8.1.3 向量数量积的坐标运算（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

8．1.3　向量数量积的坐标运算 学业标准 学科素养 1．掌握向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．(重点) 2．能利用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关长度、角度、垂直等问题．(重点、难点) 1．通过推导数量积、模长、夹角的坐标表示，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过数量积的坐标运算，提升数学运算等核心素养． 导学1　向量数量积的坐标表示 设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量． 　取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b. [提示]　∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. 　若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？ [提示]　a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ◎结论形成 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 数量积 a·b＝__x1x2＋y1y2__ 向量垂直的充要条件 __a·b＝x1x2＋y1y2＝0__ 导学2　向量的模长及夹角公式 　若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示． [提示]　∵a＝x i＋yj，x，y∈R， ∴a2＝(x i＋yj)2＝(x i)2＋2xy i·j＋(yj)2 ＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2. 又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0， ∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2， ∴|a|＝. 　若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？ [提示]　∵＝－＝(x2，y2)－(x1，y1) ＝(x2－x1，y2－y1)， ∴||＝. ◎结论形成 条件 结论 向量的模 a＝(x，y) |a|＝____ 两点间的距离 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量 ||＝ ____ 两向量的夹角 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2) cos 〈a，b〉＝____ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　　) (3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，x2)，则a·b＝x1y2＋x2y1.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　) A．30°　　 B．45°　　 C．60°　　 D．120° 解析　由题意得cos ∠ABC＝ ＝＝， 又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°. 答案　A 3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　) A． B． C． D． 解析　＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)， 所以||＝＝5，因此与向量同方向的单位向量为＝. 答案　A 4．设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，则m＝________． 解析　因为a⊥b，所以a·b＝m＋1－(2m－4)＝0，所以m＝5. 答案　5 题型一　向量数量积的坐标运算 　(1)已知a＝(－4，3)，b＝(1，2)，则a2－(a－b)·b＝(　　) A．8　　　　　　　　 B．3＋ C．28 D．32 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·等于________． (3)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________． [解析]　(1)a2－(a－b)·b＝a2－a·b＋b2 ＝25－(－4＋6)＋5＝28.故选C． (2)由＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)， 得·＝(2，1)·(3，－1)＝5. (3)以A为坐标原点，AB，AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0). 设F(t，2)，(0＜t≤)， 由·＝得t＝， ∴t＝1，即F(1，2)， ∴＝(1－，2)，＝(，1)， 即·＝－2＋2＝. [答案]　(1)C　(2)5　(3) 关于向量数量积的运算 (1)在计算数量积的过程中，注意数量积运算律的应用，强调先化简再代入坐标运算． (2)注意平面向量基本定理的应用，利用已知坐标的向量表示未知向量后计算． (3)在特殊图形中，如等腰三角形、矩形、正方形等可以通过建立直角坐标系，表示出向量的坐标后计算． [触类旁通] 1．(1)(2024·安徽铜陵高一期中)已知向量a＝(－2，2)，b＝(1，3)，则(a－b)·(a＋b)＝(　　) A．4　　　 B．2　　　 C．－2　　　 D．－4 解析　∵a＝(－2，2)，b＝(1，3)， ∴a－b＝(－3，－1)，a＋b＝(－1，5)， ∴(a－b)·(a＋b)＝－3×(－1)＋(－1)×5＝－2. 答案　C (2)在边长为6的正方形ABCD中，点E为DC的中点，点F在边BC上且＝，则·＝(　　) A．18 B．24 C．30 D．42 解析　建立平面直角坐标系如图所示，易知A(0，0)，E(3，6)，F(6，2)， 所以＝(3，6)，＝(6，2)，所以·＝3×6＋6×2＝30. 答案　C 题型二　向量的夹角(垂直)、模长问题多维探究 角度1　向量的模的问题 　(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，1)，则＝(　　) A． B．4 C． D．6 [解析]　因为a＝(2，1)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(5，1)， 所以＝＝，故选C． [答案]　C (2)已知向量a＝(1，m)，b＝(－1，0)，且＝a·b＋6，则＝(　　) A． B．2 C． D．2 [解析]　因为向量a＝(1，m)，b＝(－1，0)，所以a－b＝(2，m)，a·b＝－1， 又＝a·b＋6，所以＝5，解得m2＝21， 所以＝＝，故选C． [答案]　C 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则|a|＝. 角度2　向量的夹角与垂直问题 　(1)(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B． “x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D． “x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 [解析]　对于 A，当a⊥b时，则a·b＝0， 所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或－3，即必要性不成立，故A错误； 对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确； 对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误； 对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误． [答案]　C (2)(2024·湖北黄冈高一期中)已知A(3，－2)，B(－1，－5)，C(1，2)，则cos ∠BAC＝(　　) A． B．－ C． D．－ [解析]　A(3，－2)，B(－1，－5)，C(1，2)，则＝(－4，－3)，＝(－2，4)， cos ∠BAC＝＝＝－. [答案]　B [素养聚焦]　在计算向量的夹角和模长的过程中，提升数学运算核心素养． 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a·b及|a||b|，再由cos 〈a，b〉＝＝直接求出cos 〈a，b〉． (2)注意事项：利用三角函数值cos 〈a，b〉求〈a，b〉的值时，应注意角〈a，b〉的取值范围是0°≤〈a，b〉≤180°.利用cos 〈a，b〉＝判断〈a，b〉的值时，要注意cos 〈a，b〉＜0时，有两种情况：一是〈a，b〉是钝角，二是〈a，b〉为180°；cos 〈a，b〉＞0时，也有两种情况：一是〈a，b〉是锐角，二是〈a，b〉为0°. [触类旁通] 2．(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　) A． B． C． D． (2)已知2a－b＝(－1，)，c＝(1，)，且a·c＝3，|b|＝4，则b与c的夹角为________． 解析　(1)设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)， ∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 联立①②解得x＝－，y＝－. (2)(2a－b)·c＝2a·c－b·c ＝(－1，)·(1，)＝2. ∵a·c＝3，∴b·c＝4. ∴cos 〈b，c〉＝＝＝. 故〈b，c〉＝60°. 答案　(1)D　(2)60° 题型三　数量积、坐标表示的综合应用 　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [证明]　证法一　设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝(b＋)·(－a＋) ＝－a2－a·b＋ ＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 证法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 向量法解决平面几何问题的两种方法 用向量法解决平面几何问题，一般来说有两种方法： (1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． [触类旁通] 3．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________． 解析　建立平面直角坐标系如图所示．设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，A(2，0)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y). ∴|＋3|2＝25＋(3b－4y)2(0≤y≤b)， 当y＝b时，|＋3|最小，|＋3|min＝5. 答案　5 [缜密思维提能区]　易错辨析 利用〈a，b〉为钝角推得a·b＜0致错 [典例]　设平面向量a＝(－2，1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　) A．∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C． D． [错解]　由a与b的夹角为钝角，得a·b＜0， 即－2λ－1＜0，解得λ＞－. [错因分析]　a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a与b的夹角为平角的情况舍去． [正解]　a·b＜0⇒(－2，1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－. 又设b＝ta(t＜0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)， 所以t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线， 所以λ∈∪(2，＋∞).故选A． [答案]　A [纠错心得] 设a，b均是非零向量 (1)〈a，b〉为锐角是a·b＞0的充分不必要条件． (2)a·b＞0⇔，a·b＜0⇔〈a，b〉∈. 知识落实 技法强化 (1)向量数量积的坐标表示． (2)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇒x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝(θ为非零向量a(x1，y1)，b(x2，x2)的夹角). (4)向量数量积在平面几何中的应用． (1)本节课应用了化归与转化、数形结合的思想方法． (2)两向量夹角的余弦公式易记错． 学科网（北京）股份有限公司 $$