7.2.3 同角三角函数的基本关系式（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 §7.2　任意角的三角函数 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 R 栏目导航 第七章　三角函数 1 1±2sin αcos α 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 学业标准 学科素养 1．理解并掌握同角三角函数的基本关系．(难点) 2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．(重点、难点) 1．通过推导同角三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算等核心素养． 导学　同角三角函数的基本关系 　已知角α终边上一点P(－3，－4)． (1)求sin α，cos α，tan α的值． (2)计算sin2α＋cos2α，eq \f(sin α,cos α)的值． (3)是否对任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，eq \f(sin α,cos α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))成立？若成立，试证明． [提示]　(1)sin α＝－eq \f(4,5)，cos α＝－eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(4,3). (2)1；eq \f(4,3) (3)是．利用三角函数定义证明(略)． ◎结论形成 1．同角三角函数的基本关系式成立的条件 当α∈_______时，sin2α＋cos2α＝1成立； 当α≠________________时，eq \f(sin α,cos α)＝tan α成立． kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z 2．关系式的变形 sin2α＋cos2α＝1⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α；,cos2α＝1－sin2α；,sin α＝_______________；,cos α＝±\r(1－sin2α)；,sin α±cos α2＝__________________.)) tan α＝eq \f(sin α,cos α)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝tan αcos α；,cos α＝\f(sin α,tan α).)) ± eq \r(1－cos2α) [点拨]　 对同角三角函数基本关系式的理解 (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin2 3α＋cos2 3α＝1成立，但是sin2α＋cos2 β＝1就不一定成立． (2)sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin2 20°＋cos2 20°＝1.(　　) (2)对任意的角α，都有tan α＝eq \f(sin α,cos α)成立．(　　) (3)sin2α＋cos2 β＝1.(　　) (4)若cos α＝eq \f(1,2)，则sin α＝eq \f(\r(3),2).(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列等式中恒成立的个数为(　　) ①sin2 1＝1－cos2 1； ②sin2α＋cos2α＝sin2 3＋cos2 3； ③sin α＝tan αcos αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)). A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．0 答案　C 3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(3,5)，则tan α＝(　　) A．eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C．eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3) 解析　由sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))得 cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)， 所以tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(3,4)，故选B． 答案　B 4．已知sin α＝eq \f(1,3)，tan α＝－eq \f(\r(2),4)，则cos α值为________． 解析　cos α＝eq \f(sin α,tan α)＝eq \f(1,3)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)))＝－eq \f(2\r(2),3). 答案　－eq \f(2\r(2),3) 题型一　利用同角三角函数的基本关系式求值 多维探究 角度1　已知一个角的三角函数值，求该角的其他三角函数值 　(1)已知α是第二象限角，且cos α＝－eq \f(12,13)，则tan α的值是(　　) A．eq \f(12,13)　 B．－eq \f(12,13)　　 C．eq \f(5,12)　 　 D．－eq \f(5,12) (2)已知tan α＝－eq \f(15,8)，则sin α的值为________． [解析]　(1)∵α为第二象限角， ∴sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13)， ∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(\f(5,13),－\f(12,13))＝－eq \f(5,12). (2)∵tan α＝－eq \f(15,8)，∴eq \f(sin2α,cos2α)＝eq \f(225,64)，即eq \f(sin2α,1－sin2α)＝eq \f(72,242)，解得sin α＝±eq \f(15,17). [答案]　(1)D　(2)±eq \f(15,17) 已知角的一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系． (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果． 角度2　已知tan α，求关于sin α和cos α齐次式的值 　(1)已知tan α＝2，则eq \f(2sin α＋3cos α,sin α－cos α)＝(　　) A．－2　　 B．3　　 C．6　　 D．7 (2)已知eq \f(sin α＋3cos α,2cos α－sin α)＝2，则cos2α＋sin αcos α＝(　　) A．eq \f(6,5) B．eq \f(3,5) C．eq \f(2,5) D．－eq \f(3,5) [解析]　(1)因为tan α＝2， 所以eq \f(2sin α＋3cos α,sin α－cos α)＝eq \f(2tan α＋3,tan α－1)＝eq \f(2×2＋3,2－1)＝7，故选D． (2)∵eq \f(sin α＋3cos α,2cos α－sin α)＝eq \f(tan α＋3,2－tan α)＝2，∴tan α＝eq \f(1,3)， 则cos2α＋sin αcos α＝eq \f(cos2α＋sin αcos α,cos2α＋sin2α)＝eq \f(1＋tan α,1＋tan2α)＝eq \f(6,5). [答案]　(1)D　(2)A [素养聚焦]　在本例中，通过利用三角函数基本关系求三角函数值的计算，培养数学运算核心素养． 已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数相同，设为n次，将分子分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． [触类旁通] 1．(1)(2024·山东济南高一期中)已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cos x＝eq \f(4,5)，则tan x等于(　　) A．eq \f(3,4)　　 B．－eq \f(3,4)　　 C．eq \f(4,3)　　 D．－eq \f(4,3) (2)已知eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝2，求： ①eq \f(3sin α－cos α,2sin α＋3cos α)的值； ②sin2α－2sin αcos α＋1的值． 解析　∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cos x＝eq \f(4,5)， ∴sin x＝－eq \r(1－cos2x )＝－eq \f(3,5). ∴tan x＝eq \f(sin x,cos x)＝－eq \f(3,4). (2)由eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝2，化得，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3. ①原式＝eq \f(3×3cos α－cos α,2×3cos α＋3cos α)＝eq \f(8cos α,9cos α)＝eq \f(8,9). ②原式＝eq \f(sin2α－2sin αcos α,sin2α＋cos2α)＋1 ＝eq \f(tan2α－2tan α,tan2α＋1)＋1＝eq \f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq \f(13,10). 答案　(1)B　(2)略 题型二　三角函数式的化简与证明 　(1)化简：sin2αtan α＋eq \f(cos2α,tan α)＋2sin αcos α. (2)已知tan2α＝2tan2 β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. [解析]　(1)原式 ＝sin2α·eq \f(sin α,cos α)＋cos2α·eq \f(cos α,sin α)＋2sin αcos α ＝eq \f(sin 4α＋cos 4α＋2sin2αcos2α,sin αcos α) ＝eq \f(sin2α＋cos2α2,sin αcos α)＝eq \f(1,sin αcos α). (2)证明　因为tan2α＝2tan2 β＋1， 所以tan2α＋1＝2tan2 β＋2， 所以eq \f(sin2α,cos2α)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2β,cos2 β)＋1))， 通分可得eq \f(1,cos2α)＝eq \f(2,cos2 β)， 即cos2 β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)， 即sin2β＝2sin2α－1. (1)证明恒等式常用的思路是①从一边证到另一边，一般由繁到简；②两边“凑”，即证左边、右边都等于第三者；③比较法(作差、作比法)． (2)常用的技巧有①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算技巧的应用(分解因式)． (3)解决此类问题要有整体代换思想． [触类旁通] 2．求证：eq \f(1－2sin xcos x,cos2x－sin2x)＝eq \f(1－tan x,1＋tan x). 证明　左边＝eq \f(cos2x＋sin2x－2sin xcos x,cos2x－sin2x) ＝eq \f(cos x－sin x2,cos x－sin xcos x＋sin x) ＝eq \f(cos x－sin x,cos x＋sin x)＝eq \f(1－tan x,1＋tan x)＝右边． 题型三　sin α±cos α与sin α·cos α之间关系的应用 　已知sin α＋cos α＝－eq \f(\r(10),5). (1)求sin α·cos α的值； (2)若eq \f(π,2)<α<π，求eq \f(1,sin α)－eq \f(1,cos α)的值． [解析]　(1)由sin α＋cos α＝－eq \f(\r(10),5)， 两边平方，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin α＋cos α))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)))2， 即1＋2sin αcos α＝eq \f(2,5)， 则sin αcos α＝－eq \f(3,10). (2)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos α－sin α))2＝1－2sin αcos α＝1＋eq \f(6,10)＝eq \f(16,10)， 所以cos α－sin α＝±eq \f(4,\r(10))，因为eq \f(π,2)<α<π， 所以sin α>0，cos α<0， 则cos α－sin α＝－eq \f(4,\r(10))＝－eq \f(2\r(10),5)， 所以eq \f(1,sin α)－eq \f(1,cos α)＝eq \f(cos α－sin α,sin αcos α)＝eq \f(4\r(10),3). (1)sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号． [触类旁通] 3．(多选题)(2024·宁夏吴忠高一期末)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－eq \f(1,5)，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．cos θ＝－eq \f(3,5) C．tan θ＝－eq \f(3,4) D．sin θ－cos θ＝eq \f(7,5) 解析　因为θ∈(0，π)，则sin θ＞0， 又因为sin θ＋cos θ＝－eq \f(1,5)＜0，则cos θ＜0，可知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故A错误； 因为(sin θ－cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝eq \f(1,25)，可得sin θcos θ＝－eq \f(12,25)， 则(sin θ＋cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝eq \f(49,25)，且sin θ－cos θ＞0， 所以sin θ－cos θ＝eq \f(7,5)，故D正确； 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin θ＋cos θ＝－\f(1,5)，,sin θ－cos θ＝\f(7,5)，)) 解得sin θ＝eq \f(3,5)，cos θ＝－eq \f(4,5)，故B错误； 所以tan θ＝eq \f(sin θ,cos θ)＝－eq \f(3,4)，故C正确；故选CD． 答案　CD [缜密思维提能区]　规范答题 忽视角的取值范围致误 [典例]　(13分)若sin A＝eq \f(4,5)，且A是三角形的一个内角，求eq \f(5sin A＋8,15cos A－7)的值． [规范解答]　因为sin A＝eq \f(4,5)，A∈(0，π)，(1分) 所以cos A＝±eq \r(1－sin2A)＝±eq \f(3,5).(5分) 当cos A＝eq \f(3,5)时， eq \f(5sin A＋8,15cos A－7)＝eq \f(5×\f(4,5)＋8,15×\f(3,5)－7)＝6；(9分) 当cos A＝－eq \f(3,5)时， eq \f(5sin A＋8,5cos A－7)＝eq \f(5×\f(4,5)＋8,15×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3,5)))－7) ＝－eq \f(3,4).(13分) [纠错心得] (1)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所需要的符号． (2)要明确三角函数在每个象限内的符号，要记准并应用熟练． (3)解答题中的最后答案要准确、完整并且规范． 知识落实 技法强化 (1)同角三角函数的基本关系式． (2)利用同角三角函数的基本关系式求值、化简与证明. (1)本节课应用了由部分到整体、整体代换的思想方法． (2)求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论. $$