7.1.1 角的推广（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 §7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角 栏目导航 第七章　三角函数 1 逆时针 顺时针 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 第几象限角 任何象限 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 360°的整数倍 α α 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 学业标准 学科素养 1．了解任意角的概念，能区分各类角的概念． 2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(重点) 3．理解终边相同角的含义及表示，并能解决有关问题．(难点) 1．通过角的相关概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过象限角、终边相同角的表示，提升直观想象、数学运算核心素养． 导学1　角的概念的推广 　在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？ [提示]　顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°. 　如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？ [提示]　不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角，若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角． ◎结论形成 1．角的概念 一条射线绕____________________________________________． 2．角的分类(按照角的终边旋转方向不同) 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按________方向旋转而成的角 负角 一条射线绕其端点按________方向旋转而成的角 零角 一条射线没有旋转时，我们把它看成一个角称为零角 导学2　象限角 　把角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，旋转该角的始边，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？ [提示]　终边可能落在坐标轴上或四个象限内． ◎结论形成 1．前提：①角的顶点与坐标原点重合；②角的始边落在x轴的正半轴上． 2．结论：角的终边(除端点外)在第几象限，就把这个角称为_____________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于____________． (3)确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？ [提示]　不唯一． 导学3　终边相同角的表示 　在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的正半轴上”下，研究下列角：30°，390°，－330°. (1)这三个角的终边位置相同吗？ [提示]　相同． (2)如何用含30°的式子表示390°和－330°？ [提示]　390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°. ◎结论形成 任意两个终边相同的角，它们的差一定是_____________．因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 即集合S的每一个元素的终边都与______的终边相同，k＝0时对应元素为______. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)经过1小时，时针转过30°.(　　) (2)终边与始边重合的角是零角．(　　) (3)第一象限角都是锐角．(　　) (4)钝角是第二象限角．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．如果α＝－21°，那么与α终边相同的角可以表示为(　　) A．{β|β＝k·360°＋21°，k∈Z} B．{β|β＝k·360°－21°，k∈Z} C．{β|β＝k·180°＋21°，k∈Z} D．{β|β＝k·180°－21°，k∈Z} 解析　根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与α＝－21°终边相同的角可表示为：{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}，故选B． 答案　B 3．795°角是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　∵795°＝2×360°＋75°，∴终边在第一象限，故选A． 答案　A 4．已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________． 解析　3×360°＋30°＝1 110°. 答案　1 110° 题型一　任意角的概念及应用 　(1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)． (2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________． (3)射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD＝________. [解析]　(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． (2)将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转120°，所以分针转过的度数为－120°. (3)如图所示． ∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD ＝(－80°)＋250°＋(－270°)＝－100°. [答案]　(1)①　(2)－120°　(3)－100° (1)解决此类问题要正确理解正角、负角、零角、锐角、钝角、象限角等概念． (2)角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转的绝对量的大小． [触类旁通] 1．写出图1,2中的角α，β，γ的度数． 解析　题干图1中，α＝360°－30°＝330°； 题干图2中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°， γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. 题型二　终边相同角的表示 一题多变 　已知α＝－2 020°. (1)写出与角α终边相同的角的集合S，并指出角α是第几象限的角； (2)写出S中适合不等式－720°≤β＜0°的角β. [解析]　(1)S＝{β|β＝－2 020°＋k×360°，k∈Z}， ∵140°＝－2 020°＋6×360°， ∴140°与－2 020°的终边相同． ∵140°是第二象限的角，∴－2 020°是第二象限的角． (2)由－720°≤－2 020°＋k×360°＜0° 解得3eq \f(11,18)≤k＜5eq \f(11,18) ∵k∈Z，∴k＝4或5， 即S中适合－720°≤β＜0°的元素有 －2 020°＋4×360°＝－580°， －2 020°＋5×360°＝－220°. [母题变式] (变结论)本例中与α终边相同的角中，最小正角为______． 解析　由0°＜－2 020°＋k·360°＜360°， 解得5eq \f(11,18)＜k＜6eq \f(11,18) ∵k∈Z，∴k＝6. 故所求最小正角为－2 020°＋6×360°＝140°. 答案　140° [素养聚焦]　通过终边相同角的表示与应用，把数学运算、直观想象等核心素养体现在解题过程中． 与角α终边相同的角的表示方法 (1)所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)可以用式子α＋k×360°，k∈Z表示． 在运用时，需注意以下几点： ①k是整数，这个条件不能漏掉； ②α是任意角； ③k×360°与α之间用“＋”号连接，如k×360°－30°应看成k×360°＋(－30°)(k∈Z)； (2)要求在一定范围内与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角，再变形构建含有参数k的不等式，然后在k的取值范围内取值即可． [触类旁通] 2．(2024·福建厦门月考)与－2 024°终边相同的最小正角为(　　) A．136°　　 B．224°　　　 C．44°　　 D．134° 解析　因为－2 024°＝－360°×6＋136°，所以与－2 024°终边相同的最小正角是136°. 答案　A 题型三　象限角及其应用 多维探究 角度1　用不等式(组)表示区域角的集合 　如图所示． (1)分别写出终边落在直线l1，l2上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分的角的集合． [解析]　(1)在0°～360°范围内，终边在直线l1上的角有两个，即30°和210°.因此终边在直线l1上的角的集合S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}． 同理，终边落在直线l2上的角的集合为S＝{β|β＝105°＋n·180°，n∈Z}． (2)解法一(并集法) 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°≤α<105°和210°≤α<285°，所以终边落在阴影部分的角的集合S＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}． 解法二(旋转法) 终边落在直线l1上的角可看成将终边落在x轴上的角逆时针方向旋转30°角得到，故终边落在直线l1上的角的集合为{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．同理，终边落在直线l2上的角的集合为{α|α＝105°＋n·180°，n∈Z}．故终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋n·180°≤α<105°＋n·180°，n∈Z}． 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 角度2　nα或eq \f(α,n)(n∈N＋且n＞1)所在象限的判定 　若α是第二象限角，则2α，eq \f(α,2)分别是第几象限的角？ [解析]　(1)因为α是第二象限角， 所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 所以180°＋k·720°＜2α＜360°＋k·720°， 所以2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上． (2)因为α是第二象限角， 所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 所以45°＋k·180°＜eq \f(α,2)＜90°＋k·180°(k∈Z)． ①当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°＜eq \f(α,2)＜90°＋n·360°(n∈Z)，即eq \f(α,2)是第一象限角；②当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°＜eq \f(α,2)＜270°＋n·360°(n∈Z)，即eq \f(α,2)是第三象限角．故eq \f(α,2)是第一或第三象限角． 已知α范围，求nα和eq \f(α,n)所在象限 (1)已知α范围，求nα所在象限时，用不等式表示出来，再查找不等式的范围即可，注意结果可能不只有象限角，还可能有不属于任何象限的角． (2)已知α的范围，求eq \f(α,n)所在象限时，用不等式表示出eq \f(α,n)，再讨论k值，结合终边相同角的表示，确定所在象限． [触类旁通] 3．若α为第二象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是(　　) A．第二象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 解析　因为α为第二象限角，则2n·180°＋90°＜α＜2n·180°＋180°， n∈Z， 因此(2n＋k)·180°＋90°＜k·180°＋α＜(2n＋k)·180°＋180°，n，k∈Z， 而2n为偶数，当k为奇数时，2n＋k为奇数，则k·180°＋α(k∈Z)为第四象限角， 当k为偶数时，2n＋k为偶数，则k·180°＋α(k∈Z)为第二象限角， 所以k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第二、四象限． 答案　D [缜密思维提能区]　规范答题 终边相同角的集合运算 [典例]　(13分)已知集合A＝{α|30°＋k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|－45°＋k·360°＜β＜45°＋k·360°，k∈Z}，求A∩B． [规范解答]　∵30°＋k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z，(3分) ∴当k为偶数，即k＝2n(n∈Z)时，30°＋n·360°＜α＜90°＋n·360°， n∈Z；(5分) 当k为奇数，即k＝2n＋1(n∈Z)时， 210°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°， n∈Z，(7分) ∴集合A中角的终边在图中阴影(Ⅰ)区域内． 又集合B中角的终边在图中阴影(Ⅱ)区域内，(11分) ∴集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内． ∴A∩B＝{α|30°＋k·360°＜α＜45°＋k·360°，k∈Z}．(13分) [纠错心得] 因为集合A，B都是无限集，所以求A∩B时用图示法更简捷．同时注意分类讨论思想的应用． 知识落实 技法强化 (1)任意角的概念． (2)终边相同的角与象限角． (3)区域角的表示. (1)表示终边相同的角主要运用数形结合、分类讨论的思想方法． (2)注意锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中易漏掉k∈Z. $$