精品解析：四川省遂宁中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

四川省遂宁市遂宁中学2024-2025高二上开学考 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则 A. B. C. D. 6. 已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则cos 〈a＋b，a－b〉＝（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示，在平行四边形中，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（　　） A. B. C. D. 10. 我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ） A. 已知，，则 B. 如果，那么 C. 已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则 D. 已知或，，则或 11. 如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点.则（ ） A. B. 点､､､四点共面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，那么“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要"）. 13. 如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是___________. 14. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60 m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是______m. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数； （2）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17. 如图，在正三棱柱中，，D为棱BC的中点． （1）证明：∥平面； （2）求点到平面的距离． 18. 在中，角所对的边分别，已知且. （1）求角的大小； （2）若是的中点，，求面积的最大值. 19. 某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算.该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中. （1）求，并说明的实际意义： （2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省遂宁市遂宁中学2024-2025高二上开学考 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】； ； 原式 . 故选：C 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出关于的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：因为，则，解得，所以所求函数的定义域为． 故选：B 4. 已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】AB可举出反例，C选项，由线面垂直的定义得到结论；D选项，先得到线面垂直，结合面面垂直判定定理得到D错误. 【详解】若，不妨设m在内的投影为，则， 对于选项A：若，，则，结合线面垂直判定定理可知，n不一定垂直， n可能与平行，也可能斜交，故A错误； 对于选项B：若，，此时m与可能相交、平行或m在上，故B错误； 对于选项C：因为，，则， 又，从而，故C正确； 对于选项D：因为，，则， 又，结合面面垂直判定定理可知，，故D错误． 故选：C. 5. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即＝5.5,5出现的次数最多，故＝5，≈5.97 于是得. 考点：统计初步. 6. 已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则cos 〈a＋b，a－b〉＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得|a＋b|，|a－b|，（a＋b）·（a－b），从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解． 详解：因为a＝（3，1），b＝（2，2），所以a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，（a＋b）·（a－b）＝5×1＋3×（－1）＝2，所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B. 7. 如图所示，在平行四边形中，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减法的几何意义将转化为、即可. 【详解】 . 故选：B 8. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积． 棱台下底面积，上底面积， ∴ ． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解 【详解】对于A：的定义域为，且， 所以为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，且，所以为偶函数， 当时，由一次函数的性质可知，在上单调递增， 即在上单调递增，故B正确； 对于C：的定义域为，且， 所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于D：的定义域为，且， 所以为奇函数，故D错误； 故选：BC 10. 我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ） A. 已知，，则 B. 如果，那么 C. 已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则 D. 已知或，，则或 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合新定义判断A、B，应用韦恩图确定判断C，由求集合判断D. 【详解】A：由且，故，错误； B：由且，则，故，正确； C：由韦恩图知：如下图阴影部分， 所以，错误； D：或，则或，正确. 故选：BD 11. 如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点.则（ ） A. B. 点､､､四点共面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用反证法判断A；利用直线平行判断B；利用线面角的定义判断C；利用锥体体积公式判断D. 【详解】对于A，假设，由题意知平面，平面，，又，平面，由长方体性质知与平面不垂直，故假设不成立，故A错误； 对于B，连接，，，由于，分别为，的中点，，又因为长方体，知，，所以点､､､四点共面，故B正确； 对于C，由题意可知平面，为直线与平面所成角，在直角中，，，则，故C正确； 对于D，连接，，，则，利用等体积法知：，故D正确 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，那么“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要"）. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】 根据集合的包含关系直接得到答案. 【详解】，，， 故“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的理解能力，转化为集合的包含关系是解题的关键. 13. 如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是___________. 【答案】3 【解析】 【分析】 先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高. 【详解】半径为的半圆弧长为， 圆锥的底面圆的周长为， 圆锥的底面半径为：，所以圆锥的高：， 故答案为：3. 14. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60 m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是______m. 【答案】30 【解析】 【分析】作出图形，设柱CD的高度为h，结合三角函数得到，，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案. 【详解】如图所示，设水柱CD的高度为h， 在Rt△ACD中，∵，∴， ∵，∴， 又∵B，A，C在同一水平面上， ∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形， 在Rt△BCD中，，∴， 在中，由余弦定理可得， ∴，即，解得， ∴水柱的高度是30 m． 故答案为：30 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数与对数的运算性质化简计算. （2）用诱导公式化简式子，再用把式子转化成一个齐次式，在把分子分母同时除以，就可得到关于的式子，代入即可得到答案. 【详解】（1）. （2）. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数； （2）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1），第80百分位数为86，平均数为74； （2），. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求解； （2）由和组的平均数和方差即可求得总平均数和总方差. 【小问1详解】 ∵每组小矩形的面积之和为1， ∴ 解得： 成绩落在内的频率为． 落在内的频率为． 设第80百分位数为m 由，得，故第80百分位数为86. 设平均数为，由图中数据可知： . 【小问2详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为． 故, . 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23． 17. 如图，在正三棱柱中，，D为棱BC的中点． （1）证明：∥平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 证明：连接交于O，连接OD， 正三棱柱中，易得O为中点，又D为BC的中点， 所以OD∥，因为平面，平面，所以∥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明 （2）由等体积法求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为∥平面，所以C与到平面的距离相等， 由题意得，，， 因为，所以AD⊥DB1， 所以，， 设C到平面ADB1的距离为h，则， 所以，所以， 即点A1到平面AB1D的距离为． 18. 在中，角所对的边分别，已知且. （1）求角的大小； （2）若是的中点，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线坐标满足公式列出方程，结合正弦定理化简，即可得到结果； （2）由，结合向量的模长公式，根据基本不等式以及三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由且得：， 由正弦定理得， 又，即； 【小问2详解】 由，得到， 则，化简得，当且仅当时，等号成立， 面积，即面积的最大值为； 19. 某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算.该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中. （1）求，并说明的实际意义： （2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益. 【答案】（1）；发车时间间隔为分钟时，载客量为 （2）发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元． 【解析】 【分析】（1）将代入函数的解析式，可计算出，结合题意说明的实际意义； （2）求出函数的解析式，分别求出该函数在区间和上的最大值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 ，实际意义为：发车时间间隔为分钟时，载客量为； 【小问2详解】 ， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，当时，取得最大值； 当时，，该函数在区间上单调递减， 则当时，取得最大值． 综上所述，当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $