7.3.4 正切函数的性质与图象（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

7．3.4　正切函数的性质与图象 学业标准 学科素养 1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(重点) 2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(重点、难点) 1．通过正切函数性质的学习，培养数学运算、数学抽象等核心素养． 2．根据正切函数图象与性质的关系，提升直观想象等核心素养． 导学1　正切函数的性质 　正切函数y＝tan x的定义域是什么？ [提示]　. 　诱导公式tan (π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan (kπ＋x)(k∈Z)与tan x的关系怎样？ [提示]　周期性．tan (kπ＋x)＝tan x(k∈Z). 　诱导公式tan (－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？ [提示]　奇偶性． 　从正切线上观察，正切函数值在上是增大的吗？ [提示]　是的． ◎结论形成 正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 ____ 值域 __R__ 最小正周期 __T＝π__ 奇偶性 __奇函数__ 单调性 在每个开区间__(k∈Z)__上都是增函数 零点 kπ(k∈Z) 对称中心 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为__(k∈Z)__ 导学2　正切函数的图象 　我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan x，x∈的简图吗？怎样画？ [提示]　能，三个关键点：，(0，0)，，两条平行线：x＝，x＝－. ◎结论形成 1．正切函数的图象 2．正切函数的图象特征 正切曲线是被与y轴平行的一系列直线__x＝＋kπ，k∈Z__所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝tan x在其定义域上是增函数．(　　) (2)函数y＝tan 2x的周期为π.(　　) (3)正切函数y＝tan x无单调递减区间．(　　) (4)函数y＝2tan x，x∈的值域是[0，＋∞).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝2tan 的最小正周期是(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．π 解析　T＝＝. 答案　B 3．函数y＝tan x＋是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 解析　函数的定义域是， 且tan (－x)＋＝－tan x－ ＝－， 所以函数y＝tan x＋是奇函数． 答案　A 4．函数f(x)＝tan 的单调增区间是(　　) A．，k∈Z B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 解析　由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z， 故f(x)的单调增区间是，k∈Z. 答案　C 题型一　正切函数的定义域、值域问题 　(1)函数y＝的定义域为________． (2)若x∈，求函数y＝tan 的值域． [解析]　(1)要使函数y＝有意义，必须且只需 所以函数的定义域为. (2)∵－＜x＜，∴－＜2x－＜，即tan ＜1， 故函数的值域为(－∞，1). [答案]　(1) (2)(－∞，1) [素养聚焦]　在求解正切函数的定义域和值域的过程中，体现的数学核心素养为数学抽象、数学运算． (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z. (2)求值域要用换元的思想，把tan x看作可取任意实数的自变量，一是要注意x的范围，再确定tan x的范围． [触类旁通] 1．函数y＝tan 的定义域为(　　) A． B． C． D． 解析　令2x－≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋kπ，k∈Z，故选A． 答案　A 题型二　正切函数单调性的应用 　(1)已知函数y＝－2tan ，则(　　) A．递增区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z B．递增区间为(6k－1，6k＋5)，k∈Z C．递减区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z D．递减区间为(6k－1，6k＋5)，k∈Z [解析]　由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，解得6k－5<x<6k＋1，k∈Z. 因此，函数y＝－2tan 的单调递减区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z. [答案]　C (2)已知实数a＝tan ，b＝tan ，c＝tan ，试比较a，b，c的大小． [解析]　实数a＝tan ＝tan >0， b＝tan ＝tan >0，c＝tan ＝tan <0， 而函数y＝tan x在区间上单调递增，因为>>>0，所以tan >tan >0， 即0<b<a，所以a>b>c. 1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋(k∈Z)，求得x的范围即可． (2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．比较正切值的大小 第一步：运用三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上； 第二步：运用正切函数的单调性比较大小关系． [触类旁通] 2．不等式tan ＜1的解集为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析　依题意，得－＋kπ＜x＋＜＋kπ(k∈Z)，解得－＋kπ＜x＜－＋kπ，k∈Z， 所以不等式tan ＜1的解集为(k∈Z). 答案　A 题型三　正切函数的综合应用一题多变 　设函数f(x)＝tan . (1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图． [解析]　(1)∵ω＝， ∴最小正周期T＝＝＝2π. 令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是(k∈Z)， (2)令－＝0，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝－. ∴函数y＝tan 的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图所示). [母题变式] (变条件、变结论)把例3中的函数换为“y＝|tan x|”，并根据其图象判断其单调性、奇偶性、周期性． 解析　由y＝|tan x|得， y＝ 其图象如图所示： 由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数． 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 函数y＝|tan x|的单调递增区间(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z). (1)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可． (2)作出函数y＝|f(x)|的图象的一般方法 ①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分； ②将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折． [触类旁通] 3．(多选题)已知函数f(x)＝tan ，则下列叙述正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点对称 B．函数f(x)在上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数y＝|f(x)|是偶函数 解析　f＝tan 0＝0，A正确； 当x∈时，x＋∈，此时f(x)单调递增，B正确； 函数y＝tan x的图象不是轴对称图形，函数f(x)的图象是由y＝tan x的图象向左平移个单位长度得到的，所以其图象也不是轴对称图形，C错误； 因为＝0，但不存在，D错误，故选AB． 答案　AB [缜密思维提能区]　易错辨析 三角函数图象的应用 [典例]　当x∈时，方程tan x－sin x＝0实根的个数为________． [错解]　同一平面直角坐标系中作出y＝tan x与y＝sin x在内的图象如图所示，两图象有5个交点，所以方程tan x－sin x＝0有5个根． [错因分析]　没有比较x∈时，y＝tan x与y＝sin x的大小． [正解]　将方程变形为tan x＝sin x，作y＝tan x，y＝sin x在上的图象，则两图象交点的个数就是原方程根的个数．在同一坐标系内画出y＝tan x与y＝sin x的图象，根据图象判断交点个数．在同一平面直角坐标系中，首先作出y＝sin x与y＝tan x在内的图象，需明确x∈时，有sin x＜x＜tan x(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明)，然后利用对称性作出x∈时的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点．所以方程有3个根． [答案]　3 [纠错心得] 数形结合法求解问题的关键是准确地画出图象． 知识落实 技法强化 (1)正切函数的定义． (2)正切函数的定义域、周期性与奇偶性． (3)正切函数的单调性与值域． (4)正切函数的图象． (1)本节课应用了三点两线法、整体代换法、换元法的思想方法． (2)注意正切函数的最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $$