7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 §7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 半径长 圆心角 弧度 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 0 π 2π 正 负 零 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 αr 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 学业标准 学科素养 1．理解1弧度角的定义，了解弧度制的概念．(难点) 2．能进行角度与弧度之间的互化．(重点) 3．掌握弧度制下弧长与面积公式，能应用公式解决问题. 1．通过弧度制概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过弧度制与角度制的互化，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学1　弧度制 　在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ [提示]　将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角． 　长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？ [提示]　若长度等于半径长的弧所对的圆心角为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，则用弧度制度量该角为1弧度． ◎结论形成 1．1弧度的角：长度等于__________的圆弧所对的__________为1弧度的角，记作1 rad. 2．弧度制：以________为单位来度量角的制度． [点拨]　 用弧度制表示角时“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数． 导学2　弧度制与角度制的换算 　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ [提示]　由360°＝2π弧度，即180°＝π弧度． eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(3π,4) ◎结论形成 1．弧度制与角度制的换算 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则eq \f(n,180)＝______. 2．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 3．由弧度制与角度制的换算公式不难得到正角的弧度数是______数，负数的弧度数是______数，零角的弧度数是______． eq \f(5π,6) eq \f(3π,2) eq \f(α,π) eq \f(π,180) eq \f(π,6) 导学3　弧度制下弧长与面积公式 　在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？你能推导吗？ [提示]　弧长公式：由公式α＝eq \f(l,r)及0＜α＜2π可得l＝α·r； 扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lr. 设扇形的圆心角为α rad，则扇形的面积为S＝eq \f(α,2π)·πr2＝eq \f(1,2)αr2. 又因为l＝αr，所以S＝eq \f(1,2)lr. ◎结论形成 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝eq \f(απr,180°) l＝______ 扇形的面积 S＝eq \f(απr2,360°) S＝______＝_______ eq \f(1,2) lr eq \f(1,2) αr2 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(　　) (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(　　) (3)160°化为弧度制是eq \f(8,9)π rad.(　　) (4)1 rad的角比1°的角要大．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．1 920°的角化为弧度数为(　　) A．eq \f(16,3)　　 B．eq \f(32,3)　　　 C．eq \f(16,3)π　　 D．eq \f(32,3)π 解析　设1 920°的弧度数为α，则eq \f(α,π)＝eq \f(1 920°,180°)，∴α＝eq \f(32π,3)，故选D． 答案　D 3．下列角中，终边在y轴正半轴上的角是(　　) A．eq \f(π,4) B．－eq \f(π,2) C．π D．－eq \f(3,2)π 答案　D 4．在半径为8 cm的圆中，eq \f(5π,3)的圆心角所对的弧长为(　　) A．eq \f(40,3)π cm B．eq \f(20,3)π cm C．eq \f(200,3)π cm D．eq \f(400,3)π cm 解析　根据弧长公式，得l＝eq \f(5π,3)×8＝eq \f(40π,3)(cm)． 答案　A 题型一　弧度与角度的互化 　(1)把下列角度化成弧度或弧度化成角度： ①72°；②－300°；③2；④－eq \f(2π,9). (2)已知α＝15°，β＝eq \f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，试比较α，β，γ，θ的大小． [解析]　(1)①设72°＝α，则eq \f(α,π)＝eq \f(72,180)， ∴α＝eq \f(2π,5)，即72°＝eq \f(2π,5). ②设－300°＝α，则eq \f(α,π)＝eq \f(－300,180)， ∴α＝－eq \f(5π,3)，即－300°＝－eq \f(5π,3) ③设2＝n°，则eq \f(2,π)＝eq \f(n,180)，∴n＝eq \f(360,π)，即2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,π)))° ④设－eq \f(2π,9)＝n°，则eq \f(－\f(2π,9),π)＝eq \f(n,180)， ∴n＝－40，即－eq \f(2π,9)＝－40°. (2)α＝15°＝15×eq \f(π,180)＝eq \f(π,12)， θ＝105°＝105×eq \f(π,180)＝eq \f(7π,12). 故α＜β＜γ＜θ. [素养聚焦]　利用弧度制与角度制引起的计算，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 弧度与角度的互化技巧 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°即可． [触类旁通] 1．将下列角度与弧度进行互化： (1)eq \f(511,6)π；(2)－eq \f(7π,12)；(3)10°；(4)－855°. 解析　(1)eq \f(511,6)π＝eq \f(511,6)×180°＝15 330°. (2)－eq \f(7π,12)＝－eq \f(7,12)×180°＝－105°. (3)10°＝10×eq \f(π,180)＝eq \f(π,18). (4)－855°＝－855×eq \f(π,180)＝－eq \f(19π,4). 题型二　用弧度制表示终边相同的角 一题多变 　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)eq \f(23π,6)；(3)－4. [解析]　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋eq \f(5π,3)，是第四象限角． (2)∵eq \f(23π,6)＝2π＋eq \f(11π,6)，∴eq \f(23π,6)与eq \f(11π,6)终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，eq \f(π,2)＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． [母题变式] 1．(变条件、变结论)在区间[－5π，0]上，用弧度制表示与2 010°终边相同的角． 解析　∵2 010°＝2 010×eq \f(π,180)＝eq \f(67π,6)＝5×2π＋eq \f(7π,6)， 与2 010°终边相同的角可以写成γ＝eq \f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0， ∴－3eq \f(1,12)≤k≤－eq \f(7,12)， ∴当k＝－3时，γ＝－eq \f(29,6)π；当k＝－2时，γ＝－eq \f(17,6)π； 当k＝－1时，γ＝－eq \f(5,6)π. 2．(变条件、变结论)用弧度表示顶点在原点，始边落在x轴的正半轴上，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)． 解析　(1)以OA为终边的角为eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)). (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(7π,6)＋2kπ，k∈Z)))). 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．单位要统一． [触类旁通] 2．(2024·江西赣州高一期中)下列各角中，与－eq \f(21π,4)终边相同的角是(　　) A．－eq \f(π,4) B．eq \f(5π,4) C．eq \f(9π,4) D．eq \f(11π,4) 解析　因为－eq \f(π,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21π,4)))＝5π，eq \f(5π,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21π,4)))＝6.5π ，eq \f(9π,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21π,4)))＝7.5π，eq \f(11π,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21π,4)))＝8π，所以eq \f(11π,4)与－eq \f(21π,4)的终边相同． 答案　D 题型三　扇形的弧长与面积公式的应用 　已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l. (1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． [解析]　(1)因为α＝100°＝100×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,9)， 所以扇形的面积为S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)×eq \f(5π,9)×4＝eq \f(10π,9)； (2)由题意，可知l＋2r＝20，即l＝20－2r， 所以扇形的面积为S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－2r))·r＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－5))2＋25， 当r＝5时，扇形面积的最大值为25， 此时l＝20－2×5＝10，α＝eq \f(l,r)＝eq \f(10,5)＝2. 弧度制下扇形有关问题的几点注意 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝αr，S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)α·r2，其中α必须是弧度制的角． (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等计算，关键是分析已知哪些量，要求哪些量，用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程组求解． (3)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题． [触类旁通] 3．(2024·天津宁河高一期末)杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．已知某纸扇的扇环如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和10的两个同心圆上的弧(长度单位为cm)，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为eq \f(2π,3)，则扇面(扇环)的面积是(　　) A．eq \f(800π,3)cm2 B．eq \f(400π,3)cm2 C．eq \f(200π,3)cm2 D．eq \f(100π,3)cm2 解析　因为上、下两条弧分别在半径为30和10的圆上，圆心角为eq \f(2π,3)，由扇形面积公式S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2，所以两个扇形的面积分别为 S1＝eq \f(1,2)×102×eq \f(2π,3)＝eq \f(100π,3)，S2＝eq \f(1,2)×302×eq \f(2π,3)＝eq \f(900π,3)， 所以扇面的面积为S2－S1＝eq \f(900π,3)－eq \f(100π,3)＝eq \f(800π,3). 答案　A 知识落实 技法强化 (1)弧度制的概念． (2)弧度制与角度制的相互转化． (3)特殊角的角度数与弧度数的对应关系． (4)扇形的弧长与面积的计算. (1)研究弧度制与角度制的互化应用由特殊到一般的思想方法． (2)表示角时不要弧度与角度混用. $$