7.3.3 余弦函数的性质与图象（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·上海高一期中)下列函数中，最小正周期为的是(　　) A．y＝sin 　　　　　 B．y＝sin 2x C．y＝cos 4x D．y＝|cos x| 解析　由题意知y＝sin 周期为4π，y＝sin 2x周期为π，y＝cos 4x周期为，y＝|cos x|周期为π. 答案　C 2．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是(　　) A． B． C． D． 解析　函数y＝|cos x|＝ 图象如图所示： 单调减区间有，，…，故选C． 答案　C 3．(2024·江苏盐城高一期末)若函数f(x)＝cos (ω＞0)的最小正周期是2，则ω的值为(　　) A． B．π C． D．2π 解析　依题意＝2，所以ω的值为π，故选B． 答案　B 4．(多选题)(2024·山东烟台高一期末)已知函数f(x)＝cos ，则(　　) A．2π为f(x)的一个周期 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)在上单调递减 D．f(x＋π)的一个零点为 解析　根据函数f(x)＝cos 知最小正周期为2π，A正确； 当x＝时，f＝cos ＝cos ＝0，由余弦函数的对称性知，B错误； 函数f(x)＝cos 在上单调递减，在上单调递增，故C错误； ∵f(x＋π)＝cos ，∴f＝cos ＝cos ＝0，故D正确． 答案　AD 5．(2024·山东潍坊高一月考)已知函数f(x)＝cos ，x∈.则f(x)的最大值为______． 解析　因为0≤x≤，所以－≤2x－≤， 又函数y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减， 所以－≤cos ≤1，所以f(x)的最大值为1. 答案　1 6．函数y＝2cos 的周期为T，且T∈(1，3)，则正整数k＝________． 解析　T＝＝(k∈Z). ∴1＜＜3(k∈Z).∴＜k＜2，k∈Z.∴k＝1. 答案　1 7．函数y＝cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则其单调递减区间为________． 解析　由图可得＝－＝，即T＝1， 结合图象可得到在区间中，A为最高点，对应的横坐标为＝， y轴右侧第一个最低点为B，对应的横坐标为＋＝， 故函数的单调递减区间为，k∈Z. 答案　，k∈Z 8．已知函数f(x)＝cos . (1)求f(x)取得最大值时x的值； (2)求f(x)的单调递减区间． 解析　(1)由余弦函数性质可得函数f(x)＝cos 的最大值为1. 令f(x)＝cos ＝1，则2x＋＝2kπ(k∈Z)，∴x＝kπ－(k∈Z). (2)∵函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)， 令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，则－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z). ∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z). [关键能力·综合提升] 9．同时具有以下性质的一个函数是(　　) ①最小正周期是π； ②图象关于直线x＝对称； ③在上是增函数； ④图象的一个对称中心为. A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析　因为函数的最小正周期是π，所以ω＝2，排除A；图象关于直线x＝对称，而当x＝时，y＝sin ＝，y＝sin ＝0，故排除B，D．故选C． 答案　C 10．定义max{a，b}为a，b中较大的数，已知函数f(x)＝max{sin x，cos x}，给出下列命题： ①f(x)为非奇非偶函数； ②f(x)的值域为[－1，1]； ③f(x)是以π为最小正周期的周期函数； ④当－＋2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)时，f(x)>0. 其中正确的为(　　) A．②④ B．①③ C．③④ D．①④ 解析　作出函数f(x)的图象，如下： 令sin x＝cos x，即sin ＝0，则x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z， 当x＝＋2kπ，k∈Z时f(x)＝－， 由图可知，f(x)是非奇非偶函数，值域为，故①正确，②错误； 因为f(x)是以2π为最小正周期的周期函数，故③错误； 由图可知，－＋2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)时，f(x)＞0，故④正确． 答案　D 11．函数f(x)＝cos 在[0，π]的零点个数为________． 解析　由题意知，cos ＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3. 答案　3 12．函数f(x)＝logcos 的单调递增区间为__________． 解析　由题意，函数满足cos >0，解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z， 又由y＝cos 的单调递减区间可得2kπ<2x－<＋2kπ， 即＋kπ<x<＋kπ，k∈Z， 综上所述，单调递增区间为，k∈Z. 答案　，k∈Z 13．已知函数f(x)＝4cos ，x∈R. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)在区间上的最小值． 解析　(1)设z＝x＋，∵y＝cos z，z∈R的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z， ∴由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，解得－＋4kπ≤x≤－＋4kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z. (2)∵x∈， ∴z＝x＋∈， ∴由余弦函数y＝cos z的性质， 当x＋＝，即x＝时，cos 的最小值为cos ＝－，此时f＝－2， ∴当x＝时，f(x)在区间上的最小值为－2. [学科素养·探索创新] 14．(多选题)已知函数f(x)＝cos (sin x)，g(x)＝sin (cos x)，则下列说法不正确的是(　　 ) A．f(x)与g(x)的定义域都是[－1，1] B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C．f(x)的值域为[cos 1，1]，g(x)的值域为[－sin 1，sin 1] D．f(x)与g(x)都不是周期函数 解析　选项A，f(x)与g(x)的定义域都是R，A错误； 选项B，∵f(－x)＝cos [sin (－x)]＝cos (－sin x)＝cos (sin x)＝f(x)，f(x)为偶函数， ∵g(－x)＝sin [cos (－x)]＝sin (cos x)＝g(x)，∴g(x)为偶函数，B错误； 选项C，∵－1≤sin x≤1，且y＝cos x在上单调递增，在上单调递减， ∴f(x)＝cos (sin x)∈[cos 1，1]； ∵－1≤cos x≤1，且y＝sin x在上单调递增，∴g(x)＝sin (cos x)∈[－sin 1，sin 1]，C正确； 选项D，∵f(x＋2π)＝cos [sin (x＋2π)]＝cos (sin x)＝f(x)， g(x＋2π)＝sin [cos (x＋2π)]＝sin (cos x)＝g(x)，则f(x)与g(x)都是周期函数，故D错误；故选ABD． 答案　ABD 15．设函数y＝－2cos ，x∈，若该函数是单调函数，求实数a的最大值． 解析　由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)得 4kπ－π≤x≤4kπ＋π(k∈Z). 所以函数的单调递增区间是 (k∈Z)， 同理函数的单调递减区间是 (k∈Z)， 令π∈，即≤k≤， 又k∈Z，所以k不存在． 令π∈，得k＝1. 所以π∈， 这表明y＝－2cos 在上是减函数，所以a的最大值是π. 学科网（北京）股份有限公司 $$