5.3.2.3 导数在函数有关问题及实际生活中的应用（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第3课时　导数在函数有关问题及实际生活中的应用 [学习目标] 1.能用导数解决函数的零点问题，培养数学运算和直观想象的核心素养.2.体会导数在解决实际问题中的作用，培养数学建模的核心素养.3.能利用导数解决简单的实际问题，强化数学建模和数学运算的核心素养(重难点)． 要点一　函数图象的画法 函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质．通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： (1)求出函数f(x)的__定义域__； (2)求导数f′(x)及函数f′(x)的__零点__； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的__单调性__与__极值__； (4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的__变化趋势__； (5)画出f(x)的大致图象． 要点二　生活中的优化问题的概念 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．所谓生活中的优化问题，其实就是求最值或求最值条件的实际应用问题，导数是求最值的有力工具，因此和函数有关的优化问题可利用导数来研究． 2．利用导数解决优化问题的基本思路是： 思考：解决生活中的优化问题应注意什么？ 提示　(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域． (2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等． 探究一　利用导数研究函数零点问题 规律总结 与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象进行求解，或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题来确定参数的取值范围． 【例题1】 设函数f(x)＝－kln x，k＞0. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 解析　(1)由f(x)＝－kln x(k＞0)得f′(x)＝x－＝，由f′(x)＝0解得x＝，则f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如表所示. x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 单调递增 所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)，所以f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值． (2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．当k＞e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝＞0，f()＝＜0，所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 【变式1】 若方程ax＝x(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，求实数a的取值范围． 解析　由ax＝x知x＞0，故x·ln a－ln x＝0⇒ln a＝，令f(x)＝(x＞0)，则f′(x)＝.当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝，又f(1)＝0，x＞e时，f(x)＞0，所以要使ln a＝有两个不等实根，则有0＜ln a＜，即1＜a＜e.所以实数a的取值范围为(1，e)． 探究二　用料最省、成本(费用)最低问题 规律总结 (1)求解优化问题中的最小值问题的思路 ①设出变量，找出函数关系式，确定定义域； ②在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． (2)在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值．若求出极值点，注意根据实际意义舍去不合适的极值点，函数在符合实际意义的极值点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值． 【例题2】 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)，固定部分为a 元． (1)把全程的运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：千米/时)的函数，并指出函数定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解析　(1)由已知条件可知汽车从甲地到乙地所用的时间为小时，则全程的运输成本y＝a·＋bv2·＝s，v∈(0，c]． (2)由题设可知s，a，b，v均为正数，则y′＝s，令y′＝0，得v＝.若≤c，则当v＝时，y最小；若>c，因为v∈(0，c]，所以y′<0，所以y在(0，c]上单调递减，所以当v＝c时，y最小．综上可知，为使全程的运输成本最小，当≤c时，行驶速度v＝ 千米/时；当>c时，行驶速度v＝c 千米/时． 【变式2】 某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为________海里． 解析　设BM＝x，设单位长度管道的修建费用为1，则AM＝，MC＝100－x，所以修建总费用为f(x)＝3＋100－x(0<x<100)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，则x＝，在(0,100)上只有这一个极小值点，所以当x＝时，f(x)取得最小值． 答案　 探究三　利润最大问题 规律总结 利润最大问题的求解策略 利用导数解决利润(收益)最大问题，关键是灵活运用题设条件，建立利润(收益)的函数解析式，然后再利用导数方法求出该函数的最大值，即可得到最大利润(收益)，常见的基本等量关系如下： (1)利润(收益)＝收入－成本； (2)利润(收益)＝每件产品的利润(收益)×销售量． 【例题3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10×(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解析　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，即a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)·＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3＜x＜6.从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)·(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【变式3】 某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y元． (1)写出y与x的函数关系式； (2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大． 解析　(1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，所以y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)． (2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0，得x1＝，x2＝－(舍)，当0＜x＜时，y′＞0；当＜x＜1时，y′＜0，所以函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝处取得极大值也是最大值，故改进工艺后，每个配件的销售价为20×＝30(元)时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大． 探究四　几何中的最值问题 误区防错 利用导数解决实际问题的注意点 (1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这个极大(小)值是最大(小)值． (3)在解决实际问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数式来表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围． (4)求函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因此若只有一个极值，则这个极值就是实际问题中所求的最值． 【例题4】 在边长为60 cm的正方形铁片的四角上截去四个相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长是多少时，箱子的容积最大？ 解析　设箱高为x cm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子的容积V是x的函数，V(x)＝(60－2x)2·x＝4x3－240x2＋3 600x(0<x<30)，所以V′(x)＝12x2－480x＋3 600，令V′(x)＝0，得x＝10或x＝30(舍去)．当0＜x＜10时，V′(x)>0；当10<x<30时，V′(x)<0.所以当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值，此时箱底边长为40 cm.所以当箱底边长为40 cm时，箱子的容积最大． 【变式4】 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S. (1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S的最大值． 解析　(1)依题意，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图所示，则点C的横坐标为x.设点C的纵坐标为y，则(x，y)满足方程＋＝1(y＞0)，解得y＝2(0<x<r)，所以S＝(2x＋2r)·2＝2(x＋r)·，其定义域为{x|0<x<r}． (2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0＜x＜r，则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．令f′(x)＝0，得x＝r或x＝－r(舍去)．因为当0＜x＜r时，f′(x)>0；当r<x<r时，f′(x)<0，所以f是f(x)的最大值．因此，当x＝r时，S也取得最大值，最大值为＝r2，即梯形面积S的最大值为r2. ,) 1．某公司的盈利y 元和时间x 天的函数关系是y＝f(x)，且f′(100)＝－1，这个数据说明在100天时(　　) A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加 C．公司的盈利在逐渐减少 D．公司有时盈利有时亏损 答案　C 解析　因为f′(100)＝－1，所以函数图象在这一点处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．故选C项． 2．做一个容积为256 m3的方底无盖长方体长箱，所用材料最省时，它的高为(　　) A．2 m B．4 m C．6 m D．8 m 答案　B 解析　设底的边长为x m，则高为 m，那么所需材料的面积为x2＋4x×＝x2＋.令y＝x2＋，所以y′＝2x－.令y′＝0得x＝8.又x＞8时，y′＞0；x＜8时，y′＜0，所以x＝8时用料最省，这时高h＝＝4(m)．故选B项． 3．若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．[0,2] C．[－2,0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案　A 解析　令y＝x3－3x，x∈[0,2]，则y′＝3x2－3，令y′＞0，解得x＞1，因此函数在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，又x＝1时，y＝－2；x＝2时，y＝2；x＝0时，y＝0，所以函数y＝x3－3x，x∈[0,2]的值域是[－2,2]，故－m∈[－2,2]，所以m∈[－2,2]．故选A项． 4．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________. 解析　由题设知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上单调递增，在(0,40]上单调递减．所以当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40. 答案　40 学科网（北京）股份有限公司 $$