精品解析：2024年四川省广安友谊中学中考模拟数学试题

四川省广安友谊中学2023—2024学年度下期初2021级中考模拟检测试题数学 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．试题卷选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．试题卷非选择题答在答题卡上．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号涂写在答题卡上． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将符合要求的选项的代号填涂到答题卡上相应的位置．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2024 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，直线与交于点O，点A，B，C，D，O都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 某几何体是由四个大小相同小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 在中，若，则是直角三角形 6. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表（有两个数据被遮盖），下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 成绩分 24 25 26 27 28 29 30 人数 1 ■ 3 ■ 6 7 9 A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在平行四边形中，点在上，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了．现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数的自变量x的取值范围是________． 12. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_____． 13. 已知y是关于x的一次函数，点在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式：______． 14. 如图是我国清代康熙年间的八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，正八边形的每一个内角是____________． 15. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，，，那么，的值为____． 16. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有_____． 三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分） 17. 计算：． 18. 先化简，后求值：，然后在，0，1三个数中选一个适合的数，代入求值． 19. 如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点F，交的延长线于点E．求证：． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点． （1）求m的值和一次函数的表达式； （2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标． 四、实践应用（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24每小题8分，共30分） 21. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，杭州某高校大学生积极参与志愿者活动，亚奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）该校参加志愿者活动的大学生共有 　　人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，安保对应的圆心角为 　　度； （3）现有甲、乙、丙、丁4名展示志愿者，亚奥组委决定在这4名展示志愿者中任选2人参加亚运会开幕式，请用列表法或树状图，求甲和乙同时被选中参加开幕式的概率． 22. 某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少． （1）“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元， ①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)； ②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． （参考数据：，，） （1）求图（2）中点B到一楼地面的距离； （2）求日光灯C到一楼地面距离．（结果保留整数） 24. 如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． （1）在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； （2）在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为20； （3）在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； （4）在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 五、推理与论证（9分） 25. 如图，上有A，B，C三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上，且． （1）求证：是切线； （2）若，，求的值． 六、拓展探究（10分） 26. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点，抛物线经过点A，点，且交x轴于另一点． （1）求抛物线解析式； （2）在直线上方抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省广安友谊中学2023—2024学年度下期初2021级中考模拟检测试题数学 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．试题卷选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．试题卷非选择题答在答题卡上．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号涂写在答题卡上． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将符合要求的选项的代号填涂到答题卡上相应的位置．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数．乘积是的两数互为倒数，据此解答即可． 【详解】解：倒数是， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式逐项分析即可. 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，直线与交于点O，点A，B，C，D，O都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点O作于点E，交过点B的平行线于点F，与中间两条平行线分别相交于点G和H，根据题意得到，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E，交过点B的平行线于点F，与中间两条平行线分别相交于点G和H， 根据题意，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形．结合四个选项选出答案． 【详解】解：从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形． 故选：D． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 在中，若，则是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行四边形的性质，正方形的判定，中垂线的判定，三角形的内角和定理以及三角形的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，故原命题为假命题； B、对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形，故原命题为假命题； C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故原命题为真命题； D、在中，若，则，故是锐角三角形，故原命题为真命题； 故选C． 6. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表（有两个数据被遮盖），下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 成绩分 24 25 26 27 28 29 30 人数 1 ■ 3 ■ 6 7 9 A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，出现次数最多的数为众数，排序后位于中间位置的数为中位数（如果中间位置有两个数，则取它们的平均数为中位数），据此进行分析作答即可． 【详解】解：由表格中的数据可知，成绩为25分、27分的人数之和为．成绩为30分的人数最多， ∴成绩的众数是30分． 将这组成绩按从小到大的顺序排列后，第15，16个成绩都是29分， ∴中位数是29分， 故中位数和众数与被遮盖的数据无关． 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 8. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，在平行四边形中，点在上，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积计算、平行四边形性质、菱形的判定等知识，根据圆及平行四边形的性质，可得四边形为一组对角为的特殊的菱形，对角线互相垂直，即可得出圆的半径的长，阴影部分面积可由扇形面积减去三角形面积求得，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，与交于点，如图： ∵点在上， ∵在平行四边形中， ∴四边形为菱形， 又∵ 即为等边三角形， 同理 ∴， ∴ 在中， ， ， 故选：B． 10. 如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了．现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AG，由△ADL∽△GCL列出比例式，整理可得a=3b，然后分别用含b的式子表示出，即可解决问题. 【详解】解：连接AG，点A，L，G在同一直线上， ∴PF=a，AD=a-b，DL=a+b，CL=a-b，CG=b， ∵AD∥CG，∴△ADL∽△GCL， ∴，即， 整理可得：a=3b， PH=， ∴， ， ∴， 故选C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及勾股定理，作出辅助线根据相似三角形的性质得出a=3b是解题关键. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数的自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：一般地从两个角度考虑：分式分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 解答：解：根据题意得到：x-1＞0， 解得x＞1． 故答案为x＞1． 点评：本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆． 12. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根判别式，用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得且， 解得． 故答案为：． 13. 已知y是关于x的一次函数，点在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，开放性试题，答案不唯一，满足条件即可．设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图像经过点，可得的值，综合两者取值即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图像经过点， ∴， ∵随的增大而减小， ∴， 即取负数，当时，函数解析式为． 故答案为：． 14. 如图是我国清代康熙年间的八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，正八边形的每一个内角是____________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，即正多边形所有的内角都相等，所有的外角都相等，且外角和为．先求出该多边形的外角，再求每个内角即可． 【详解】解：∵正八边形的每个外角度数为， 每个内角度数为， 故答案为：． 15. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，，，那么，的值为____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已知条件可知：，每四个一循环，每个循环内的四个数的和为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知：，且，，，， 故每四个一循环，每个循环内的四个数的和为0， ∵， ∴； 故答案为：0． 16. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握相关结论是解题关键．①由图可知抛物线与轴的另一个交点在和之间，进而得抛物线与y轴交点必然位于负半轴，结合开口方向和对称轴可得，即可判断；②根据当时，，即可判断；③当时，;当时，;根据，即可判断；④点和点关于对称轴直线对称，可得，即可判断； 【详解】解：由图可知：抛物线与轴的一个交点在和之间 ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间 ∴抛物线与y轴交点必然位于负半轴 ∴ ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴ ∴，故①正确； 由分析可知：当时， ∵ ∴ ∴ 即：，故②正确； 当时，; 当时，; ∴ 即： ∵ ∴，故③错误； ∵点和点，满足， ∴点和点关于对称轴直线对称 ∴ ∵ ∴ 即：，故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分） 17. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，后求值：，然后在，0，1三个数中选一个适合的数，代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，注意计算的准确性以及分式有意义的条件． 【详解】解：原式 由题意知且， ， 当时，原式． 19. 如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点F，交的延长线于点E．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】四边形是菱形， ，， 在和中， ， ． ， ， ． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点． （1）求m的值和一次函数的表达式； （2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， ， ， 又点，都在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴， ， ∵， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示． ， ． ， 解得． 点P的纵坐标为2或． 将代入得， 将代入得， ∴点或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 四、实践应用（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24每小题8分，共30分） 21. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，杭州某高校大学生积极参与志愿者活动，亚奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）该校参加志愿者活动的大学生共有 　　人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，安保对应的圆心角为 　　度； （3）现有甲、乙、丙、丁4名展示志愿者，亚奥组委决定在这4名展示志愿者中任选2人参加亚运会开幕式，请用列表法或树状图，求甲和乙同时被选中参加开幕式的概率． 【答案】（1）40，见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答． （2）利用样本容量计算出生活类的人数，利用扇形的知识计算求解可得到结论． （3）利用画树状图计算即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键． 【小问1详解】 ∵(人)， ∴联络人数为：（人）， 故答案为：40．补图如下： 【小问2详解】 根据题意，得， 故答案为：． 【小问3详解】 根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，恰好是甲乙的可能性有2种， ∴恰好甲乙的概率是． 22. 某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少． （1）“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元， ①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)； ②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元 （2）①与的函数关系式为；②购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用， （1）设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，根据同样花费元，购进“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可； ②根据购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元， 根据题意得： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 元， 答：“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元； 【小问2详解】 ①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个， 则， 与的函数关系式为； ②∵购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半， ， 解得， ，，是正整数， 当时，最大，最大值为， 答：购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 23. 图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． （参考数据：，，） （1）求图（2）中点B到一楼地面的距离； （2）求日光灯C到一楼地面的距离．（结果保留整数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）过点B作于E，设m，由的坡度为，在Rt中，由勾股定理得，解得，即可得到答案； （2）过点C作于F交于G，过点D作于J交于H，可证得 四边形，四边形是矩形，求出和的长度，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点B作于E，如图： 设m， 的坡度为， , ， 在Rt中，由勾股定理得：， 解得：， ，， 答：B到一楼地面的距离为； 【小问2详解】 过点C作于F交于G，过点D作于J交于H， 由题意知：，， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形是矩形， ，，， 由（1）可知，， ， 在Rt中，， ， ， 答：日光灯C到一楼地面的距离约为． 24. 如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． （1）在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； （2）在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为20； （3）在图3中画：既不中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； （4）在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换，作图轴对称变换，无理数，勾股定理的灵活运用． （1）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8的图形； （2）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为20； （3）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； （4）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 【小问1详解】 如图1所示即为所求； 【小问2详解】 如图2所示即所求； 【小问3详解】 如图3所示即为所求； 【小问4详解】 如图4所示即为所求； 五、推理与论证（9分） 25. 如图，上有A，B，C三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由点是的中点，得到，从而，由是的直径，得到，又由，得到，从而，进而得证是的切线； （2）设，，由勾股定理得到，从而求出x，证明，得出，进而求出，的长，连接，证明，根据相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：点是的中点， ∴， ； 是的直径， ， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：∵在中，，， 设，，则， ∵在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ，，， ，， ， ，即， ， ∵在中，， ， ， ， 连接， ，， ， ， ∵在中，， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合运用相关知识是解题的关键． 六、拓展探究（10分） 26. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点，抛物线经过点A，点，且交x轴于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）当时，四边形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直线求得点A和点，代入抛物线即可求得解析式； （2）根据抛物线解析式求得点，过点M作轴，与交于点N，设，则，利用三角形面积公式求得和，则，结合二次函数的性质知当时，四边形面积最大； （3）由旋转得，，则，，当在抛物线上时，有，当点在抛物线上时，有，求解即可； 【小问1详解】 解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴令，则，那么点, 令，则，解得，那么点, ∵抛物线经过点A，点， ∴，解得， 则抛物线； 【小问2详解】 解：令，则，解得或， 那么，， 过点M作轴，与交于点N，如图， 设，则， ∴， ∵， ∴， 当时， ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为； 【小问3详解】 解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图， ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， 当点在抛物线上时，有， 解得，或， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$