2024-2025学年安徽九年级上学期第一次月考卷 考试范围：二次函数与反比例函数 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

2024-2025学年安徽九年级上学期第一次月考卷 考试范围：二次函数与反比例函数、共23题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列各点中，在函数y=-图象上的是（　　） A． B． C． D． 2．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（　　） x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 ﹣0.061 ﹣0.04 ﹣0.017 0.0044 0.027 A． B． B． C． D． 4．如图，，两点在双曲线上，分别过，两点向坐标轴作垂线段，若阴影部分的面积为2，则的值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 5．如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．函数y的最大值是4 B．函数的图象关于x =-1对称 C．当x<-1时，y随x的增大而增大 D．当-4<x<1时，函数值y>0 6．如图，过原点的一条直线与反比例函数（k≠0）的图像分别交于A、B两点.若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为   （       ） A．（a，b） B．（b，a） C．（-b，-a） D．（-a，-b） 7．在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 9．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；③当时，y随x的增大而增大；④y的最小值为．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图是一种轨道示意图，其中分别是菱形的四个顶点，．现有两个机器人(看成点)分别从两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则 与之间的函数关系用图象表示大致为（    ） A． B． C． D． 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 ． 12．已知函数（是常数，），，（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为，，，，，已知反比例函数，当的值为5时，图象经过字母“M”中的点 ；当的值为2时，图象与字母“M”中的线段 有交点．    14．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 . 三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．解下列各题： (1)解方程：； (2)求抛物线的顶点坐标． 16．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 17．2023年亚运会已在杭州举行，在这期间某网络经销商购进一批以亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，当销售单价定为70元时，每天可售出50件．为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出5件，若设这款文化衫降低了x（元），每天的销售量为y（件）． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围． (2)当销售单价为多少元时，销售每天所获得的利润为1875元？ (3)当销售单价定为多少元时，每天销售这款文化纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？ 18．已知二次函数． (1)求顶点坐标轴和对称轴，并画出函数图像． (2)当时方程有解，请根据图像直接写出t的取值范围． 19．综合和实践：设计保底利润的销售方案 【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？ 思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？ 思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案． 20．已知二次函数图象的一部分如图所示，它经过． (1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象； (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 21．综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点成中心对称，该段结构水平宽度为8米．    【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿竖直立于地面，当点触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 (1)确定中心：求图2中点到该结构最低点的水平距离． (2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． (3)确定高度：求挡风板的高度． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，，，且，．    （1）求证：四边形是菱形； （2）求经过点的双曲线对应的函数解析式； （3）设经过点的双曲线与直线的另一交点为，过点作轴的平行线，交经过点的双曲线于点，交轴于点，求的面积． 23．已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年安徽九年级上学期第一次月考卷 考试范围：二次函数与反比例函数、共23题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列各点中，在函数y=-图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把各点代入解析式即可判断． 【详解】解：A．∵(-2)×(-4)＝8≠-6， ∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B．∵2×3＝6≠-6， ∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C．∵(-1)×6＝-6， ∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； D．∵×3＝-≠-6， ∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是将各点代入解析式． 2．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点；先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出，所在的象限即可得到答案． 【详解】∵反比例函数的图象在一、三象限，而， ∴点在第三象限反比例函数的图象上， 在第一象限反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：C． 3．根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（　　） x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 ﹣0.061 ﹣0.04 ﹣0.017 0.0044 0.027 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察表格中数据，可发现在0.61和0.62之间有一个x的值能使函数 的函数值为0，即可得到答案． 【详解】时，；时，； 方程的一个解的取值范围是： 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的近似解的取值范围，当x的值代入后方程两边结果越接近，则未知数的值越接近方程的根，即可找到方程近似解的范围． 4．如图，，两点在双曲线上，分别过，两点向坐标轴作垂线段，若阴影部分的面积为2，则的值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S1+S阴影=S2+S阴影=6，则S1=S2=4，可求出S1+S2=8． 【详解】解：根据题意得S1+S阴影=S2+S阴影=6， ∵S阴影=2， ∴S1=S2=4， ∴S1+S2=8． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 5．如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．函数y的最大值是4 B．函数的图象关于x =-1对称 C．当x<-1时，y随x的增大而增大 D．当-4<x<1时，函数值y>0 【答案】D 【详解】由二次函数 的图象可知：其顶点坐标为（-1，4）；图象开口向下；图象与轴的一个交点为（1，0）； ∴选项A、B、C中的说法都是正确的. ∵该函数图象与轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线， ∴图象与轴的另一个交点为（-3，0）， ∴只有当的取值满足：时，函数值. ∴选项D的说法错误. 故选D. 6．如图，过原点的一条直线与反比例函数（k≠0）的图像分别交于A、B两点.若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为   （       ） A．（a，b） B．（b，a） C．（-b，-a） D．（-a，-b） 【答案】D 【分析】此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标． 【详解】解：根据图象，A、B两点关于原点对称．A点的坐标为（a，b），则B点坐标为（-a，-b）． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为原点． 7．在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论；当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； ②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限， 观察只有B选项符合， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题． 8．无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】因为两个图象总有公共点，所以将两个解析式进行联立，再根据根的判别式进行判断即可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得，无论为何值，直线与抛物线总有公共点， 将代入得：， 整理得：， ， ， ， 当时，， 解得， ， 当时，， 解得：， 的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的交点问题，正确的列出判别式，并根据交点数进行判定是解题的关键． 9．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；③当时，y随x的增大而增大；④y的最小值为．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①抛物线开口向上，，与轴交于负半轴，，即可得到；②根据抛物线与轴的交点个数，即可得证；③根据二次函数的图象即可得证；④由图象可知，当时，取最小值． 【详解】解：∵抛物线开口向上，，与轴交于负半轴，， ∴；故①正确； ∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大；故③正确； 当时，函数有最小值：；故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 10．如图是一种轨道示意图，其中分别是菱形的四个顶点，．现有两个机器人(看成点)分别从两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则 与之间的函数关系用图象表示大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设菱形的边长为，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离的解析式，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：①设，如图所示， ∵移动时间为，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，； ②设，如图所示， ∵移动时间为，， ∴，，，， ∴， ∴ 在中，， ∴函数图像为两个二次函数图象； ③当从出发的机器人在点，从出发的机器人在点，此时距离是；从出发的机器人在点，从出发的机器人在点，此时距离是； ∵设，， ∴，， ∴， ∴， ∴函数图象的起点和终点高于中间点； 综上所述：项符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了二次函数图象的实际应用，菱形的性质，掌握二次函数图象的特点是解题的关键． 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 ． 【答案】4 【分析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH． 【详解】解：当时，，解得：或， 结合图形可知：， 故答案为：4 【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值． 12．已知函数（是常数，），，（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，求得函数（k是常数，）的图象过定点，函数（a是常数，）与x轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 【详解】解：∵， ∴函数（k是常数，）的图象过定点， ∵， ∴函数（a是常数，）与x轴的交点为，， 当时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时，∵无论k为何值，函数和的图象总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； ∴无论k为何值，函数和的图象总有公共点，则a的取值范围是或． 故答案为：或． 13．如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为，，，，，已知反比例函数，当的值为5时，图象经过字母“M”中的点 ；当的值为2时，图象与字母“M”中的线段 有交点．    【答案】 【分析】本题考查反比例函数与点的坐标，根据反比例函数和点的坐标确定点与图象的位置关系是解题的关键． 计算的函数值，可判定反比例函数图象上的点，分别计算和的函数值，判定点，，，，与反比例函数的图象的位置关系，根据位置关系求解即可． 【详解】当时，反比例函数为：， 当时，， ∴点在反比例函数的图象上； 当时，反比例函数为：， 当时，， 当时，， ∵，， ∴点在反比例函数的图象的下面，点，，，在反比例函数的图象的上面， ∴反比例函数的图象与线段有交点， 故答案为：，． 14．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 . 【答案】0或7/7或0 【分析】先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分h＜2，和h＞5三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若h＜2，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若h＞5，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为0或7， 故答案为：0或7． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．解下列各题： (1)解方程：； (2)求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)， (2)顶点坐标为 【分析】（1）本题主要考查解一元二次方程，直接根据形式配方法即可直接求解． （2）本题主要考查利用配方法求抛物线顶点坐标，直接配方，注意提取二次项系数和符号的变化，等价变形即可直接求出顶点坐标． 【详解】（1）解：； 移项：； 配方：； 即，； 解得，； ∴，． （2）由题可知，； ； ； ∴顶点坐标为． 16．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解得 【详解】（1）①， ∴； ②∵抛物线中， ， ∴抛物线开口向上， ∵点点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； （2）由题意可知，点)在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， ∴的取值范围是 ． 17．2023年亚运会已在杭州举行，在这期间某网络经销商购进一批以亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，当销售单价定为70元时，每天可售出50件．为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出5件，若设这款文化衫降低了x（元），每天的销售量为y（件）． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围． (2)当销售单价为多少元时，销售每天所获得的利润为1875元？ (3)当销售单价定为多少元时，每天销售这款文化纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为55元时，销售每天所获得的利润为1875元； (3)销售单价为60元，每天销售这款文化纪念册获得的利润w最大，最大利润是2000元 【分析】本题考主要查了二次函数及其应用问题． （1）依据题意，根据销售量与的关系进行分析计算可以得解； （2）依据题意，根据利润（售价进价）销售量进行计算可以得解； （3）依据题意，结合（2）可得利润与降价之间的关系，然后配方后计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得：，此时，即． 与之间的函数表达式为． （2）解：由题意，利润（售价进价）销售量， ∴利润． ∴解得：，． ∵为了扩大销售， ∴． ∴销售单价为（元． 答：销售单价为55元时，销售每天所获得的利润为1875元； （3）解：由题意，结合（2）可得利润与降价的函数关系式为 ． ∴当时，每天销售这款文化纪念册获得的利润最大，最大利润是2000元． ∴此时销售单价为（元． 答：销售单价为60元，每天销售这款文化纪念册获得的利润最大，最大利润是2000元． 18．已知二次函数． (1)求顶点坐标轴和对称轴，并画出函数图像． (2)当时方程有解，请根据图像直接写出t的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标是，对称轴是直线，图见解析 (2) 【分析】（1）利用配方法得到，则根据二次函数的性质得到二次函数图像的顶点坐标和对称轴，然后利用描点法画出二次函数的图像； （2）方程有解理解为抛物线与直线有交点，从而根据图像得到t的取值范围． 【详解】（1） ∴顶点坐标是，对称轴是直线． 列表： x … … －2 －1 0 1 2 3 4 … … y … … －4 －2 －4 … … 根据上表描点、连线，画出函数图像 （2）解：由图像可知，当抛物线与直线有交点时，． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 19．综合和实践：设计保底利润的销售方案 【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？ 思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？ 思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案． 【答案】思考1：4000元；思考2：不能实现保底利润；思考3：经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润． 【分析】本体考查二次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，列出函数关系，利用函数的性质求解． 思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件，再按优惠条件计算即可； 思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件，列出函数关系，根据函数的性质即可求解； 思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件，分三种情况，当，则，当，即时，当时，分别讨论求解即可． 【详解】解：思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件， 则元， 即：公司将产品平均出售给两个经销商，可以获利4000元； 思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件， 则公司可获利 ， 当时，， ∵， ∴，则随增大而减小，即获利小于3200元， ∴不能实现保底利润； 思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件， ①当，则， 由题意可得：公司可获利 当时，， ∵，则随增大而增大， ∴当时，能实现保底利润； ②当，即时， 由题意可得：公司可获利 当时，（不符题意，舍去）， ∵，则当时，随增大而减小， ∴当时，能实现保底利润； ③当时，由思考2可知，不能实现保底利润； 综上，经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润． 20．已知二次函数图象的一部分如图所示，它经过． (1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象； (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法可得二次函数的表达式，再利用描点法补全该图象即可得； （2）分三种情况：，和，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则这个二次函数的表达式为， 在图中补全该图象如下： ． （2）解：二次函数的顶点坐标为，的最大值为4， 当时，， 由二次函数的对称性可知，当时，， ①当时， 则在内，随的增大而增大， ∴此时函数的最大值，最小值， ∴与不符，舍去； ②当时， 则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴此时函数的最大值，最小值， ∴，符合题意； ③当时， 则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴此时函数的最大值，最小值， ∴与不符，舍去， 综上，的取值范围为． 21．综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点成中心对称，该段结构水平宽度为8米．    【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿竖直立于地面，当点触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 (1)确定中心：求图2中点到该结构最低点的水平距离． (2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． (3)确定高度：求挡风板的高度． 【答案】(1)2米 (2)见解析 (3)2.675m或2.325m 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据对称性求解即可； （2）以点为原点，按如图形式建立直角坐标系，由条件可求对称轴为，设顶点式为，把、代入求解即可； （3）把，分别代入（2）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：由中心对称性得：米，由轴对称性得：米． 即图2中点到该结构最低点的水平距离为2米； （2）解：以点为原点，按如图形式建立直角坐标系， 由条件得，过、，对称轴为， 设顶点式为， 将、代入得， 解得：，， ； （3）解：，    情况①：当时，，    情况②：将时，，    综上，挡风板的高度为2.675m或2.325m． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，，，且，．    （1）求证：四边形是菱形； （2）求经过点的双曲线对应的函数解析式； （3）设经过点的双曲线与直线的另一交点为，过点作轴的平行线，交经过点的双曲线于点，交轴于点，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形； （2）连接DE，交AB于M，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EM、AM，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：，把点E坐标代入求出k的值即可； （3）设经过点的反比例函数解析式为，结合点B坐标求出表达式，利用求出结果. 【详解】解：（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图1，连接，交于点， 四边形是菱形， 与互相垂直且平分, ，， ，, 点的坐标为, 设经过点的反比例函数解析式为， 把点代得， 双曲线的函数解析式为；    （3）解：如图2，设经过点的反比例函数解析式为， 把点代入得， 经过点的反比例函数解析式为， 直线轴， ，， ．    【点睛】本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果． 23．已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2)线段EF的最大值为 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两点之间的距离公式． （1）利用待定系数求函数解析式即可； （2）先求出的解析式，设 ， 则 ，根据两点之间的距离公式得出关于的绝对值方程，根据m的取值范围分类讨论求出的最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴可设抛物线的函数解析式为．      ∵抛物线经过点，则， 解得．     ∴抛物线的函数解析式为 （2）当时， 设直线的解析式为，把代入， 得 解得： ∴直线的解析式为 设 ， 则 ， 当时， ， ∴当时，有最大值2． 当时，， 当时， 有最大值 ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$