7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质及应用（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．函数f(x)＝cos 是(　　) A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减 C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减 解析　因为函数f(x)＝cos ＝sin x，是正弦函数，所以f(x)是奇函数，且在区间上单调递增． 答案　A 2．(2024·北京海淀高一期中)函数f(x)＝sin ，x∈的最大值和最小值分别为(　　) A．1，－　　　　　 B．1，－ C．，－1 D．1，－1 解析　由x∈，得2x＋∈，则当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1， 当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－， 所以所求最大值、最小值分别为1，－. 答案　A 3．(2024·四川凉山高一期中)若函数f(x)＝2sin (2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ的值可能为(　　) A． B．π C．－ D． 解析　因为函数f(x)＝2sin (2x＋φ)的图象关于y轴对称， 所以当x＝0时，f(x)取得最值， 所以2×0＋φ＝＋kπ，k∈Z， 得φ＝＋kπ，k∈Z， 对于A，若φ＝，则＝＋kπ，解得k＝－∉Z，不合题意， 对于B，若φ＝π，则π＝＋kπ，解得k＝∉Z，不合题意， 对于C，若φ＝－，则－＝＋kπ，解得k＝－1∈Z，符合题意， 对于D，若φ＝，则＝＋kπ，解得k＝－∉Z，不合题意，故选C． 答案　C 4．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是(　　) A．y＝4sin ＋2 B．y＝2sin ＋2 C．y＝2sin ＋2 D．y＝2sin ＋2 解析　对选项A，y＝4sin ＋2的最大值为6，故A错误， 对选项B，y＝2sin ＋2的最小正周期为＝π，故B错误， 对选项C，把x＝代入y＝sin 得 y＝sin π＝－≠±1，故C错误， 对选项D，y＝2sin ＋2，最大值为4，最小值为0，最小正周期T＝＝，把x＝代入y＝sin 得y＝sin π＝－1，所以x＝是其图象的一条对称轴，故D正确． 答案　D 5．函数y＝sin 在上的单调递增区间为________． 解析　因为－≤x≤，则－≤x＋≤， 则当－≤x＋≤，即－≤x≤时，函数单调递增， 即函数y＝sin 在上的单调递增区间为． 答案　 6．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则f＝________． 解析　函数的周期为T＝＝，则图中相邻两个零点之间的距离为，又＋＝，所以f＝0. 答案　0 7．将函数f(x)＝sin 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ的可能取值是______(只需填一个值). 解析　将函数f(x)＝sin 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，得g(x)＝sin ＝sin ， ∵g(x)是奇函数，∴g(0)＝sin ＝0， ∴－2φ＋＝kπ，k∈Z，∴φ＝－，k∈Z，则φ的可能取值是. 答案　(答案不唯一) 8．已知函数f(x)＝3sin 的图象的一条对称轴是直线x＝. (1)求φ值； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心． 解析　(1)∵x＝是f(x)的图象的一条对称轴， ∴sin ＝±1， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z. ∵0＜φ＜，∴φ＝. (2)由(1)知y＝3sin . 由题意得2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)的单调增区间为 (k∈Z). 由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－(k∈Z)， 故该函数的对称中心为(k∈Z). [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知函数f(x)＝3sin ，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)恒满足f＝f(x) B．直线x＝为函数y＝f(x)图象的一条对称轴 C．点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心 D．函数y＝f(x)在上为增函数 解析　f(x)的最小正周期T＝＝π，所以f＝f(x)，即A正确； 由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，所以直线x＝为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，即B正确； 由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，所以点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心，即C正确； 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，即f(x)的单调递增区间为，k∈Z，即D错误． 答案　ABC 10．(多选题)已知函数f(x)＝sin 在上是单调函数，且f＝f＝－f.则ω的可能取值为(　　) A．　　　　　　 B．2 C． D．1 解析　对于A，ω＝，若f(0)＝f(π)＝－f， 即sin φ＝sin ＝－sin ⇒sin φ＝cos φ－sin φ⇒tan φ＝， 可取φ＝， 则f(x)＝sin ，在上单调递减，故A正确． 对于B，ω＝2，若f(0)＝f(π)＝－f， 即sin φ＝sin ＝－sin ⇒sin φ＝sin φ＝sin φ， 此时可以取φ＝，使得函数在上单调递增，故B正确． 对于C，ω＝，若f(0)＝f(π)＝－f， 即sin φ＝sin ＝－sin ＝cos ， 则sin φ＝cos φ＋sin φ⇒tan φ＝且sin φ≠cos ，故C错误． 对于D，ω＝1，若f(0)＝f(π)＝－f，即sin φ＝sin (π＋φ)＝－sin ＝cos φ， 则sin φ＝－sin φ⇒sin φ＝0≠cos φ，故D错误． 答案　AB 11．已知函数f(x)＝sin ，且f＝f＝，则α＋β＝________． 解析　∵函数f(x)＝sin ，∴2x＋∈， ∵f＝f＝(α≠β)，则由正弦函数的对称性可得2α＋＋2β＋＝2·， 所以α＋β＝. 答案　 12．函数f(x)＝2sin 在[0，π]上的单调递增区间为______． 解析　函数f(x)＝2sin ＝－2sin ， 令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 令k＝0，得≤x≤， 所以函数f(x)＝2sin 在[0，π]上的单调递增区间为. 答案　 13．设函数f(x)＝sin ，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值． 解析　(1)最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函数f(x)的单调递增区间是 (k∈Z). (2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤， ∴当t＝，即x＝时， ymin＝×＝－1， ∴当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝. [学科素养·探索创新] 14．(多选题)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的有(　　 ) A．ω＝2 B．为函数f(x)的一个对称中心点 C．为函数f(x)的一个递增区间 D．可将函数y＝cos 2x向右平移个单位长度得到f(x) 解析　由题，可得A＝1，T＝2×＝π，则ω＝＝2，故A正确； 又f＝1，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<， 所以φ＝，所以f(x)＝sin ， 对于B，当x＝－时，f＝sin ＝0，所以函数图象关于点对称，故B正确； 对于C，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝2，可得≤x≤，所以不是函数f(x)的一个递增区间，故C错误； 对于D，将函数y＝cos 2x向右平移个单位长度得到y＝cos 2＝cos ＝sin ＝sin ＝f(x)，故D正确． 答案　ABD 15．已知函数f(x)＝2sin ＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为. (1)求f的值； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间． 解析　(1)∵f(x)为偶函数，∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z). 又0＜φ＜π，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin ＋1 又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为， ∴T＝＝2×， ∴ω＝2，∴f(x)＝2sin ＋1 ∴f＝2sin ＋1＝＋1. (2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图象， 所以g(x)＝f＝2sin ＋1. 由＋2kπ≤＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z). ∴函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $$