精品解析：2024年广东省中考数学模拟测试卷

广东省2024年中考数学模拟测试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果表示增加，那么表示（ ） A. 增加 B. 增加 C. 减少 D. 减少 2. 下列图标既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展．湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴．湖南红色旅游区（点）2022年接待游客约165000000人次，则165000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，由AB∥CD，可以得到（ ） A. ∠1＝∠2 B. ∠2＝∠3 C. ∠2＝∠4 D. ∠A＝∠C 5. 化简： 的结果为（ ） A. 1 B. a C. D. 6. 关于圆周率的描述中，错误的是（ ） A. 圆周率是一个常数 B. 圆周率是一个无限不循环小数． C. 圆周率是 D. 圆周率是指周长与直径相除所得的商． 7. 如图，管中放置着三根同样绳子AA1、BB1、CC1小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选到同根绳子的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 不等式组解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，为半径，为弦，若，则度数为（ ）        A. B. C. D. 10. 如图字母B所代表的正方形的面积是（　　） A B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式___________ 12. 计算的结果是_________． 13. 一定质量的二氧化碳，其体积V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式，当V=1.9m3时，ρ=________． 14. 如图，若开始输入的的值为正整数，最后输出的结果为144，则所有满足条件的的值____． 15. 如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，则k=________，直线y=kx+k图象必经过________象限． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. 解下列方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 一商场正在销售A、B两种型号的冰箱，已知销售A型冰箱所获利润为2000元时的数量与销售B型冰箱所获利润为2500元时的数量相同，且销售1台B型冰箱的利润比销售1台A型冰箱的利润多50元． （1）分别求出A、B两种型号冰箱每台的销售利润； （2）该商场计划购进这两种型号的冰箱共80台，其中B型水箱的进货量不超过A型冰箱的2倍，则该商店应如何安排进货，才能使销售总利润最大？ 18. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站P，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？请你画出点P．（不写作法，保留痕迹） 20. 如图1，为等边三角形，其边长为3．点，分别在边，上，且，连接，显然有； （1）问题发现 如图2，若将绕点A逆时针旋转一个角度，结论“”仍成立吗?请作出判断，并证明你的结论； （2）问题解决 如图3，在（1）的情形下，当点B，D，E三点正好在一条直线上时，求的长． 21. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示： （1）根据图中信息，下列说法中正确的是______（写出所有正确说法的序号）： ①这名学生上学途中用时都没有超过； ②这名学生上学途中用时在以内的人数超过一半； ③这名学生放学途中用时最短为； ④这名学生放学途中用时的中位数为． （2）已知该校八年级共有名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过的人数； （3）调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. （1）如图①，，点P在的平分线上，．点E，F分别在边，上，且，连接．求线段的最小值； （2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答) 23. 综合与实践 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在正方形中，是对角线上的动点（与点，不重合），连结，过点作，，分别交直线于点，．请说明，并求的值． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）如图2，老师将图1中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，并让同学们提出新的问题． ①“聪聪小组”提出问题：如图2，当，时，求的值；进一步，当时，直线写出的值（用含的代数式表示）． ②“慧慧小组”提出问题：如图3，连结，当，，时，求的长． 请解答这两个问题： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省2024年中考数学模拟测试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果表示增加，那么表示（ ） A. 增加 B. 增加 C. 减少 D. 减少 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，明确“正”和“负"所表示的意义即可解题，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，进行作答即可． 【详解】解：如果表示增加，那么表示减少． 故选：C． 2. 下列图标既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展．湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴．湖南红色旅游区（点）2022年接待游客约165000000人次，则165000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选B 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，由AB∥CD，可以得到（ ） A. ∠1＝∠2 B. ∠2＝∠3 C. ∠2＝∠4 D. ∠A＝∠C 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠2=∠4． 故选C 5. 化简： 的结果为（ ） A. 1 B. a C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算．将原式转化为同分母分式相加，再利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，然后约分即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6. 关于圆周率的描述中，错误的是（ ） A. 圆周率是一个常数 B. 圆周率是一个无限不循环小数． C. 圆周率是 D. 圆周率是指周长与直径相除所得的商． 【答案】C 【解析】 【详解】本题主要考查了圆周率的相关知识，圆周率是圆的周长和直径的比，是一个常数，是无限不循环小数，圆周率，据此逐一判断即可． 【分析】解：A项：圆周率是圆的周长和直径的比，是一个常数，原题干说法正确，不符合题意； B项：圆周率是一个无限不循环小数，原题干说法正确，不符合题意； C项：圆周率约等于3.14，原题干说法错误，符合题意； D项：圆周率是指周长与直径相除所得的商，原题干说法正确，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选到同根绳子的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图，得出所有结果和两人选到同根绳子的结果，即可得出答案． 【详解】如图所示： 共有9种等可能的结果数，两人选到同根绳子的结果有3个， ∴两人选到同根绳子的概率为＝， 故选B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 8. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式解集的确定方法，大小，小大中间找，即可得出解集． 【详解】∵ ∴解集为：. 故选D. 【点睛】此题主要考查了不等式组的解集确定方法，得出不等式解集确定方法是解题关键． 9. 如图，在中，为半径，为弦，若，则的度数为（ ）        A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 10. 如图字母B所代表的正方形的面积是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设字母B所代表的正方形的边长为x，，即可得． 【详解】解：设字母B所代表的正方形的边长为x， ， ， ∴字母B所代表的正方形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式___________ 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】原式＝2x（y2＋2y＋1）＝2x（y＋1）2， 故答案为2x（y＋1）2 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 计算的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的乘法运算，先利用平方差公式进行展开，再通过二次根式的运算法则计算． 【详解】解：． 故答案为：3． 13. 一定质量的二氧化碳，其体积V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式，当V=1.9m3时，ρ=________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可得k=9.5，进而得出V=1.9m3时，ρ的值． 【详解】解：设函数关系式为：V=，由图象可得：V=5，ρ=1.9，代入得： k=5×1.9=9.5， 故V=， 当V=1.9时，ρ=5kg/m3． 故答案为5kg/m3． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，正确得出k的值是解题关键． 14. 如图，若开始输入的的值为正整数，最后输出的结果为144，则所有满足条件的的值____． 【答案】29或6##6或29 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出144，可得方程，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案． 【详解】解：第一个数就是直接输出其结果的：， 解得：， 第二个数是， 解得：； 第三个数是：， 解得：（不合题意舍去）， 第四个数是， 解得：（不合题意舍去） ∴满足条件所有x的值是29或6． 故答案为：29或6． 15. 如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，则k=________，直线y=kx+k的图象必经过________象限． 【答案】 ①. ②. 一、二、三 【解析】 【分析】(1)由△ABC∽△DEF，其相似比为k，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得k的值， (2) 因为直线y=kx+k中k=,所以得解析式，再根据k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交，即可求出直线经过的象限. 【详解】解：（1）∵△ABC∽△DEF，其相似比为k， ∴k== = ， 故答案为k= （2）∵直线y=kx+k中k= ∴直线解析式为：y=x+， ∵k=>0b=>0 ∴该直线经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴， ∴直线y=x+经过一、二、三象限. 故答案为一、二、三 【点睛】本题考查相似三角形的相似比等于对应边的比、一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解题关键：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. 解下列方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （）利用代入消元法即可解答； （）利用加减消元法即可解答； （）利用代入消元法即可解答； （）先化简，利用加减消元法即可解答； 【小问1详解】 解： 把代入得，， 解得， 把代入得，， ∴方程组得解为； 小问2详解】 解： 得， ， 解得， 把代入得，， 解得， ∴方程组得解为； 【小问3详解】 解： 由得，， 把代入得，， 解得， 把代入得，， ∴方程组得解为； 【小问4详解】 解： 方程组化简得，， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴方程组得解为． 17. 一商场正在销售A、B两种型号的冰箱，已知销售A型冰箱所获利润为2000元时的数量与销售B型冰箱所获利润为2500元时的数量相同，且销售1台B型冰箱的利润比销售1台A型冰箱的利润多50元． （1）分别求出A、B两种型号冰箱每台的销售利润； （2）该商场计划购进这两种型号的冰箱共80台，其中B型水箱的进货量不超过A型冰箱的2倍，则该商店应如何安排进货，才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）每台A型冰箱销售利润为200元，每台B型冰箱的销售利润为250元 （2）商店购进27台A型冰箱和53台B型冰箱的销售利润最大 【解析】 【分析】（1）设每台A型冰箱销售利润为a元，则每台B型冰箱销售利润为元，销售A型冰箱所获利润为2000元时的数量与销售B型冰箱所获利润为2500元时的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设购进A型冰箱x台，B型冰箱台，总利润为W元，得出一次函数解析式，即，根据，求出，根据一次函数增减性求出结果即可． 【小问1详解】 解：设每台A型冰箱销售利润为a元，则每台B型冰箱销售利润为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：每台A型冰箱销售利润为200元，每台B型冰箱的销售利润为250元． 小问2详解】 解：设购进A型冰箱x台，B型冰箱台，总利润为W元， 据题意得，， 即， ∵， 解得， ∵，， ∴W随x的增大而减小， ∵，且x为正整数， ∴当时，W取最大值，则， 即商店购进27台A型冰箱和53台B型冰箱的销售利润最大． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，求出一次函数解析式． 18. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号） 【答案】汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米. 【解析】 【分析】试题分析：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解． 【详解】解：过C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°， ∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5． 在Rt△BCD中，∵∠B=45°， ∴BD=CD=5，BC=5． ∴AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）． 答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站P，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？请你画出点P．（不写作法，保留痕迹） 【答案】图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，然后问题可求解 【详解】解：所作点P如图所示： 20. 如图1，为等边三角形，其边长为3．点，分别在边，上，且，连接，显然有； （1）问题发现 如图2，若将绕点A逆时针旋转一个角度，结论“”仍成立吗?请作出判断，并证明你的结论； （2）问题解决 如图3，在（1）的情形下，当点B，D，E三点正好在一条直线上时，求的长． 【答案】（1）仍成立，详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，根据题意证明故可求解； （2）作于点F，由为等边三角形，得到，，利用求出，再根据，即可求解． 【小问1详解】 仍成立． ∵为等边三角形， ∴． 又， ∴为等边三角形． ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 作于点F． ∵为等边三角形． ∴，． ∴，，． 在中，． ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 21. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示： （1）根据图中信息，下列说法中正确的是______（写出所有正确说法的序号）： ①这名学生上学途中用时都没有超过； ②这名学生上学途中用时在以内的人数超过一半； ③这名学生放学途中用时最短为； ④这名学生放学途中用时的中位数为． （2）已知该校八年级共有名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过的人数； （3）调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义． 【答案】（1）①②③ （2） （3）直线的解析式为：；这条直线可近似反映该学校放学途中用时和上学途中用时的变化趋势． 【解析】 【分析】（1）根据图中信息，逐项分析即可求解； （2）根据图中信息，可得上学途中用时超过的学生有1人，用总人数×抽取的学生中上学用时超过学生所占比例；即可求解； （3）先画出近似直线，待定系数法求解即可得到直线的解析式． 【小问1详解】 解：根据在坐标系中点的位置，可知： 这名学生上学途中所有用时都是没有超过的，故①说法正确； 这名学生上学途中用时在以内的人数为：人，超过一半，故②说法正确； 这名学生放学途中用时最段的时间为，故③说法正确； 这名学生放学途中用时的中位数是用时第和第的两名学生用时的平均数，在图中，用时第和第的两名学生的用时均小于，故这名学生放学途中用时的中位数也小于，即④说法错误； 故答案为：①②③． 【小问2详解】 解：根据图中信息可知，上学途中用时超过的学生有1人， 故该校八年级学生上学途中用时超过的人数为（人）． 【小问3详解】 解：如图： 设直线的解析式为：，根据图象可得，直线经过点，， 将，代入，得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 则这条直线可近似反映该学校学生放学途中用时和上学途中用时的变化趋势． 【点睛】本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，求一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. （1）如图①，，点P在的平分线上，．点E，F分别在边，上，且，连接．求线段的最小值； （2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答) 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）过P作于C，作于D，证明，可得，即可得，而，知，故，设，则，过F作于G，有，，由勾股定理得，即知线段的最小值是； （2）当整个水面都被灯光照到时，①C与A重合，F与B重合，设交于K，圆心为O，连接，，，过作于T，由点P是拱桥的中点，，设半径为，则，可得，，求出， ，，，可得，故，，可得是等腰直角三角形，即得，即，同理可得，即，故，这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为；②当E与A重合，D与B重合时，可得，而，可得，同理，故． 【详解】解：（1）过P作于C，作于D，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 过F作于G，如图： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取最小值， ∴线段的最小值是； （2）当整个水面都被灯光照到时， ①C与A重合，F与B重合，设交于K，圆心为O，连接，，，过作于T，如图： ∵点P是拱桥的中点，， ∴O，P，H共线，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 同理可得，即， ∴， ∴这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； ②当E与A重合，D与B重合时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴； ∴这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； 综上所述，这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形，解直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 23. 综合与实践 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在正方形中，是对角线上的动点（与点，不重合），连结，过点作，，分别交直线于点，．请说明，并求的值． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）如图2，老师将图1中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，并让同学们提出新的问题． ①“聪聪小组”提出问题：如图2，当，时，求的值；进一步，当时，直线写出的值（用含的代数式表示）． ②“慧慧小组”提出问题：如图3，连结，当，，时，求的长． 请解答这两个问题： 【答案】（1）证明见解析，1；（2）①，；②． 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质得到，利用垂直的定义推出，，进而得到，即可利用“”证明，再由全等三角形的性质可得的值，即可求解； （2）①根据（1）得到，利用矩形性质和等量代换得到，证明，得到，再证明，利用相似的性质即可得到的值，根据前面同理可得，当时，的值，即可解题； ②过点作于点，过点作于点．利用锐角三角函数和等腰三角形的性质可求的长，由相似三角形的性质可求和的长，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ，， ， 在和中 ，，， ， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ，， 由（1），得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，， ②如答图，过点作于点，过点作于点． ，， ， 又， ， ， ． ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ． 由（2）可知， ． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，矩形的性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等知识，锐角三角函数，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$