7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质及应用（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第2课时　正弦型函数的性质及应用 学业标准 学科素养 1．能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定其解析式．(重点) 2．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质并能应用．(重点、难点) 1．在求正弦型函数解析式的过程中，培养直观想象等核心素养． 2．通过正弦型函数性质的应用，提升数学运算等核心素养． 导学　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 　探究函数y＝sin 的定义域，值域，单调递增区间． [提示]　定义域为R，值域为[－1，1]. 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，(k∈Z) 即函数的增区间为，k∈Z. 　探究函数y＝sin 的周期，对称轴． [提示]　周期T＝＝π， 由2x－＝kπ＋，解得x＝＋，k∈Z. 故函数的对称轴为x＝＋，k∈Z. ◎结论形成 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中各参数的物理意义 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)的性质 定义域 __R__ 值域 __[－A，A]__ 周期性 __T＝__ 奇偶性 φ＝__kπ(k∈Z)__时是奇函数；φ＝__＋kπ(k∈Z)__时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数 单调性 单调增区间可由__2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)__得到，单调减区间可由__2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)__，得到(ω＞0) 对称性 对称轴方程为x＝__＋－(k∈Z)__， 对称中心为__(k∈Z)__ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数在定义域内是偶函数．(　　) (2)正弦函数在定义域内都是单调函数．(　　) (3)存在x∈R满足sin x＝.(　　) (4)在区间[0，2π]上，函数y＝sin x仅当x＝时取得最大值1.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是(　　) A．3π，，　　　　　　 B．6π，， C．3π，3，－ D．6π，3， 解析　周期T＝＝6π， 振幅，初相为，故选B． 答案　B 3．函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝ 解析　代入验证：当x＝－时，y＝sin ＝－为最小值，故选C． 答案　C 4．简谐运动y＝sin 的频率f＝________． 解析　周期T＝＝6，则频率f＝＝. 答案　 题型一　正弦型函数的周期性、奇偶性一题多变 　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A．y＝sin |2x|　　 　 B．y＝|sin x| C．y＝cos D．y＝cos (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　) A．－　　 B． C．－　　 D． [解析]　(1)y＝sin |2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝cos ＝－sin x是奇函数且周期为2π，y＝cos ＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.故选D． (2)f＝f＝f＝f ＝f＝f＝sin ＝. [答案]　(1)D　(2)D [母题变式] 1．(变条件)若将例1(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？ 解析　f＝f＝f＝f ＝f＝－f＝－sin ＝－. 2．(变结论)若例1(2)题条件不变，求f＋f的值． 解析　f＝f＝f ＝sin ＝， f＝f＝f ＝f＝f＝sin ＝， 所以f＋f＝＋＝. [素养聚焦]　在综合利用三角函数的周期性和奇偶性计算函数值的过程中，体现了数学运算核心素养． 求函数最小正周期的常用方法 求三角函数的周期，一般有两种方法：①公式法，即将函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式，再利用T＝求得；②图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期. [触类旁通] 1．(1)设函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性(　　) A．与ω有关，且与φ有关 B．与ω有关，且与φ无关 C．与ω无关，且与φ无关 D．与ω无关，但与φ有关 解析　当φ＝0时，f(x)＝sin ωx，f(－x)＝sin (－ωx)＝－sin ωx＝－f(x)，f(x)是奇函数， 当φ＝时，f(x)＝sin ＝cos ωx，f(－x)＝cos (－ωx)＝cos ωx＝f(x)，f(x)是偶函数， 当φ＝时，f(x)＝sin ，f(0)＝sin ＝≠0，f(x)不是奇函数， f＝sin ＝，f＝sin ＝－≠f，因此f(x)不是偶函数， 即f(x)既不是奇函数也不是偶函数．所以奇偶性与φ有关，与ω无关，故选D． 答案　D (2)设函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期是________． 解析　由于f(x)在区间上具有单调性，则－≤T，所以T≥， 由f＝f可知，函数f(x)的一条对称轴为x＝＝， 又f＝－f， 则f(x)有对称中心， 从而T＝4＝. 答案　 题型二　正弦型函数图象的对称性 　(1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) (2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin ＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1　　　 B．　　　 C．　　　 D．3 [解析]　(1)函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin ＝2sin ，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求图象的对称轴为x＝＋(k∈Z). (2)由函数的最小正周期T满足<T<π，得<<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，所以ω＝－＋k，k∈Z，所以ω＝，f(x)＝sin ＋2，所以f＝sin ＋2＝1. [答案]　(1)B　(2)A 正弦型函数对称轴、对称中心的求法 函数 对称轴 对称中心 y＝A sin (ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求对称 中心的横坐标 [触类旁通] 2．(2024·山东济南高一期中)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析　A选项，y＝sin 的最小正周期为T＝＝π， 且当x＝时，y＝sin ＝1，故图象关于直线x＝对称，A正确； B选项，y＝sin 的最小正周期为T＝＝4π，B错误； C选项，当x＝时，y＝sin ＝，故图象不关于直线x＝对称，C错误； D选项，当x＝时，y＝sin ＝0，故图象不关于直线x＝对称，D错误． 答案　A 题型三　正弦型函数的综合应用 　已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值． [解析]　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称． 所以f(x)在x＝0时取得最值． 即sin φ＝1或sin φ＝－1. 依题设0≤φ≤π，解得φ＝. 由f(x)的图象关于点M对称， 可知sin ＝0， 所以ω＋＝kπ(k∈Z)， 因为ω＞0，所以k≥1， 又f(x)在上是单调函数， 所以T≥π，即≥π， 又ω＞0，所以0＜ω≤2. 所以当k＝1时，ω＝； 当k＝2时，ω＝2. 所以φ＝，ω＝2或. 正弦型函数性质的应用 (1)应用范围：主要围绕着函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查． (2)解决方法：有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的问题，充分利用正弦曲线的基本性质，要特别注意整体代换思想的运用． [触类旁通] 3．(2024·湖北孝感高一期中)已知函数f(x)＝sin ，x∈R . (1)求f(x)的最大值和对应x的取值； (2)求f(x)在的单调递增区间． [解]　(1)∵f(x)＝sin ，x∈R，函数取最大值满足：2x＋＝＋2kπ，k∈Z， 可得x＝＋kπ，k∈Z，∴当x＝＋kπ，k∈Z时，函数f(x)有最大值. (2)函数在R上的增区间满足：－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 又x∈，∴函数f(x)的单增区间为. [缜密思维提能区]　易错辨析 正弦型函数的单调性 [典例]　求函数y＝2sin 的单调区间． [错解]　当－＋2kπ≤－x≤＋2kπ时， y单调递增，当＋2kπ≤－x≤＋2kπ时， y单调递减，所以y的单调递增区间为，单调递减区间为. [错因分析]　忽略了“ω”的正负和“k∈Z”的条件，当y＝A sin (ωx＋φ)中ω＜0时，错以为ω为负值对单调性没有影响． [正解]　y＝2sin 化为 y＝－2sin . 因为y＝sin u(u∈R)的单调递增区间、单调递减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z)， 所以函数y＝－2sin 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定． 2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z). 故函数y＝2sin 的单调递增区间、单调递减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z). [纠错心得] 正确应用复合函数单调性规律“同增异减”是求解此类问题的关键．注意整体思想的应用，视“ωx＋φ”为一个整体，结合正弦函数的性质解题． 知识落实 技法强化 (1)由图象求解析式． (2)正弦型函数的性质：周期性、单调性、最值、对称性． (3)正弦型函数性质与图象的综合应用． (1)本节课应用了整体代换、数形结合、转化的思想方法． (2)注意单调区间不要漏写k∈Z，用并集符号连接，由图象求解析式中的φ时，选择点时不要出错． 学科网（北京）股份有限公司 $$