基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习

基本不等式 课标解读 1.掌握基本不等式 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用. (1)基本不等式成立的条件:　　　　　　　.  (2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时,等号成立.  (3)其中　　　　称为正数a,b的算术平均数,　　　称为正数a,b的几何平均数.  也叫均值不等式 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a>0,b>0 a=b 知识梳理 2.基本不等式的变形及重要不等式 (1)a2+b2≥　　　(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.  (2)a+b≥ (a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立. (3)ab≤( )2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. 当两个正数的积为定值时,用来求它们和的最小值 当两个实数的和为定值时,用来求它们积的最大值 2ab 3.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0. (1)如果积xy等于定值P,那么当　　　　　时,和x+y有最小值　　　　(简记:积定和最小).  (2)如果和x+y等于定值S,那么当　　　　时,积xy有最大值　　　　(简记:和定积最大).  应用基本不等式求最值时,要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就有可能导致错误. x=y x=y 题型一 　直接利用基本不等式求最值 经典例题 例1 若实数x,y满足x+2y=1,则2x+4y的最小值为　　　　.  题型一 　直接利用基本不等式求最值 经典例题   题型二　变形构造定值—配凑法 经典例题   题型二　变形构造定值—配凑法 经典例题 跟踪训练2 若正实数a,b满足2a+3b=1,则ab的最大值是 .  经典例题   题型三 变形构造定值—常值代换法“1”的代换 例3 已知正实数x,y满足 =1,则2x+y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.9 12   题型三 变形构造定值—常值代换法“1”的代换 经典例题 例4 已知x>0,y>0,xy+2x-y=10,则x+y的最小值为(　　) 题型四 通过消元利用基本不等式求最值 D 经典例题 跟踪训练4 已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则 的最大值为　　　　.  题型四 通过消元利用基本不等式求最值 经典例题 1.基本不等式:. 2 (4)()2≤(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. 2 解： 2x+4y≥2=2=2=2,当且仅当x=2y,即x=,y=时,等号成立,故2x+4y的最小值为2 2 跟踪训练1 已知x<0，求 最大值。 解：∵x<0，∴ 通过变形， ∵ ∴ 当且仅当，即时，等号成立，取得最大值。 例2 当x>1时，求函数y＝x＋eq \f(1,x－1)最小值。 解：通过配项得； 当且仅当 ，即x＝2时，等号成立，取得最小值3. 解：由于ab=(2a·3b))2=()2=,当且仅当2a=3b,即a=,b=时,等号成立,故ab的最大值是 解： 由已知得2x+y=()(2x+y)=4+4+2=8,当且仅当时,等号成立,又=1,所以x=2,y=4,此时2x+y的最小值为8,故选C. 跟踪训练3 已知正数x，y满足x＋y＝1，则eq \f(4,x＋2)＋eq \f(1,y＋1)的最小值为________. 解析：正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4， 则eq \f(4,x＋2)＋eq \f(1,y＋1)＝eq \f(1,4)[(x＋2)＋(y＋1)]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋2)＋\f(1,y＋1))) ＝eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\f(x＋2,y＋1)＋\f(4（y＋1）,x＋2)))≥eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(x＋2,y＋1)·\f(4（y＋1）,x＋2))))＝eq \f(1,4)×(5＋4)＝eq \f(9,4)， 当且仅当x＝2y＝eq \f(2,3)时，取得最小值eq \f(9,4). A.2-1 B.2 C.4 D.4-1 解：因为x>0,y>0,由xy+2x-y=10,得x=,所以x+y=+y=+y+2-1≥2-1=4-1,当且仅当y=2-2时,等号成立,即x+y的最小值为4-1,故选D. 解： 由a2-2ab+9b2-c=0,得c=a2-2ab+9b2,由于2=6,当且仅当,即a=3b时,等号成立,则-2≥4>0,则,故的最大值为 $$