2π)) ＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(\r(3)＋2,3). 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [触类旁通] 2．已知cos(α－75°)＝－eq \f(1,3)，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 解析　∵cos(α－75°)＝－eq \f(1,3)<0，且α为第四象限角， ∴sin(α－75°)＝－eq \r(1－cos2α－75°)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq \f(2\r(2),3)， ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq \f(2\r(2),3). 题型三　三角函数式的化简问题 　(1)化简：coseq \f(π,7)＋coseq \f(2π,7)＋coseq \f(3π,7)＋coseq \f(4π,7)＋coseq \f(5π,7)＋coseq \f(6π,7)＝________. (2)已知tan (π－α)＝－eq \f(2,3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2))). 求值：eq \f(cos－α＋3sinπ＋α,cosπ－α＋9sin α). [解析]　 (1)原式＝coseq \f(π,7)＋coseq \f(2π,7)＋coseq \f(3π,7)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(3π,7)))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,7)))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,7)))＝0. (2)由题知tan (π－α)＝－eq \f(2,3)，∴tan α＝eq \f(2,3)， ∴eq \f(cos－α＋3sinπ＋α,cosπ－α＋9sin α)＝eq \f(cos α－3sin α,cos α＋9sin α) ＝eq \f(1－3tan α,－1＋9tan α)＝eq \f(1－2,－1＋6)＝－eq \f(1,5). [答案]　(1)0　(2)－eq \f(1,5) 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“弦化切”法，即表达式中的弦函数通常化为切函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq \f(π,4). [触类旁通] 3．(1)若eq \f(sinπ－θ＋cosθ－2π,sin θ＋cosπ＋θ)＝eq \f(1,2)，则tan θ等于(　　) A．eq \f(1,3)　　 B．－eq \f(1,3)　　 C．－3　　 D．3 解析　eq \f(sinπ－θ＋cosθ－2π,sin θ＋cosπ＋θ)＝eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ)＝eq \f(1,2)， 分子分母同除以cos θ，得eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝eq \f(1,2)， 解得tan θ＝－3. 答案　C (2)化简：eq \f(cos5π＋α,sin－3π－α)·tan(π＋α)＝________. 解析　原式＝eq \f(cosπ＋α,－sinπ＋α)·tan α＝eq \f(－cos α,sin α)·eq \f(sin α,cos α)＝－1. 答案　－1 [缜密思维提能区]　规范答题 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 [典例]　(13分)化简sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－1,4)π－α))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋1,4)π＋α))，k∈Z. [规范解答]　原式＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))).(3分) ①当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则 原式＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋1π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋1π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ＋π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ＋π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))(8分) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)).(10分) ②当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则 原式＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)).(13分) [纠错心得] (1)在化简三角函数式时，首先要细心观察所要化简的角之间有何联系，找出它们的内在关系，由此转化为利用公式进行化简． (2)若含有参数时，要注意是否需进行分情况讨论． (3)在解答题中要注意答题的规范性和完整性． 知识落实 技法强化 (1)特殊关系角的终边对称性． (2)诱导公式①②③④. (1)记忆本节课的诱导公式的口诀是：函数名不变，符号看象限． (2)利用诱导公式要特别注意三角函数值符号的确定. $$