7.2.4 第2课时 角α与π2±α，π2±α的三角函数的关系（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列与cos的值相等的是(　　) A．sin(π－θ)　　　　 B．sin(π＋θ) C．cos D．cos 解析　cos＝－sin θ. 而sin(π－θ)＝sin θ，sin(π＋θ)＝－sin θ. cos＝sin θ，cos＝－sin θ，故选BD． 答案　BD 2．(2024·广东广州高一月考)若角α的终边过点(3,1)，则sin＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　角α的终边过点(3,1)，则r＝＝， 所以sin＝cos α＝＝. 答案　A 3．(2024·辽宁阜新高一月考)已知α为第四象限角，则点P位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由α为第四象限角，sin＝cos α＞0，cos(－α)＝cos α＞0， 所以点P位于第一象限． 答案　A 4．(2024·浙江杭州高一期末)已知sin＝－，则cos＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　因为sin＝－， 所以cos＝－cos＝－cos＝－sin＝. 答案　A 5．(2024·陕西榆林高一月考)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则＝________. 解析　方程5x2－7x－6＝0，解得x＝－或x＝2， 由题意可知，sin α＝－，α是第三象限角， 则cos α＝－＝－，tan α＝＝， 所以＝＝＝＝. 答案　 6．(2024·河南南阳高一期末)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(m，－3m)(m≠0)是角α终边上的一点，则＝________. 解析　因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(m，－3m)(m≠0)是角α终边上的一点， 所以sin α＝＝－，cos α＝＝＝，sin α＝－3cos α， 所以＝＝＝－6. 答案　－6 7．化简：·＝________. 解析　·＝·＝1. 答案　1 8．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求 的值． 解析　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，所以sin α＝－， 又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－＝－. 所以tan α＝. 故原式＝ ＝tan α＝. [关键能力·综合提升] 9．已知tan α＝，则＝(　　) A．－　　 B．　　 C．－3　　 D．3 解析　∵tan α＝，∴cos α≠0， 则＝＝＝＝3，故选D． 答案　D 10．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　由于(75°＋α)－(α－15°)＝90°，∴α－15°＝(75°＋α)－90°. (105°－α)＋(75°＋α)＝180°，∴105°－α＝180°－(75°＋α)， ∴sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin(75°＋α－90°)＋cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－. 答案　D 11．已知cos＝2sin，则tan α＝________，＋＝________. 解析　因为cos＝2sin， 则－sin α＝－2cos α，故tan α＝2； 又＋＝＝ ＝＝2＋2tan2α＝10. 答案　2　10 12．已知对任意x∈R，有cos x＝sin(x＋φ)，写出一个符合题意的φ的值：________. 解析　由sin＝cos x，可知对任意x∈R，有cos x＝sin，则一个符合题意的φ的值为. 答案　 13．化简： －. 解析　因为sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α， cos＝cos＝cos＝－sin α， sin＝sin ＝sin＝sin ＝－sin＝－cos α， tan(5π－α)＝－tan α，sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α， 所以原式＝－＝－＋＝＝＝1. [学科素养·探索创新] 14．已知sin(x＋φ)＝sin(－x＋φ)，则φ可能是(　　 ) A．0　 B．　 C．π　 D．2π 解析　对于A，当φ＝0时，左边＝sin x，右边＝sin(－x)＝－sin x，不满足条件； 对于B，当φ＝时，左边＝sin＝cos x，右边＝sin＝cos x，满足条件； 对于C，当φ＝π时，左边＝sin(x＋π)＝－sin x，右边＝sin(－x＋π)＝sin x，不满足条件； 对于D，当φ＝2π时，左边＝sin(x＋2π)＝sin x，右边＝sin(－x＋2π)＝－sin x，不满足条件． 答案　B 15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由． 解析　由条件， 得 ①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③ 又因为sin2α＋cos2α＝1，④ 由③④得sin2α＝，即sin α＝±， 因为α∈，所以α＝或α＝－. 当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①可知符合． 当α＝－时，代入②得cos β＝， 又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝，β＝满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$