7.2.3 同角三角函数的基本关系式（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·广东茂名高一期中)已知α为第四象限角，cos α＝，则sin α＝(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．－ 解析　由题意可知 sin α＝－＝－＝－＝－. 答案　B 2．已知＝2，那么的值为(　　) A．6 B．4 C．2 D．0 解析　＝2，则5－cos2 θ＝2cos θ＋2， 解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)， 故sin θ＝0，＝4×1＝4. 答案　B 3．若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α＝(　　) A． B． C． D． 解析　由＝可知，cos α≠0， ∴＝＝， ∴tan α＝－3， ∴sin2α－sin αcos α－3cos2α ＝ ＝＝＝. 答案　C 4．(2024·北京高一期中)已知cos α＝－，且α∈(π，2π)，则tan α＝(　　) A． B． C． D．± 解析　由题意可知cos α＝－＜0，α∈(π，2π)，得α∈，则sin α＝－＝－＝－， 所以tan α＝＝. 答案　B 5．化简求值(1＋tan2α)·cos2α＝________. 解析　原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1. 答案　1 6．(2024·广东韶关高一月考)若tan θ＝－2，则＝________. 解析　因为tan θ＝－2， 所以＝＝＝＝. 答案　 7．已知sin α＝，cos α＝，则实数m的值的集合为________． 解析　sin α＝，cos α＝，(m－3)2＋(m－1)2＝(m＋1)2， 整理得m2－10m＋9＝0，解得m＝9或m＝1， 所以m的集合为{1,9}． 答案　{1,9} 8．已知sin θ＋cos θ＝－，求： (1)＋的值； (2)tan θ的值． 解析　(1)因为sin θ＋cos θ＝－， 所以1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－， 所以＋＝＝. (2)由(1)得＝－， 所以＝－， 即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知θ∈，sin θ－cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ＋cos θ＝－ 解析　对于A，2＝1－2sin θcos θ＝⇒2sin θcos θ＝，∵θ∈，则sin θ<0，∴cos θ<0，∴θ∈，A正确； 对于BCD，∵θ∈，sin θ＋cos θ＝－＝－，联立sin θ－cos θ＝，可得cos θ＝－，sin θ＝－，tan θ＝，BD正确，C错误． 答案　ABD 10．(2024·山西太原高一期中)已知2sin θ＝cos θ，则3sin2θ－sin θcos θ＝(　　) A．－　　 B．　　 C．　　 D．－ 解析　由2sin θ＝cos θ得tan θ＝， 所以3sin2θ－sin θcos θ＝＝＝＝，故选B． 答案　B 11．已知sin θ＝，cos θ＝，则tan θ＝__________. 解析　由sin2 θ＋cos2θ＝2＋2＝1， 解得m＝0或m＝8. 当m＝0时，sin θ＝－，cos θ＝， 故tan θ＝－； 当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－， 故tan θ＝－. 答案　－或－ 12．已知α为第三象限角，tan α＝2，则sin α＋cos α＝________. 解析　由tan α＝2，则＝2，sin α＝2cos α，由sin2α＋cos2α＝1，则5cos2α＝1， 由α为第三象限角，cos α＝－，sin α＝－，则sin α＋cos α＝－. 答案　－ 13．已知＝，α∈. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解析　(1)由＝， 得3tan2α－2tan α－1＝0， 即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0， 解得tan α＝－或tan α＝1. 因为α∈，所以tan α＜0， 所以tan α＝－. (2)由(1)，得tan α＝－， 所以＝＝＝. [学科素养·探索创新] 14．已知＝，则＝(　　 ) A．－ B．－ C．－ D． 解析　由＝，可得＝，所以tan α＝3， 则＝＝＝＝－. 答案　A 15．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根．求： (1)sin 3θ＋cos 3θ； (2)tan θ＋. 解析　根据题意，方程判别式Δ≥0， 即(－a)2－4a≥0，所以a≤0或a≥4， 且 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即a2－2a－1＝0， 所以a＝1－(1＋舍去)． 所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－. (1)sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin2 θ－sin θcos θ＋cos2θ) ＝(1－)[1－(1－)]＝－2. (2)tan θ＋＝＋ ＝＝ ＝－－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$