第1章 三角形的初步知识（核心素养提升+中考热点聚焦+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

第1章 三角形的初步知识（核心素养提升+中考热点聚焦+中考能力提升+过关检测） 知识点一、三角形的基本概念  三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。  知识点二、三角形的分类：  1.按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）。 2.按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。  知识点三、三角形的基本性质  1.三角形的内角和是180°。  2.三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）。 三角形的任何两边的差小于第三边 三角形的任何两边之和大于第三边大于两边之差。 应用：知两条确定第三条范围；知三条判断能否组成三角形；知四条及以上  3.三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。  三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和。  知识点四、几条重要的线  1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和 对边中点；三条角平分线都在三角形内且相交于一点；等量关系式∠1=∠2=二分之一∠α ; 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段；三条中线都在三角形内且相交于一点；等量关系式AP=BP=二分之一AB 。等积三角形；周长差三角形 3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段。  锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点。 直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，三条高在三角形的直角顶点处相交于一点。 钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，三条高在三角形的外部相交于一点。 会带来面积问题、直角、直角三角形  4. 线段的垂直平分线(中垂线)：垂直并平分一条线段的直线。  中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。 逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 5. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。  逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 知识点五、全等三角形  1.全等图形：能够完全重合的两个图形。形状相同、大小相等的图形；   2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形。  3. 对应顶点：能够相互重合的顶点； 对应边： 相互重合的边；有公共边的，公共边一定是对应边；  对应角：相互重合的角。有公共角的，角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角；  性质定理：全等三角形的对应角相等，对应边相等。注意“对应”二字。  4.全等三角形的判定条件  SSS——三边对应相等的两个三角形全等；  SAS——一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等；  ASA——两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等； AAS—— 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。  问题：为什么SSA不可以判定？ HL——直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 用符号≌表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。  5.灵活运用全等判定定理 （1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 （2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 （3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。  情况1：已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)  情况2：已知条件中有两边对应相等，可找  ①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)  情况3：已知条件中有一边一角对应相等，可找  ①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS) 知识点六、尺规作图 尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。 1.基本作图 作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、 2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、 3.作三角形 知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高  作法：有规定名称时需格外注意字母的标注 注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。  知识点七、定义、命题与证明 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 4.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线 1、 逻辑推理——构建全等三角形，说明线段相等或者角相等 【例题1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是平分线上的一点，若．试说明：．    【变式1】（23-24八年级·山西太原·期末）如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G． (1)试说明：． (2)猜想之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，点，分别为线段，上两点，连接，交于点． (1)若，，如图1所示，______度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 2、 建模思想——构建方程模型，解决三角形中的角度问题 【例题2】（22-23八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）已知，三个内角的度数之比为，求这个三角形是什么三角形？ 【变式1】（23-24八年级上·河南商丘·期中）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的4倍，这样的三角形我们称之为“四倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“四倍角三角形”． (1)在中，，，是“四倍角三角形”吗？为什么？ (2)若是是“四倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 【变式2】（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是角平分线，和是高，并且；求的各个内角的度数． 【变式3】（21-22八年级上·甘肃庆阳·期中）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的5倍，这样的三角形我们称之为“五倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，36°，24°的三角形是“五倍角三角形”． (1)在ABC中，∠A＝25°，∠B＝30°，ABC是“五倍角三角形”吗？为什么？ (2)若ABC是“五倍角三角形”，且∠C＝40°，求ABC中最小内角的度数． 3、 直观想象——借助图形的几何直观，解决数学问题 【例题3】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）将沿翻折得到，点与点是对应点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是 ． 【变式3】（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．    热点1：以三角板为载体的中考题 【例题1】（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·江苏镇江·中考真题）一副三角板如图放置，，，，则 ． 【变式3】（2013·湖南邵阳·中考真题）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F， （1）求证：CF∥AB， （2）求∠DFC的度数． 热点2：角平分线和线段垂直平分线的性质 【例题2】（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【变式2】（2023·青海·中考真题）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .    【变式3】（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．    热点3：全等三角形的判定定理和性质定理的综合应用 【例题3】（2023·四川甘孜·中考真题）如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是(    )    A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式2】（2023·四川乐山·中考真题）如图，已知与相交于点，，，求证：． 【变式3】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 热点4：尺规作图 【例题4】（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上．    【变式2】（2023·陕西·中考真题）如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）    【变式3】（2023·河南·中考真题）如图，中，点D在边上，且．     (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 一、单选题 1．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 4．（2023·江苏·中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 5．（2024·四川资阳·中考真题）如图，，过点作于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．    7．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，若，则 °．    8．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 3、 解答题 9.（2023·西藏·中考真题）如图，已知，，．求证：．    10．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．      (1)求证：； (2)点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 11．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 12．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为，且____________，____________，则____________． 给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．    一、单选题 1．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列图形中有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知是的中线，且，则等于（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 3．（22-23八年级上·辽宁丹东·期末）如图，是的中线，的周长比的周长大，，则的长为（　　）   A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，是的高线，与交于点F，连接，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的底边长为，这个等腰三角形的腰长为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·广西百色·期中）已知一个三角形的两边长分别为，，则第三边长c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·广东东莞·期末）下列各组数为线段的长，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．1，1，3 C．3，2，7 D．4，4，6 8．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 9．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）请仔细观察用尺规作一个角等于已知角的示意图，我们可以由得到，请你写出的理由 ． 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，其中，则的大小为 度． 13．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）如图，中，是上的高，平分，，，则 度． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 15．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）将两个三角尺如图放置，，，，且点D在上，点B在上，，则的度数为 ． 16．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    17．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则 °． 18．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．    三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 20．（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）如图，，，，求证：． 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D、E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长等于50，求的长． 22．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 23．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中 (1)画出边上的高和角平分线 ． (2)若，，求和的度数． 24．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 25．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，． 求证：． 26．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步知识（核心素养提升+中考热点聚焦+中考能力提升+过关检测） 知识点一、三角形的基本概念  三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。  知识点二、三角形的分类：  1.按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）。 2.按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。  知识点三、三角形的基本性质  1.三角形的内角和是180°。  2.三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）。 三角形的任何两边的差小于第三边 三角形的任何两边之和大于第三边大于两边之差。 应用：知两条确定第三条范围；知三条判断能否组成三角形；知四条及以上  3.三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。  三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和。  知识点四、几条重要的线  1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和 对边中点；三条角平分线都在三角形内且相交于一点；等量关系式∠1=∠2=二分之一∠α ; 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段；三条中线都在三角形内且相交于一点；等量关系式AP=BP=二分之一AB 。等积三角形；周长差三角形 3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段。  锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点。 直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，三条高在三角形的直角顶点处相交于一点。 钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，三条高在三角形的外部相交于一点。 会带来面积问题、直角、直角三角形  4. 线段的垂直平分线(中垂线)：垂直并平分一条线段的直线。  中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。 逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 5. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。  逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 知识点五、全等三角形  1.全等图形：能够完全重合的两个图形。形状相同、大小相等的图形；   2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形。  3. 对应顶点：能够相互重合的顶点； 对应边： 相互重合的边；有公共边的，公共边一定是对应边；  对应角：相互重合的角。有公共角的，角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角；  性质定理：全等三角形的对应角相等，对应边相等。注意“对应”二字。  4.全等三角形的判定条件  SSS——三边对应相等的两个三角形全等；  SAS——一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等；  ASA——两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等； AAS—— 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。  问题：为什么SSA不可以判定？ HL——直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 用符号≌表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。  5.灵活运用全等判定定理 （1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 （2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 （3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。  情况1：已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)  情况2：已知条件中有两边对应相等，可找  ①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)  情况3：已知条件中有一边一角对应相等，可找  ①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS) 知识点六、尺规作图 尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。 1.基本作图 作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、 2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、 3.作三角形 知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高  作法：有规定名称时需格外注意字母的标注 注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。  知识点七、定义、命题与证明 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 4.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线 1、 逻辑推理——构建全等三角形，说明线段相等或者角相等 【例题1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是平分线上的一点，若．试说明：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，过点分别作于点，于点，由角平分线的性质可得，由补角性质可得，进而可证明，即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点分别作于点，于点，      则， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级·山西太原·期末）如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G． (1)试说明：． (2)猜想之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）先证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，交于点，如图： ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接， ，由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，点，分别为线段，上两点，连接，交于点． (1)若，，如图1所示，______度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形全等的判定及性质，正确构造辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． （1）利用同角的余角相等可以得到，根据，即可求出度数； （2）根据角平分线的定义可以得到，，利用三角形的内角和定理可以得到，结合角平分线的定义转化角度即可得到； （3）作的平分线交于点，由，可得，利用ASA可得到，从而得到，同理可得：，即可得到结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 即：， 故答案为： （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， 即： ∴； （3）如图，作的平分线交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即：． 2、 建模思想——构建方程模型，解决三角形中的角度问题 【例题2】（22-23八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）已知，三个内角的度数之比为，求这个三角形是什么三角形？ 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，三角形的分类，根据三个角的度数之比设出未知数是解题的关键．根据三个内角的度数之比设出三个内角的度数，利用三角形的内角和等于列出方程即可求解． 【详解】解：∵三个内角的度数之比为， ∴设三个内角的度数分别为x，，， 由题意可得：, 解得， ∴这三角形三个内角的度数分别为，，， ∴这个三角形是直角三角形； 【变式1】（23-24八年级上·河南商丘·期中）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的4倍，这样的三角形我们称之为“四倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“四倍角三角形”． (1)在中，，，是“四倍角三角形”吗？为什么？ (2)若是是“四倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 【答案】(1)是“四倍角三角形”；理由见解析； (2)或． 【分析】本题是新定义问题，考查了三角形内角和定理． （1）由三角形内角和可求第3个内角为，由“四倍角三角形”定义可求解； （2）分两种情况讨论，由“四倍角三角形”定义可求解． 【详解】（1）解：是“四倍角三角形”．理由： ∵，， ∴， ∴是“四倍角三角形”； （2）解：∵，， 设最小的角为， 当时，； 当时，， ∴中最小内角为或 【变式2】（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是角平分线，和是高，并且；求的各个内角的度数． 【答案】， 【分析】设，则，由三角形的内角和定理结合角平分线及高的定义可求，列出方程，求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，高线，三角形的内角和定理，灵活运用相关定理是解题的关键． 【变式3】（21-22八年级上·甘肃庆阳·期中）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的5倍，这样的三角形我们称之为“五倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，36°，24°的三角形是“五倍角三角形”． (1)在ABC中，∠A＝25°，∠B＝30°，ABC是“五倍角三角形”吗？为什么？ (2)若ABC是“五倍角三角形”，且∠C＝40°，求ABC中最小内角的度数． 【答案】(1)ABC是“五倍角三角形”，见解析 (2)8°或（23）° 【分析】（1）由三角形内角和可求第3个内角为125°，由“五倍角三角形”定义可求解； （2）分两种情况讨论，由“五倍角三角形”定义可求解． 【详解】（1）△ABC是“五倍角三角形”，理由如下： ∵∠A＝25°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣25°﹣30°＝125°＝25°×5， ∴△ABC是“五倍角三角形”； （2）∵∠C＝40°， ∴∠A+∠B＝140°， 设最小的角为x， ①当40°＝5x时，x＝8°， ②当x+5x＝140°时，x＝（23）°， 答：△ABC中最小内角为8°或（23）°． 【点睛】本题是新定义问题，考查了三角形内角和定理，理解“三倍角三角形”定义，并能运用是本题的关键． 3、 直观想象——借助图形的几何直观，解决数学问题 【例题3】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）将沿翻折得到，点与点是对应点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形折叠的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）是解题的关键． 首先由图形折叠性质得，再利用三角形外角的性质求出再利用角的和差求解即可，． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴， ∴ 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由翻折得，由，得到，再根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：由折叠的性质得到， 根据外角的性质得： ，如图， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．    【答案】 【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，则，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 热点1：以三角板为载体的中考题 【例题1】（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B 【变式1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（2022·江苏镇江·中考真题）一副三角板如图放置，，，，则 ． 【答案】105 【分析】根据平行性的性质可得，根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ，， ， ， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3】（2013·湖南邵阳·中考真题）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F， （1）求证：CF∥AB， （2）求∠DFC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）105° 【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF； （2）利用三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：（1）证明：∵CF平分∠DCE， ∴∠1=∠2=∠DCE． ∵∠DCE=90°， ∴∠1=45°． ∵∠3=45°， ∴∠1=∠3． ∴AB∥CF． （2）∵∠D=30°，∠1=45°， ∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°． 【点睛】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是本题的解题关键． 热点2：角平分线和线段垂直平分线的性质 【例题2】（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 【变式1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 【变式2】（2023·青海·中考真题）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .    【答案】13 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式3】（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD． 【详解】解：连接AC， ∵AE=AF，CE=CF，AC=AC， ∴△ACE≌△ACF（SSS）， ∴∠CAE=∠CAF， ∵∠B=∠D=90°， ∴CB=CD．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等． 热点3：全等三角形的判定定理和性质定理的综合应用 【例题3】（2023·四川甘孜·中考真题）如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可． 【详解】解：A、不能证明△，故此选项不合题意； B、由可得，，可利用证明，故此选项符合题意； C、不能证明，故此选项不合题意； D、不能证明，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键 【变式1】（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 【变式2】（2023·四川乐山·中考真题）如图，已知与相交于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是灵活运用全等三角形的判定定理与性质．由平行线的性质可得，，利用即可判定，从而得． 【详解】证明：， ，， 在和中， ， ， ． 【变式3】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 热点4：尺规作图 【例题4】（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立； （2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）解：所作图形如图， ．   【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键 【变式1】（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上．    【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点． 【详解】解：如图，点P为所作．    【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 【变式2】（2023·陕西·中考真题）如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件． 【详解】解：如图，点即为所求．    【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质 【变式3】（2023·河南·中考真题）如图，中，点D在边上，且．     (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，    （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键 一、单选题 1．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 故的值可选5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 4．（2023·江苏·中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵直尺的两边平行， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 5．（2024·四川资阳·中考真题）如图，，过点作于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】∵过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 可得， 故选． 二、填空题 6．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或 【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定． 【详解】解：∵在与中，，， ∴添加，则； 或添加，则； 或添加，则； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，若，则 °．    【答案】/55度 【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 3、 解答题 9.（2023·西藏·中考真题）如图，已知，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】先由题意可证，可得，再根据等式的性质即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 10．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．      (1)求证：； (2)点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析     ② 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键． （1）可证得，结合，即可证明结论． （2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案． 【详解】（1）∵，，， ∴． 在和中 ∴． （2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．      ②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知． 故答案为：． 11．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2)见解析 【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 12．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为，且____________，____________，则____________． 给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．    【答案】②③，①或①②，③；证明见详解 【分析】情况一：根据题意补全图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质可得出，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答； 情况二：根据题意补全部图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质可得出，再利用全等三角形的判定与性质可知，最后利用角平分线的定义及全等三角形的判定与性质即可解答． 【详解】情况一：，， 证明：根据题意补全图形如图所示：   ∵垂直平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分； 故答案为：． 情况二：，， 证明：根据题意补全图形如图所示： ∵垂直平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：②③，①或①②，③ 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列图形中有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解答本题的关键．由题意直接根据三角形具有稳定性对各个选项进行分析判断即可． 【详解】解：观察选项可知只有C选项的图形是由2个三角形构成的，即有稳定性． 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知是的中线，且，则等于（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】解：是的中线，且， ， 故选：B． 3．（22-23八年级上·辽宁丹东·期末）如图，是的中线，的周长比的周长大，，则的长为（　　）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线得到，进而推出两个三角形的周长的差为，即可得出结果． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， ∵， ∴； 故选C． 4．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，是的高线，与交于点F，连接，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及高线的性质，延长交于点H，根据三角形三条高交于一点，可知是的一条高，进而可求解的度数． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵是高线，且三角形三条高线交于一点， ∴是中边上的高线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的底边长为，这个等腰三角形的腰长为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形的三边长关系即可求得的取值范围． 【详解】解：∵等腰三角形的底边长为，等腰三角形的两腰长相等， ∴两腰之和大于，即， 即， ∵等腰三角形的两腰之差为， ∴只要等腰三角形的腰长满足，即可组成三角形． 故选C． 6．（22-23八年级上·广西百色·期中）已知一个三角形的两边长分别为，，则第三边长c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 故选：C． 7．（23-24八年级上·广东东莞·期末）下列各组数为线段的长，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．1，1，3 C．3，2，7 D．4，4，6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故1，2，3不能组成三角形，不符合题意； B、，故1，1，3不能组成三角形，不符合题意； C、，故3，2，7不能组成三角形，不符合题意； D、，故4，4，6能组成三角形，符合题意； 故选：D． 8．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类，求出最大的内角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形三个内角的度数之比是，三角形的内角和的度数为180度， ∴最大的内角的度数为， ∴这个三角形一定是直角三角形； 故选：A． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的个数问题，掌握不在同一直线上三点可以确定一个三角形成为解题的关键． 根据不在同一直线上三点可以确定一个三角形进行解答即可． 【详解】解：根据图示知，图中的三角形有：，共有5个． 故选：C． 10．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的有关概念，利用等面积法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是斜边上的高， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）请仔细观察用尺规作一个角等于已知角的示意图，我们可以由得到，请你写出的理由 ． 【答案】SSS 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由作图痕迹得，即可解答，熟知判定全等三角形的条件：，是解题的关键。 【详解】 解：由作图痕迹得， 在和中， ， ， ∴． 故答案为：SSS． 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，其中，则的大小为 度． 【答案】25 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应角相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：25． 13．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）如图，中，是上的高，平分，，，则 度． 【答案】10 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内角和定理求解的大小，再由角平分线的性质求解的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求解，最后利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：在中，， ， 平分， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：10． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．首先根据三角形内角和定理得到，然后根据折叠的性质和平行线的性质分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵把沿折叠， ∴， 如图，若， ∴， ∴ ∵把沿折叠， ∴； 如图，若， ∴   ∵把沿折叠， ∴ 综上所述，的大小为或． 故答案为：或． 15．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）将两个三角尺如图放置，，，，且点D在上，点B在上，，则的度数为 ． 【答案】/165度 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的利用平行线的性质，三角形的外角的性质建立角与角之间的数量关系是解本题的关键． 先求解，再证明，再利用三角形的外角的性质求解，再利用邻补角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 17．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则 °． 【答案】100 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用“”判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【详解】解：在和中， ， （）， ， ， 故答案为：100． 18．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．    【答案】． 【分析】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解． 【详解】如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，    ∵点，是内角与外角的三等分线的交点， ∴是的平分线， 又∵，， ∴ ，同理可得， ∴ ， 又∵，， ∴是的平分线， ∵，， ∴， ∵点，是内角与外角的三等分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定， 对于（1），先作辅助线，根据角平分线的性质得，再根据角平分线的判定定理得出答案； 对于（2），结合（1）图，根据大三角形的面积等于3个小三角形的面积列出算式，可得答案． 【详解】（1）证明：过E作于D，于F，于G，   、的角平分线相交于点E， ， 点E在的平分线上； （2）解：、的角平分线相交于点E，点E在的平分线上， 于D，于F，于G， . ，的面积为36， ， . 故答案为：18． 20．（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 由知，结合、，利用“”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D、E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长等于50，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的作图，以及线段的垂直平分线的性质，正确理解的周长是关键． （1）利用尺规作图即可作出； （2）根据线段的垂直平分线的性质可得，则的周长，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求， （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 22．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 23．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中 (1)画出边上的高和角平分线 ． (2)若，，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）根据垂线的基本作图和角的平分线的基本作图，按步骤作图即可． （2）根据三角形内角和定理，直角三角形的特征，计算即可． 本题考查了基本作图，三角形内角和定理，直角三角形的特征，熟练掌握作图和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： 则，即为所求． （2）解：在中，，即，   ∵， ∴； 在中，，， ∴， ∴． 24．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）通过证明，即可求证； （2）先求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 25．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由， 得，由，得， 而， 即可根据证明，得． 【详解】证明：， ， ， ， 又， ， ． 26．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$