7.3.1 正弦函数的性质与图象（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

§7.3　三角函数的性质与图象 7．3.1　正弦函数的性质与图象 学业标准 学科素养 1．了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．(难点) 2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调区间和最值，并能利用正弦函数的图象和性质解决相关问题．(重点、难点) 1．通过正弦曲线的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过正弦函数性质与图象的应用，提升直观想象等核心素养． 导学1　正弦函数的性质 　前面我们学过正弦线，你能利用正弦线(如图)探究正弦函数y＝sin x性质吗？ (1)研究y＝sin x的值域？ [提示]　由正弦线看出，||≤1，故y＝sin x∈[－1，1]. (2)研究函数y＝sin x的奇偶性？ [提示]　因为函数的定义域为R且sin (－x)＝－sin x，所以y＝sin x是奇函数． (3)研究函数的周期性？ [提示]　∵sin (2kπ＋x)＝sin x(k∈Z) ∴2kπ是y＝sin x的周期． (4)研究函数y＝sin x，x∈的单调性． [提示]　由正弦线可以看出，y＝sin x在递增，在递减． (5)求函数y＝sin x的零点． [提示]　由sin x＝0得x＝kπ(k∈Z). ◎结论形成 1．周期函数 (1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数T__，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，__非零常数T__称为这个函数的周期． (2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个__最小的正数__就称为f(x)的最小正周期． 2．正弦函数的性质 性质 定义域 __R__ 值域 __[－1，1]__ 最值 当__x＝＋2kπ，k∈Z__时，ymax＝1； 当__x＝＋2kπ，k∈Z__时，ymin＝－1 奇偶性 __奇__函数，图象关于__原点__对称 周期性 周期函数，最小正周期T＝__2π__ 单调性 在____(k∈Z)上是递增的； 在____(k∈Z)上是递减的 零点 __kπ(k∈Z)__ 导学2　正弦函数的图象 　利用描点法结合y＝sin x的性质，能否画出y＝sin x在[－π，π]上的图象？ [提示]　能，利用奇函数，先作x∈的图象，再利用单调性，合理描点，就可以作出[0，π]上的图象，再利用对称性就可以画出x∈[－π，π]上的函数图象． ◎结论形成 正弦曲线及其对称性 图象 对称轴 轴对称图形，对称轴为__x＝＋kπ，k∈Z__ 对称中心 中心对称图形，对称中心为__(kπ，0)，k∈Z__ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x既是轴对称图形又是中心对称图形．(　　) (2)是y＝sin x图象的最高点．(　　) (3)任何周期函数都有最小正周期．(　　) (4)若存在非零常数x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，那么T是f(x)的周期．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．下列图象是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　) 解析　由y＝sin x在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项． 答案　D 3．正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象的一条对称轴是(　　) A．y轴　　　　　　　 B．x＝ C．直线x＝π D．x轴 答案　B 4．在下列区间中，使y＝sin x为增函数的是(　　) A．[0，π] B． C． D．[π，2π] 解析　因为函数y＝sin x的单调增区间是，k∈Z，故当k＝0时，即为，故选C． 答案　C 题型一　用“五点法”作函数的图象 　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． [解析]　按五个关键点列表 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示． [素养聚焦]　在“五点法”作图的过程中，体现了直观想象的核心素养． 用“五点法”画函数y＝A sin x＋b(A≠0)在[0，2π]上的简图的步骤： (1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 A sin x＋b b A＋b b －A＋b b (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，b)，，(π，b)，，(2π，b). (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． [触类旁通] 1．用五点法作出y＝1－2sin x，x∈[－π，π]上的简图． 解析　按五个关键点列表 x －π － 0 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点连线得： 题型二　利用正弦函数单调性比较大小 　比较下列各组数的大小： (1)sin 194°和cos 160°； (2)sin 和sin . [解析]　(1)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°. 从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2)∵sin ＝sin ＝sin ， sin ＝sin ＝sin ， 且y＝sin x在区间上单调递增，－＜－＜＜， ∴sin ＞sin ，∴sin ＞sin . 利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法 (1)同名函数，若两角在同一单调区间，直接利用单调性得出，若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较． (2)异名函数，先应用诱导公式转化为同名函数，然后再比较． [触类旁通] 2．(2024·湖南岳阳高一月考)已知a＝sin ，b＝sin ，c＝sin ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　 B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 解析　c＝sin ＝sin ， ∵0＜＜＜＜， 又∵y＝sin x在单调递增， ∴sin ＜sin ＜sin ，即b＜c＜a. 答案　C 题型三　利用正弦函数性质求函数的值域一题多变 　求下列函数的值域： (1)y＝5cos －1，x∈； (2)y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈. [解析]　(1)y＝5cos －1 ＝－5sin x－1. ∵y＝sin x在递增，在上递减 ∴sin π≤sin x≤sin ，即0≤sin x≤1 故－6≤－5sin x－1≤－1， 即函数的值域为[－6，－1]. (2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3 ＝2sin2x＋2sinx＋1＝2＋. 令sin x＝t，∵x∈，∴≤t≤1. ∴ymax＝2＋＝5； ymin＝2＋＝. 故所求函数的值域为. [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例(1)变为：求y＝m sin x－1(m≠0)，x∈的最大值． 解析　∵x∈，∴－≤sin x≤0 当m＞0时，sin x＝0时，y最大＝－1. 当m＜0时，sin x＝－时，y最大＝－－1. 2．(变条件、变结论)本例(2)变为：求函数y＝sin2x－sinx＋1，x∈的值域． 解析　y＝sin2x－sinx＋1＝＋， 又x∈，∴sin x∈. 设t＝sin x，则有y＝＋在上递增，∴y∈，即值域为. 求含有正弦函数的式子的最值的常见方法 (1)可化为y＝A sin x＋B(A≠0)的形式，利用正弦函数的性质求最值，必要时对A讨论． (2)转化成关于正弦函数的二次函数的形式，即y＝A sin2x＋B sinx＋C，利用配方法求解． [触类旁通] 3．函数f(x)＝sin 的值域是(　　) A．[－1，1] B． C． D． 解析　由0≤x≤可得－≤2x－≤，所以f(x)∈，故选B． 答案　B [缜密思维提能区]　规范答题 正弦函数的综合应用 [典例]　(13分)作出函数y＝|sin x|的图象： (1)由图象分析该函数的值域，周期性； (2)写出该函数的单调区间； (3)判断该函数的奇偶性，并给予证明． [规范解答]　∵y＝|sin x| ＝ 图象如图所示． (4分) (1)由图可知，该函数的值域为[0，1] 且y＝|sin x|是周期函数，最小正周期为π.(5分) (2)由图象可知，该函数的单调递增区间为(k∈Z)， 单调递减区间为(k∈Z).(9分) (3)由于该图象关于y轴对称， 故该函数为偶函数． 证明如下：令f(x)＝|sin x|， 则f(－x)＝|sin (－x)| ＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)， 故y＝|sin x|是偶函数．(13分) [纠错心得] (1)如果函数图象方便作出，则可以利用函数的图象分析函数的性质，较直观、形象． (2)在处理与正弦函数相关的图象问题时，应首先分析该图象与正弦曲线的关系(如本例中|sin x|的图象是由y＝sin x的图象上不动下翻上作出的)，然后借助于相关性质，如奇偶性作图，可以达到事半功倍的效果． 知识落实 技法强化 (1)正弦函数的奇偶性、单调性、最值、零点． (2)函数的周期性、正弦函数的周期性． (3)正弦曲线及应用． (1)本节课应用了分类讨论、数形结合的思想方法． (2)求形如y＝A sin x＋b(A<0)的单调性时，易忽略A<0的影响． 学科网（北京）股份有限公司 $$