8.2.1 两角和与差的余弦（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·江苏连云港高一期中)cos 225°cos 45°－sin 225°sin 45°的值是(　　) A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D． 解析　cos 225°cos 45°－sin 225°sin 45°＝cos(225°＋45°)＝cos 270°＝0. 答案　B 2．(2024·山东济南高一期末)在△ABC中，若cos A＝，cos B＝－，则cos(A＋B)等于(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　因为在△ABC中，cos A＝，cos B＝－，则sin A＝，sin B＝， cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝－. 答案　D 3．(2024·安徽黄山高一期中)已知sin αsin β＝，cos(α－β)＝，则cos(α＋β)＝(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　因为sin αsin β＝，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos αcos β＋＝，解得cos αcos β＝，因此，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝. 答案　B 4．(2024·浙江嘉兴高一期末)已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin α＝，则cos β＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为α，β都是锐角，则α＋β∈(0，π)， 则sin(α＋β)＝＝，cos α＝＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝. 答案　B 5．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于________． 解析　由题意可得sin α＝，cos α＝， cos＝coscos α＋sin sin α ＝×＋×＝. 答案　 6．cos 105°＋sin 195°＝________. 解析　cos 105°＋sin 195° ＝cos 105°＋sin(105°＋90°) ＝cos 105°＋cos 105°＝2cos(135°－30°) ＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°) ＝2＝. 答案　 7．化简：sin αsin＋cos αcos＝________. 解析　sin αsin＋cos αcos＝cos＝cos＝. 答案　/0.5 8．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值． 解析　因为x∈，sin x＝，所以cos x＝－. 所以2cos＋2cos x＝2＋2cos x ＝2＋2cos x＝sin x＋cos x＝－＝. [关键能力·综合提升] 9．已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝－，则cos αcos β的值为(　　) A．0 B． C．0或 D．0或± 解析　由已知得cos αcos β－sin αsin β＝，① cos αcos β＋sin αsin β＝－.② ①＋②，得cos αcos β＝0. 答案　A 10．已知cos＝－，则cos x＋cos 等于(　　) A．－ B． C．－1 D．1 解析　因为cos＝－， 所以cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x ＝ ＝cos＝－1.故选C． 答案　C 11．1874年欧拉第一次提出将角置于圆内，以有向线段与半径的比值定义三角函数．如图所示，在单位圆中，定义角α的正弦为有向线段MP，角α的余弦为有向线段OM.若在单位圆内，角α和角β均以Ox轴为始边，两角的终边关于y轴对称，且对应正弦的值均为，则cos (α－β)＝__________. 解析　由题意，得sin α＝sin β＝，cos α＝ －＝－，cos β＝， 故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝－. 答案　－ 12. 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________. 解析　∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝， ∴cos α＝，sin β＝， ∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝. 答案　 13．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos (α－β)＝，求cos β的值． 解析　因为α∈，sin α＝＜， 所以0＜α＜. 又α－β∈，cos (α－β)＝＜， 所以－＜α－β＜－. 所以cos α＝＝＝， sin (α－β)＝－ ＝－＝－， 所以cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝×＋×＝. [学科素养·探索创新] 14．若cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则角β的值为(　　 ) A． B． C． D． 解析　∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π， 由cos α＝，sin(α＋β)＝， 得sin α＝，cos(α＋β)＝±， 若cos(α＋β)＝， 则sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－×<0，与sin β>0矛盾，故舍去， 若cos(α＋β)＝－， 则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝， 又β∈，∴β＝. 答案　A 15．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos (α－β)的值． 解析　(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π， 所以10π＝，所以ω＝. (2)因为f＝－， 所以2cos ＝2cos＝－， 所以sin α＝， 又因为f＝， 所以2cos＝2cos β＝， 所以cos β＝， 因为α，β∈，所以cos α＝，sin β＝， cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$